6Системы Случайных Величин

Тогда

.

Поэтому

.

При , получаем

.

Вероятность попадания случайной точки в область численно равна объёму цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью и опирающегося на область .

Из последней формулы следует, что вероятность попадания случайной точки в прямоугольник равна

.

Так как функция распределения есть вероятность попадания в бесконечный квадрат, то

.

Отсюда следует, что плотность вероятности и функция распределения однозначно выражаются одна через другую. Значит, они полностью определяют двумерную НСВ .

Свойства двумерной плотности вероятности непрерывной случайной величины

1. .

Действительно, равна пределу отношения двух неотрицательных величин, поэтому она не может быть отрицательной.

2. (условие нормировки).

Интеграл есть вероятность попадания случайной точки на всю плоскость , что является достоверным событием.

►Пример. Двумерная случайная величина распределена с постоянной плотностью внутри квадрата с вершинами в точках , , , . Найти:

а) плотность вероятности

б) функцию распределения .

Решение. а) По условию задачи плотность вероятности имеет вид

Постоянную найдём с помощью свойства 2 плотности вероятности:

, откуда .

Тогда

б) Функцию распределения найдём с помощью формулы

.

Пусть или , тогда

,

так как при .

Пусть и , тогда

.

Пусть и , тогда

.

Пусть и , тогда

.

Пусть и , тогда

.

Функция распределения имеет вид:

◄

►Пример. Функция распределения двумерной случайной величины задана выражением

Вычислить вероятность .

Решение. Найдём эту вероятность по формуле

,

где

.

Вычислим :

Тогда

.◄

ЛЕКЦИЯ 13. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОСТАВЛЯЮЩИХ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Законы распределения составляющих двумерной случайной величины. Зная закон распределения системы двух величин, можно определить законы распределения её составляющих (свойство 4 двумерной функции распределения).

Если двумерная случайная величина – непрерывная и

,

то функции распределения составляющих и определяются по формулам:

, .

Дифференцируя эти выражения по соответствующим переменным (с помощью теоремы о дифференцировании определённого интеграла по переменному верхнему пределу), получим выражение плотности вероятности для и :

,

.

Зная законы распределения отдельных величин, входящих в систему не всегда в общем случае можно найти закон распределения системы. Для этого нужно знать вид зависимости между величинами, входящими в систему, которая описывается с помощью условных законов распределения.

Условные законы распределения составляющих двумерной непрерывной случайной величины

Определение 13.1. Распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая приняла определённое значение, называется условным.

Найдём условные распределения плотности вероятности составляющих и двумерной НСВ :

.

По теореме умножения вероятностей:

.

Следовательно, .

Аналогично, .

Таким образом, доказана

Теорема 13.1. Плотность вероятности двумерной НСВ равна плотности вероятности одной из величин, входящих в систему, умноженной на условную плотность вероятности другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение:

или .

Для двумерных непрерывных случайных величин вводить условную функцию распределения составляющей нет смысла, так как

(объём цилиндра конечной высоты, но без основания, вместо него – полубесконечная прямая (луч)).

Если по величина – дискретная, то есть смысл рассматривать .

Условные распределения составляющих двумерной дискретной случайной величины. Рассмотрим двумерную ДСВ со множеством возможных значений , , …, , …; , , …, , …

Пусть составляющая приняла некоторое значение ; при этом другая составляющая может принимать любое из значений , , …, , …

Найдём условную вероятность события , если наблюдалось событие . Для этого воспользуемся теоремой о вероятности произведения зависимых событий, которая в данном случае имеет вид:

.

Откуда

.

Обозначая эту вероятность , получаем

.

Совокупность условных вероятностей , , …, , …, отвечающих условию , называется условным распределением составляющей при двумерной ДСВ .

Аналогично условное распределение составляющей при двумерной ДСВ – это совокупность условных вероятностей , , …, , … при , где

.

Проверим выполнимость условия нормировки:

,

так как

.

Аналогично

.

Условная функция распределения или двумерной ДСВ , заданной таблицей

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
			…		…		1

имеет вид:

.

Аналогично .

►Пример. Случайная величина распределена с постоянной плотностью внутри квадрата с вершинами , , , (рис. 1). Найти плотность вероятности случайной величины и условные плотности вероятности , .

