7Корреляция

Найдём , , , :

,

,

, ,

,

,

Уравнение прямой среднеквадратичной регрессии на имеет вид:

или

.

Статистический коэффициент корреляции на показывает, что при увеличении численности работников на 100 га сельскохозяйственных угодий на одного человека валовая продукция с этой площади в среднем по совокупности предприятий возрастает на млн руб. ◄

Сглаживание опытных данных. Выборочное уравнение линейной регрессии

Определение 18.1. Регрессия называется линейной, когда функции регрессии и являются линейными.

Пусть СВ и СВ связаны линейной корреляционной зависимостью, тогда обе линии регрессии будут прямыми, поэтому параметры и , и этих зависимостей найдём методом наименьших квадратов.

Допустим, что проведено независимых опытов, в результате которых получены последовательные значения СВ : , , …, и соответствующие им значения СВ : , , …, . Пары чисел

,

можно считать случайным набором (выборкой) из множества возможных значений двумерной СВ . Поэтому уравнение регрессии, полученное по данным выборки, называется выборочным.

Предположим, что, исходя из теоретических соображений и расположения точек , на поле корреляции, можно определить вид выборочного уравнения регрессии на :

,

где , , …, ( ) – неизвестные параметры, которые нужно определить.

Найдём на основании опытных данных значения этих параметров так, чтобы заданная функция наилучшим образом описывала изучаемую зависимость (то есть наилучшим образом «вложить» известные пар значений в формулу ). Для этого сумма квадратов отклонений эмпирических данных , , от вычисленных по формуле , должна быть наименьшей. Следовательно, нужно исследовать на минимум функцию:

.

Согласно необходимому условию существования экстремума функции нескольких переменных составляем систему

Эта система называется нормальной системой МНК. Решив её, находят неизвестные параметры , , …, .

Если случайные величины и связаны линейной зависимостью

,

то частные производные функции

по параметрам , имеют вид:

,

.

Приравняем их нулю и преобразуем. Получаем нормальную систему МНК, из которой находим параметры , :

Полученная система уравнений эквивалентна системе

из предыдущей лекции. Поэтому полученные там выражения для коэффициента остаются в силе.

Таким образом, выборочное уравнение линейной среднеквадратичной регрессии

можно получить методом наименьших квадратов.

133