Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

новая папка 1 / 241597

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

172.03 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

8. aji = 2				0 1 0			3; bkt = 2					0	0 ¡1 3:
				1	¡1	¡1	5				¡1		1		1	5
		4 ¡1			¡1 1		5			4		2 1 1				5
		4		1	¡1	¡1	5					1	¡1		1	5
		4		2	3	1	5			4 ¡1 0 0						5
9. aji = 2 ¡1 0 0							3; bkt = 2					2 1 1				3:
10.	aji	=	2	2	1	¡1	3	;	bkt =	2	¡1		¡1		1	3	:
			4	¡1	0	¡1				4	1		¡1		1
	aji		4	0	1 ¡1 5			3	; bkt	4	0		0 1 5				3
11.	aji	=	2	¡2	¡3	0		3	; bkt	=	2	0	¡1		0		3	:
			4	1	¡1	¡1						1 ¡3 ¡2
	aji		4	0	1 ¡1 5				bkt =	2	4 0 1 ¡1 5
12.	aji	=	2	¡1	1	0	3	;	bkt =	2	0	¡1		0		3	:
			4	¡1	1	1					1	¡1		1
	aji		4	1	1 ¡1 5			3	; bkt	4 0 ¡1 ¡1 5								3
13.	aji	=	2	0	1	¡1		3	; bkt	=	2	¡1		¡1		0		3	:
			4	¡1	2	¡2					4	1		¡1	¡1			5
	aji		4	0	¡1 ¡1 5				bkt =	2	4	0 ¡1 0						5
14.	aji	=	2	¡1	1	0	3	;	bkt =	2	1	¡1		1	3	:
			4	1	0	¡1	5			4	3	2		0	5
	aji		4	2	3	0	5	3	; bkt	4	1	1		1	5			3
15.	aji	=	2	2	0	¡1		3	; bkt	=	2	2		1		0		3	:
			4	¡1	¡1 ¡1			5			4	¡1 ¡1 1
	aji		4	3	¡1 4			5	; bkt		4	0 ¡1 ¡1 5
16.	aji	=	2	2	¡1	¡1		3	; bkt	=	2	0		¡2	¡1			3	:
			4	¡1	0	¡1					4	¡2		¡1		0		5
			4	1	1 ¡2 5						4	0		1		1		5

Задание 12 3 задан матрицей Метрический тензор gij â R

gij =

2 ¡1

¡3 ¡ 1 3

¡ 1

Поднять

индексы

дважды

ковариантных тензоров

(~e1

; ~e2; ~e

¡ двойственный базис в R3).

~e1 - ~e3 + ~e2 - ~e1

+ ~e

- ~e

1 - ~e

3 + ~e2

- ~e

1 + ~e3

¡~e

+ ~e

- ~e

+¡~e

¡~e

- ¡

+ ~e

~e2:

+ ~e

~e3 + ~e

1 + ~e

- ~e3

¡ ~e2

¡~e2

¡ ~e3¢

+ ¡~e

+ ~e2¢

- ~e

~e1

~e3 + ~e2

+ ~e2

+ ~e3

~e2 + ~e1

¢1

~e1-¡¡~e2

- ~e¢2 ¡¡~e

¡ ~e¢2-+¡~e3

- ~e

~e2 + ~e

+ ~e1

~e3

10.

¡-

~e-1

+ ~e

¡- ~e

+¢~e-1

+ ~e

3 - ~e

2 + ~e1

12.

+ ~e

- ~e

11. ~e

3 + e

~e1

+ ~e2

¡ ~e

2 + ~e1 + ~e2

~e3:

13.

¡~e1

¢ - ~e3

¡¡ ~e1 - ~e¢2 + ~e

14.

¡~e1

¡ ~e

¢¡ ~e¡3

-¢

~e1 ¡ ~e3¡- ~e1:

15.

¡~e

¡ ~e

2 + ~e3

- ~e2 ¡ ~e1 - ~e3:

16.

