Лекции / 2-3
.pdfГлава 2. Предел функции
§ 1.Понятие предела функции в точке
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
f(a3) |
|
|
|
|
|
A3 |
|
|
y=f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
A41 |
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
A1=f(a1) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
a1 a2 |
a3 |
a4 |
O |
a5 |
|
|
|
|
A =f(a ) |
|
|
|
|
|
42 |
4 |
|
|
Типичные случаи поведения функции в точках: |
|
• |
; |
|
• |
, но при |
; |
• |
, но при |
; |
•, но при слева , а
при справа ;
• |
, причем при |
. |
Обозначение |
|
|
Как читается |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
В точке |
функция |
имеет (конечный) |
|||
|
|
|
предел |
|
|
|
или |
|
|
или |
|
|
|
|
Функция |
стремится к |
при |
, |
||
|
|
стремящемся к |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
В точке |
функция |
имеет (конечный) |
|||
|
|
левосторонний предел |
|
|
||
или |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
стремится к |
при |
, |
||
|
|
стремящемся к |
слева |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
В точке |
функция |
имеет (конечный) |
|||
|
|
правосторонний предел |
|
|
||
или |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
стремится к |
при |
, |
||
|
|
стремящемся к |
справа |
|
||
|
|
|
|
|||
|
В точке |
функция |
бесконечно |
|||
|
|
большая (отрицательная) |
|
|||
или |
|
|
или |
|
|
|
|
Функция |
стремится к минус |
|
|||
|
бесконечности при , стремящемся к |
|
||||
|
|
|||||
Бесконечно большие функции в точке могут быть |
||||||
положительными, |
т.е. |
|
. |
Если |
право- |
(лево)сторонние пределы функции в точке оказываются бесконечными, то говорят, что функция в этой точке бесконечно большая справа (слева).
Заметим, что:
•если в точке равны односторонние пределы функции, то в ней существует общий предел; например, на рисунке
,
аналогично и ;
•если в точке односторонние пределы не совпадают, то общего предела в ней нет; например, на рисунке
, т.е. .
Теор.: Предел элементарной функции в точке из области определения равен значению функции в этой точке:
Из теоремы следует, что:
•она верна и для основных элементарных функций;
•любой многочлен в любой точке всегда имеет конечный предел, т.к. он является элементарной функцией и .
1.1.Найдите .
Основные свойства конечных пределов функции в точке
Пусть существуют конечные пределы и , тогда справедливы следующие свойства:
1) ; в том числе, .
2) ;
3) ;
4) , если ;
5) , если ;
6) ;
7) для сложной функции ;
8) , если такая степень существует;
9)Функция не может иметь в точке более одного предела. Он либо единственный, либо не существует.
1.2.Найдите пределы:
а) ; б) .
§ 2.Бесконечно малая функция в точке
Опр.: Если предел функции в точке равен нулю,
то функция называется бесконечно малой в этой точке:
|
|
|
|
|
|
. |
|
Для бесконечно большой функции в точке можно |
|||||
использовать |
|
аналогичные |
обозначения: |
|||
|
f (x)− б / б |
|
lim |
f (x)= . |
|
|
|
|
|
||||
x→a |
|
x→a |
|
|
||
|
|
|
|
|
2.1. Является ли функция бесконечно малой в точках: а) ; б) ?
Некоторые свойства бесконечно малых функций
• ;
• |
, |
, |
, где - окрестность точки ,
т.е. любой интервал, содержащий точку ;
•Произведение бесконечно малой в точке функции на
бесконечно большую в этой точке может быть как
бесконечно малой, так и бесконечно большой, или иметь другой конечный предел, поэтому оно называется
неопределенностью «ноль на бесконечность» и
обозначается 0 .
•Отношение двух бесконечно малых в точке функций
б / м x →a
б / м x →a
может быть как бесконечно малой, так и бесконечно большой, или иметь другой конечный предел, поэтому оно называется неопределенностью «ноль на ноль» и
обозначается 0 .
0
|
б / м |
|
|
• |
x→a |
= б / м ; |
|
f (x)→ const 0 |
|
||
|
x→a |
|
|
|
x→a |
|
|
|
f (x)→ const 0 |
|
|
• |
x→a |
= б / б , |
|
б / м |
|
||
|
x→a |
|
|
|
x→a |
|
|
|
f (x)→ const |
|
|
|
и наоборот, |
x→a |
= б / м ; |
|
б / б |
||
|
|
x→a |
|
|
|
x→a |
|
•
f (x)в О(а) |
= б |
|
б / б |
||
x |
||
x→a |
|
В частности,
/ м . |
|
|
→a |
|
|
const 0 |
= б / б |
|
б / м |
||
x→a |
||
x→a |
|
и наоборот,
Благодаря этим свойствам можно привести |
0 к |
|||||
|
1 |
|
x |
3 |
+1 |
|
2.2. Найдите пределы а) lim |
; б) lim |
|
. |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
x→ cos x |
x→1 |
1 − |
x |
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
const
б / б
x →a
0 |
|
. |
|
|
|
||
|
|||
0 |
|
|
= б / м .
x →a
Неопределенность
0 |
|
|
|
0 |
|
Опр.: Если рассматривается предел дроби lim g((x)), у которой в
x→a x
1)
числителе и знаменателе бесконечно малые функции (т.е. |
||
lim g(x) = 0 и |
lim (x) = 0), то говорят, что под знаком |
|
x→a |
x→a |
|
|
0 |
|
предела задана неопределенность «ноль на ноль» |
. |
|
|
0 |
|
|
P |
(x) |
|
0 |
|
|
(x − a) P |
(x) |
|
|||
lim |
n |
|
|
= |
= lim |
|
n−1 |
|
|
. Многочлены можно |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→a Q |
|
(x) |
|
x→a (x − a) Q |
|
(x) |
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
m−1 |
|
|
||
разложить |
на |
|
множители, |
среди которых обязательно есть |
(x − a). После сокращения дроби чаще всего числитель или
знаменатель уже не будет бесконечно малым. Тогда говорят,
что «неопределенность раскрыта» и находят предел.
Для разложения на множители используют формулы сокращенного умножения и формулу
, где многочлена .
x |
, x |
2 |
1 |
|
-корни
2.3. Найдите предел
2) Если под знаком
|
4x |
2 |
+ |
|
lim |
|
|||
|
|
x |
2 |
|
x→−3 |
|
|
||
|
|
|
предела
11x − 3 |
. |
|
|
|
|
− 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенность |
0 |
|
связана с |
||
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
иррациональностями, то раскрыть ее может помочь домножение числителя и знаменателя дроби на сопряженный множитель, который дополняет выражение до разности квадратов или кубов. Например,
• |
( a − |
b ) сопряжен с ( |
a + |
b), т.к. |
( |
a − |
|
b )( |
a + |
b )= a − b ; |
||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
2 |
|
3 |
|
3 |
3 |
2 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
• |
|
|
|
|
|
|
a ) |
− |
a |
b ) |
||||||||
аналогично ( a + |
|
b ) сопряжен с (( |
|
|
|
b +( |