Лекции / 8 проивз точк
.pdfТема№8: Производная функции: определение, свойства
Справочный материал
Если существует конечный предел отношения приращения функции
y= f (x)
к бесконечно малому приращению аргумента
x
в точке
x0
из области
определения функции, то он называется производной функции в этой точке: |
|||||||||
lim |
f (x |
0 |
+ x)− f (x |
0 |
) |
= |
f (x |
|
) |
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
0 |
||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания:
8.1. С помощью определения производной докажите равенства:
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
а) |
; |
= − |
; |
||||||
б) |
|
|
|
2 |
|||||
|
|
x |
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
в)
|
= |
(ln x) |
1 x
;
г)
(a |
) |
|
x |
= a |
x |
ln |
|
a
.
Справочный материал
Для основных элементарных функций выведена таблица производных:
1)xx =1
2)(x n )x =n x n−1 ; n =const 0
3)( x )x = 2 1 x
|
1 |
|
|
1 |
|
4) |
|
|
|
=− |
|
x2
5)(a x )x =a x ln a; a =const 0,a 1
6)(e x )x =e xx x
7) |
(loga x)x |
= |
1 |
; a =const 0,a 1 |
|||
x ln a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
8) |
(ln x)x |
= |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
9) |
(sin x) |
=cosx |
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
10) |
(cosx) |
=−sin x |
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
11) |
(tgx) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
||
12) |
(ctgx) |
=− |
1 |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
x |
|
sin |
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
13) |
(arcsinx) |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
1−x |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
14) |
(arccosx) |
=− |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
1−x |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
15) |
(arctgx) = |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
x |
1+x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
16) |
(arcctgx) |
=− |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
x |
|
|
1+x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Производные гиперболических функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
−e |
− x |
|
17) |
(shx)x |
=chx; |
|
shx= |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
− x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+e |
|||||
18) |
(chx)x |
=shx; |
|
chx= |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19) |
(thx) |
|
|
= |
1 |
|
; |
thx= |
shx |
|
||||
x |
ch |
2 |
x |
chx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
20) |
(cthx) |
|
=− |
|
1 |
; |
cthx= |
chx |
||||||
x |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
sh |
x |
|
|
|
shx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если требуется найти производную функции, основных элементарных с помощью операций сложения,
деления, то используют правила дифференцирования:
c |
|
=0, |
|
c =const |
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(с u ) |
x |
=с u |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
(u +v −w) |
=u |
+ v |
|
− w |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
|
x |
(u v) |
x |
=u v +u v |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
u x v −u v x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
v |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Формула дифференцирования сложной функции |
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, где |
u = g(x) . |
|||
yx |
=yu ux |
Задания
8.2. Найдите производные функций:
которая составлена из вычитания, умножения и
= |
f g(x) : |
а)
y = 2 |
x |
|
+
x |
4 |
|
;
б)
y
=15sin
x
−
4 |
3 |
|
;
в) |
y = ln x arctgx; |
г) |
y = |
cos x |
||
x |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
8.3. Найдите производные функций:
а) |
y = x |
6 |
− |
3 |
x |
8 |
+ e |
x |
ln 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
y = |
|
|
sin x |
|
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
+ cos x |
|
|
|
|
;
б)
г)
y y
д) |
y = |
|
=15 + x2
=arctgx
2
4 |
x |
|
|
|
|
|
. |
||
sin x |
||||
|
||||
sin x + |
||||
− |
|
|
x |
|
|
|
|
||
2(1 |
+ |
2xtgx |
||
x |
|
) |
|
2 |
; |
|
|
;
д) y = 5 x arccosx − log 6 x . x2
8.4. Найдите производные сложных функций в точке 0 = 2:
а) y = cos |
3 |
x |
; |
б) |
y = ln |
4 |
sin x . |
|
|||||||
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
8.5. Найдите производные сложных функций:
а) |
|
5 |
); |
|
|
|
|
б) |
|
y = arctg |
4x |
2 |
−1 |
; |
y = cos(7 − x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1−x |
8 |
|
|
y = ln |
x |
2 |
+ 3 |
|
|
y = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) |
; |
|
г) |
; |
д) |
|
|
|||||||
y = 4 |
|
|
3 |
+ x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
.
8.6.Найдите производные функций, используя свойства степеней, корней, логарифмов, тригонометрические равенства:
а)
в)
д)
y y
y
= = =
2 |
3 x |
|
|
; |
|
|
2 x |
|
|
|
|
3 |
|
|
3sin |
||
e |
− ln |
|
|
|
2 |
x |
− lg |
||
|
||||
x+2 |
|
x |
||
x−3 |
− |
|||
|
||||
|
|
|||
|
|
|
x |
ж)
x + 3cos |
2 |
x |
|
|
|||
−3 |
; |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
y = ln |
1+ |
;
ctg |
2 |
x |
|
б)
г)
е)
.
y y
y
= = =
3 |
x |
3 |
x ; |
|
|||
4 |
|
||
|
|
|
(x +1)(x − 3) |
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
ln |
|
|
− x) |
||
(x − 2) (4 |
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
x |
2 |
|
− cos |
|
; |
|||
sin |
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
|
|
;