¡~e

+ ~e

+ ~e1

Задание 13

Вычислить символы Кристоффеля 1-го и 2-го рода, если новые

координаты yi связаны со старыми координатами xi формулами:

2 ;

= y1

+ y2

+ 3 y2 2 ;

= y1

y¡2

2¢;

= 8¡

y¢1

1. ( x2

= y1 + y2 2 :

4. ( x2

= y1

+ 7y2:

(

¡ ¢

x1 = y1 y2;

x1 = 8 ¡y1¢2 + 3 y2 2 ;

2. x2

5. ( x2 = 3 y2

2 :

= y1

2 + y2:

¡ ¢

3. ½ x2 = y1

+ 5 y2

6. ( x2 = 3

¡y2

¢2

½x1 = 2 ¡y1¢2 + 3y2;

7.x2 = 3 y1 y2:

½x1 = 6y1 y2;

8.x2 = 3 ¡y1¢2 + 5 ¡y2¢2 :

½x1 = 2 ¡y1¢2 + 3y2;

9.(x2 = 3 y1 y2:

10.¡y2¢2 ; ¡y1¢2 :x1 =x2 = y1 y2 +

11.	½ x2	= 5 y1	2	+ 2 y2			2 :
	x1	= 3y1 y2	+ y1		;	¢
		¡ ¢			¡	¢

½x1 = ¡y1¢2 + ¡y2¢2 ;

12.x2 = 3 y1 y2 + y1:

½x1 = y1 + ¡y2¢2 ;

13.x2 = y1 y2 + y2:

½x1 = ¡y1¢2 + 3 ¡y2¢2 ;

14.x2 = y1 y2 + y1:

½x1 = y1 + 2 ¡y2¢2 ;

15.x2 = 3y1 y2 + y2:

½x1 = 3 ¡y1¢2 + 2y2;

16.x2 = y1 y2 + y2:

Задание 14

В локальном ортогональном базисе ~ei элементы g11; g22; g33 ìàò-

ðèöû gij известны. Вычислить символы Кристоффеля 1-го и 2- го рода.

g11

= y2 sin y1;

g22 = y2y1;

g33 = cos y3.

g11

= y2;

g22 = 1 + sin2 y2;

g33 = y1 cos y3.

g11

= 1 + cos y1 + y2;

g22 = y1y3;

g33 = sin2 y3.

= 2y1y2;

g22 = 2 + cos y2

g11

;

g33

g11

= y + y ; g22

= 1

;

; g33 =

1 + y

g11

= y

sin y2;

+ y

y¢3

; g = y

9. g11

+ y¡2

;

¢g22

=¡ y1¢y2; g33

= y3

8. g11

¡y1

¢2

¡y2

¢2

¡y3

¢2; g22

= y1; g33

g11

22¡

¡ ¢

10.

g11

=py1

2 + y2

+ y3

g22 =¡ y3¢

2 ;

g33

= sin y1.

11.

g11

y3 + sin3 y3;

= 2y1

+ sin y2;

= y3

+ cos y2.

= y

cos y ;

g22

= 1

g33 = sin¡ y¢

12.

g11

= sin y2 + y2;

g22

y1 + y2

; g33

13.

+ sin y3;

2 1 + y2.

14.

= p

;

g22 = 1 + y3;

g33 = ¡y2¢3.

g11

y2y3

15. g11 = y1 + cos2 y2; g22 = 2y1y3; g33 = y3 + sin3 y3. 16. g11 = (y1)2 + (y2)2; g22 = 2y1 + cos2 y3; g33 = py3.

Задание 15

Найти главные направления, собственные значения и инварианты I1; I2; I3 тензора T; заданного матрицей

