новая папка 1 / 325467

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Тема: Приложения СЛАУ(2ч)

1. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Записать в математической форме условия выполнения задания.

11

2.Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 ден. ед.

Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед.

3.На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.

Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.

Тема: Операции над векторами (4ч)

1 Определить являются ли векторы линейно зависимыми?

1.а1 (1; 1; 1), а2 (0; 2; 3), а3 (0; 1; 5);

2.а1 (1; 8; -1), а2 (-2; 3; 3), а3 (4; -11; 9);

3.а1(4; -5; 2; 6), а2(2; -2; 1; 3), а3(6; -3; 3; 9), а4(4; -1; 5; 6)

2. Выяснить, образует ли базис трёхмерного пространства R3 векторы

а1 (1;1;1), а2 (1;0;1), а3 (2;1;2).

3. Выяснить, образует ли базис четырёхмерного пространства R4 векторы

а1 (1;1;1;1), а2 (1;0;1;0), а3 (0;−1;0;1), а4 (1;0;0;1).

4. Найти координаты вектора d = 2e1- e2 + e3 в базисе (а1, а2, а3), если а1 (1; 1;1), а2(0;2;3), а3(0;1;5).

12

5. В некотором базисе заданы векторы а1 (-2; 0;1), а2(1;-1; 0), а3(0;1; 2). Выяснить, является ли вектор а4(2; 3; 4) линейной комбинацией векторов а1,

а2, а3?

6. Разложить вектор b (2; -3; 5) по базису а1 (1; 1; 0), а2 (0; 1; 1), а3 (1; 0; 2).

7 Найти а при которых вектор В разлагается по системе векторов а1, а2, …, аn

1.В=(2,а,3), А1 =(1,2,1), А2 =(3,4,5), А3 =(4,5,7).

2.В=(15,6,а), А1 =(5,2,1), А2 =(10,4,2).

8 Для произвольного АВС точки M, N, P соответственно середины сторон АС, АВ, ВС. Среди указанных ниже пар векторов, найти пары равных и пары

13 Найти углы треугольника АВС, если: А (1,2,1); В (3,-1,7); С (7,4,-2).

14 Даны точки А(2; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(3; 2; 1). Найти координаты векторных произведений:1 AB × BC; 2 (BC − 2CA) × CB.

15 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = (8;4;1) и

b = (2;−2;1).

16 Найти смешанное произведение векторов a = (1;−1;1); b = (1;1;1); c = (2;3;4).

17 Объем тетраэдра V=5, три его вершины находятся в точках А(2; 1; -1), В(3; 0; 1), С(2; -1; 3). Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси oy.

Тема: Линейные операторы (2ч)

5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора

~

A :

Тема: Квадратичные формы. Линейная модель обмена. (4ч) 1. Написать матрицу квадратичной формы

1.1.F = 2x12 − 5x22 + 8x32 + 4x1 x2 − 2x1 x3 + 6x2 x3

1.2.F = − x12 + 2x22 − 3x32 + 2x1 x2 + 2x2 x3

1.3.F = 2x1 x2 + 4x1 x3 − 6x2 x3 .

2. Привести к каноническому виду квадратичную форму

2.1.F = x12 + 3x22 + 4x32 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 6x2 x3

2.2.F = 2x12 − 3x32 − 4x1 x2 + 4x1 x3 − 8x2 x3

2.3.F = x12 + 2х1 х2 + 2x22 + 8x32 + 4x2 x3 ;

3. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму:

3.1.L= х12 + 4х22 + 3х32 + 2х1 х2 ;

3.2.L= 2х22 − х12 − х1 х3 + 2х2 х3 − 2х32 ;

3.3.L= х12 + х22 + х32 + 4х1 х2 + 6х1 х3 + 4х2 х3 .

4. Найти все значения параметра λ, при которых положительно определена квадратичная форма.

4.1.F = 2x12 + 5x22 + λ x32 + 2x1 x2 − 2x1 x3 − 2x2 x3

4.2.F = λ x12 + 2x22 + 3x32 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 4x2 x3

7. В таблице приведены данные по балансу за некоторый период времени между пятью отраслями. Требуется найти векторы конечного потребления и валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить её продуктивность.

14

8.В таблице приведены данные по балансу за некоторый период времени между тремя отраслями.

Требуется найти объём валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить, соответственно, до 60, 70 и 30 условных денежных единиц.

9. Отрасль включает четыре предприятия. Вектор выпуска продукции и матрица коэффициентов прямых затрат имеют вид:

Требуется найти вектор объемов конечного продукта.

10. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в таблице.

15

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени T и стоимость P выпускаемой продукции предприятия.

Примечание.

q = (20;50;30;40) - вектор ассортимента;

s= (5;2;7;4) - вектор расхода сырья;

t= (10;5;15;8) - вектор затрат рабочего времени;

p = (30;15;45;20) - вектор стоимости.

Список рекомендуемой литературы

1.Шипачев, B.C. Высшая математика полный курс/ В.С. Шипачев. – М.:

Юрайт, 2014. – 607 с.

2.Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум/ Кремер Н.Ш. и др.-4-е, перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2013.– 909 с.

3.Красс, М. С. Математика для экономистов / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2008. – 464 с.

16