Решение. Плотность вероятности двумерной СВ по свойству 2 (условие нормировки) равна:

,

то есть

Найдём плотности и составляющих:

Аналогично

Запишем и компактно:

Пусть , тогда

Если , то

◄

ЛЕКЦИЯ 13. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Интуитивно независимыми можно считать случайные величины, не связанные причинно, то есть если никакая информация об одной из них не изменяет распределение другой.

Определение 14.1. Случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.

Укажем следующие критерии независимости случайных величин.

Теорема 14.1. Для того, чтобы составляющие и двумерной СВ были независимы, необходимо и достаточно, чтобы двумерная функция распределения была равной произведению функций распределений составляющих:

.

Теорема 14.2. Для того, чтобы непрерывные составляющие и двумерной СВ были независимы, необходимо и достаточно, чтобы двумерная плотность вероятности была равной произведению плотностей вероятности составляющих:

.

Сравнив эти теоремы, можно сделать вывод, что для независимости составляющих и необходимо и достаточно выполнение условий:

и .

Теорема 14.3. Для того, чтобы дискретные составляющие и двумерной СВ были независимы, необходимо и достаточно выполнения равенства:

.

►Пример. Пусть выполняются условия примера из лекции 13. Определить, будут ли составляющие и зависимыми или независимыми.

Решение. Для исследования зависимости случайных величин и проверим выполнимость одного из равенств

и .

Так как , то случайные величины и зависимы. ◄

Числовые характеристики системы двух СВ. Закон распределения есть исчерпывающая характеристика двумерной случайной величины. Но его экспериментальное определение часто оказывается сложным. Чтобы получить некоторое представление о законе распределения двумерной случайной величины без него самого, используют её числовые характеристики. В основе их получения лежат моменты начальные и центральные.

Определение 15.1. Начальным моментом порядка двумерной СВ называется математическое ожидание произведения на :

.

Для двумерной ДСВ :

,

где – вероятность того, что ДСВ примет значение , а суммирование ведется по всем возможным значениям составляющих и .

Для двумерной НСВ :

,

где – двумерная плотность вероятности.

Определение 15.2. Центральным моментом порядка двумерной СВ называется математическое ожидание произведения соответствующих центрированных величин:

, где , .

Для двумерной ДСВ :

.

Для двумерной НСВ :

.

Из начальных на практике наиболее часто используются моменты первого порядка:

,

.

Их совокупность является характеристикой положения системы. Геометрически: точка на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание значений двумерной СВ .

Из центральных наиболее употребительны моменты второго порядка. Два из них представляют собой дисперсии составляющих:

,

.

Эти моменты характеризуют рассеивание составляющих в направлении осей и .

Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Особую роль играет центральный момент второго порядка

,

который называется корреляционным моментом (моментом связи, ковариацией) и является математическим ожиданием центрированной двумерной случайной величины.

Из определения следует, что корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей величин и .

Для двумерной ДСВ :

.

Для двумерной НСВ :

.

Корреляционный момент характеризует связь между составляющими двумерной СВ, а также их рассеяние.

Рассмотрим двумерную СВ , составляющие которой и независимы. Тогда . Отсюда

.

.

Следовательно, для независимых составляющих и двумерной СВ . Поэтому отличный от нуля коэффициент корреляции является признаком наличия зависимости между составляющими и двумерной СВ .

Корреляционный момент характеризует также рассеяние двумерной СВ . Если одна из величин мало отклоняется от своего математического ожидания (почти не случайна), то корреляционный момент будет маленьким, даже если составляющие и тесно связаны.

Поэтому для характеристики связи между и в чистом виде переходят от момента к безразмерной величине .

Эта характеристика называется коэффициентом корреляции. Понятно, что для независимых составляющих . В таком случае они называются некоррелированными.

Из независимости двух составляющих всегда следует их некоррелированность. Обратное не всегда верно, так как коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только линейную. Линейная статистическая зависимость составляющих заключается в том, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию возрастать или убывать по линейному закону.

Если случайные величины и связаны точной функциональной линейной зависимостью , то (знак берется в зависимости от знака ). В общем случае, когда и связаны произвольной линейной стохастической зависимостью, . В случае имеем положительную корреляцию. В случае имеем отрицательную корреляцию.

Пример положительной корреляции: вес и рост человека.

Пример отрицательной корреляции: время, потраченное на подготовку к экзамену, и время, потраченное на его сдачу.

Свойства коэффициента корреляции