1. 2 ¡1 3 1 3									9. 2 ¡1 2					0	3
	4	2		¡1		0	5		4		3	¡1		0	5
2.	4	0		1	1		5		4		0		0 ¡1		5
2.	2	¡2		2		0	3		10.	2	¡2		3	0	3
	4	1		¡2		0	5			4	3		¡2	0	5
3.	4	0	4	0		4	5		11.	4	0	2	0	4	5
3.	2	2	4	0		3			11.	2	0	2	0	3
	4	3	2	0		5				4	1	1	0
4.	4	0	0	5		5			12.	4	0 0 ¡5 5				3
4.	2	0	3	2		3			12.	2	¡2		3	0	3
	4	4	0	0		5				4	2		¡2	0	5
5.	4	0	2	2		5	3		13.	4	0		0	4	5
5.	2	0	2			¡3	3		13.	2	¡4		3	0	3
	4	1	0			0	5			4	5		¡4	0
6.	4	0	¡3 3				5		14.	4	0		0	¡2 5
6.	2	0	1			¡1	3		14.	2	¡2		2	0	3
	4	1	0			0	5			4	1		¡2	0	5
7.	4	0	¡1 2				5	3	15.	4	0		0	3	5
7.	2	¡1		3		0		3	15.	2	2		¡3	0	3
	4	2		¡1		0		5		4	¡2		2	0	5
8.	4	0		0	¡4			5	16.	4	0		0	4	5
8.	2	¡2		3		0		3	16.	2	¡3		2	0	3
	4	4		¡2		0				4	1		¡3	0
	4	0		0	¡5 5					4	0		0	¡3 5

Задание 16

Вычислить внешнее произведение векторов (векторы ~e1;~e2;~e3;~e4 образуют базис пространства R4) и найти координаты получен-

ного антисимметричного тензора.

1. (~e1 + ~e2) (~e1 ¡ ~e2) :

+ ~e3) (~e1

~e2) (~e1 + ~e2) :

3. ~e1

~e3 +V(~e1

+ 2~e2) (~e1

2. (~e1

+ ~e2) V

(~e1 + ~e2

+ ~e3) :

4. (~e1V

~e2) (~e1 + 2~e2V

~e3) + (~e1¡

~e1)¡:

5. (~e1

~e2) V

(~e3 + ~e4)

2 (~e1

~e3)V:

7. (~e1

~e2)

~e4)

V~e1

V(~e1 + 2~e2) + (~e1

~e4) :

6. (~e1

+ 2~e2)V

(~e3

+ ~e4)

(~e1

V 2 ~e 2 )

(~e3

¡ ~e2) V(2~e1

8. (~e1

~e2) + ~e3

¡~e4:

9. (2~e1¡+ 3~eV2) (~e1¡

~e3)

(~eV1

~e4) ~e3:

10.

~e1

~e )

(~e

3~e

)

(~e

+ ~e

) :

~e3 + (V1

11.

~e1

+ 3~e

)

(~e

) :

~e4 + (~e1 V

12.

~e1

~e3 ¡ (~e1 + 2~e2) V

(~e1 + ~e2 ¡ ~e4) :

13.

(~e1V

~e4)

( ~e 2 + 2 ~e 3 V ) ¡ ( ~e 1 + ~e 2 )

(~e1 + ~e2) :

14.

(~e1

¡ 2~e3)V

(~e2

~e4) + 2 (~e1

~e4V) :

15.

(~e1

2~e2)

(~e1 V3~e2)

(~e3 + 2~e4) :

(~e2 + 2~e3) V

16.

~e2

+ 2~e4) (~e1

+ ~e

~e4)V:

(V1

Задание 17

Вычислить интеграл от дифференциальной 2-формы по верхней полусфере x2 + y2 + z2 = R2 ; z ¸ 0.

1. !~ 1 V!~ 3 + !~ 2 V!~ 1:

2. !~ 1 V!~ 3 + !~ 2 V¡!~ 1 + ~e3¢:

3. ¡!~ 1 + !~ 2¢V!~ 3 + ¡!~ 2 + !~ 3¢V!~ 2: 4. ¡!~ 1 + !~ 3¢V¡!~ 3 + !~ 2¢:

5. ¡!~ 1 + !~ 3¢V!~ 3 + ¡!~ 1 + !~ 2¢V!~ 2:

6. ¡!~ 2 ¡ !~ 3¢V!~ 3 + ¡!~ 1 + !~ 2¢V¡!~ 1 ¡ !~ 2¢:

7. !~ 1 V¡!~ 3 + !~ 2¢ + ¡!~ 2 + !~ 3¢V¡!~ 2 + !~ 1¢:

8. ¡!~ 1 ¡ !~ 2¢V¡!~ 2 ¡ !~ 3¢ ¡ ¡!~ 2 + !~ 3¢V!~ 1: 9. !~ 1 V!~ 2 + ¡!~ 2 + !~ 1¢V!~ 3:

10. ¡!~ 1 + !~ 2¢V¡!~ 3 + !~ 1¢ + !~ 3 V¡!~ 2 + !~ 1¢: 11. !~ 2 V!~ 3 + e3 V¡!~ 1 + !~ 2¢:

12. ¡!~ 2 + !~ 3¢V!~ 2 + ¡!~ 1 + !~ 2¢V!~ 3: 13. ¡!~ 1 ¡ !~ 3¢V¡!~ 3¢ ¡ ~e1 V¡!~ 2 + !~ 3¢:

14. ¡!~ 1 ¡ !~ 2 ¡ !~ 3¢V!~ 1 ¡ !~ 3 V!~ 1:

15. ¡!~ 1 ¡ !~ 2 + !~ 3¢V!~ 2 ¡ !~ 1 V!~ 3: 16. ¡!~ 2 + !~ 3 + !~ 1¢V!~ 1:

Задание 18

Вычислить интеграл от дифференциальной 2-формы по сфере

x2 + y2 + z2 = R2.

1. y~! 1 V!~ 3 + !~ 2 V!~ 1:

2. y~! 1 V!~ 3 + !~ 2 V¡!~ 1 + ~e3¢:

3. y ¡!~ 1 + !~ 2¢V!~ 3 + ¡!~ 2 + !~ 3¢V!~ 2: 4. y ¡!~ 1 + !~ 3¢V¡!~ 3 + !~ 2¢:

5. y ¡!~ 1 + !~ 3¢V!~ 3 + ¡!~ 1 + !~ 2¢V!~ 2:

6. x ¡!~ 2 ¡ !~ 3¢V!~ 3 + ¡!~ 1 + !~ 2¢V¡!~ 1 ¡ !~ 2¢: 7. z~! 1 V¡!~ 3 + !~ 2¢ + ¡!~ 2 + !~ 3¢V¡!~ 2 + !~ 1¢: 8. z ¡!~ 1 ¡ !~ 2¢V¡!~ 2 ¡ !~ 3¢ ¡ ¡!~ 2 + !~ 3¢V!~ 1:

9. z~! 1 V!~ 2 + ¡!~ 2 + !~ 1¢V!~ 3:

10. x ¡!~ 1 + !~ 2¢V¡!~ 3 + !~ 1¢ + !~ 3 V¡!~ 2 + !~ 1¢:

11. x~! 2 V!~ 3 + e3 V¡!~ 1 + !~ 2¢:

12. x ¡!~ 2 + !~ 3¢V!~ 2 + ¡!~ 1 + !~ 2¢V!~ 3: 13. y ¡!~ 1 ¡ !~ 3¢V¡!~ 3¢ ¡ ~e1 V¡!~ 2 + !~ 3¢: 14. y ¡!~ 1 ¡ !~ 2 ¡ !~ 3¢V!~ 1 ¡ !~ 3 V!~ 1: 15. z ¡!~ 1 ¡ !~ 2 + !~ 3¢V!~ 2 ¡ !~ 1 V!~ 3: 16. z ¡!~ 2 + !~ 3 + !~ 1¢V!~ 1:

Дифференциальная геометрия и тензорный анализ Задания к типовому расчету

Составители: Мишачев Николай Михайлович

Тюрин Василий Михайлович

Редактор М.Ю. Болгова
Подписано в печать	. Формат 60 £ 84 1=16. Бумага офсетная.

Ризография. Печ. л. 1,0. Тираж 50 экз. Заказ • Издательство Липецкого государственного технического университета.

Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ. 398600 Липецк, ул. Московская, 30.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в папке новая папка 1

#
26.02.2023424.69 Кб2241571.pdf
#
26.02.2023358 Кб0241572.pdf
#
26.02.2023304.85 Кб0241580.pdf
#
26.02.2023417.47 Кб3241586.pdf
#
26.02.2023237.88 Кб1241596.pdf
#
26.02.2023172.03 Кб1241597.pdf
#
26.02.2023182.09 Кб0242639.pdf
#
26.02.2023374.74 Кб0242652.pdf
#
26.02.2023384.54 Кб0242655.pdf
#
26.02.2023254.55 Кб0242750.pdf
#
26.02.2023203.89 Кб0242774.pdf