AS_IH1_45_1363_Vladimirov
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА) Кафедра алгоритмической математики
ОТЧЕТ по индивидуальному домашнему заданию № 1
по дисциплине «Алгебраические структуры»
ТЕМА: БИЕКТИВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
Студент гр. 1363 |
|
Владимиров П.А. |
|
Преподаватель |
|
Абросимов И.К. |
|
|
|||
|
|
|
|
Санкт-Петербург
2022
ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
Рисунок 1 — Вариант задач ИДЗ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1. Ответы к задачам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
Ответ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅ |
̅̅̅̅ |
|
|
|
|
̅̅̅̅ |
̅̅̅̅ |
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ |
||
|
(1,9; 1,8), (1,9; 1,8), |
(1,9; 1,8). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
= − |
4 |
|
, |
= |
33 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
= (1 |
6 |
|
2)(4 |
7 |
|
9 8 |
5)(3)(10), = 15. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
= (1 |
2 |
|
3 |
9 |
5 |
|
4)(6 |
10 |
8)(7), = 6. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
̃2 |
̃2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
− |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||||
6 |
|
Однополостный гиперболоид. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИДЗ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №1. |
|
|
|
Является |
ли |
функция |
: {1, . . . ,9} → {1, . . . ,8} |
заданная таблицей = |
|||||
(1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9) инъективной? сюръективной? биективной? |
||
8 |
1 |
2 |
3 |
6 |
2 |
7 |
4 |
5 |
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅ |
̅̅̅̅ |
̅̅̅̅ |
|
|
( ) = {1, . . . , 9} = 1,9 (1,9; 1,8); |
|
||||||||
|
{ |
(3) = (6) = 2 |
|
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ |
|
|
||||
|
|
3 ≠ 6 |
|
|
(1,9; 1,8); |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅ |
̅̅̅̅ |
̅̅̅̅ |
|
( ) = {8,1,2,3,6,2,7,4,5} = 1,8 (1,9; 1,8); |
|||||||||
|
|
|
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ |
|
|
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ |
|
|
||
|
(1,9; 1,8) (1,9; 1,8). |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
̅̅̅̅ |
̅̅̅̅ |
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ |
|
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ |
|
|
Ответ: (1,9; 1,8), (1,9; 1,8), |
(1,9; 1,8). |
Задача №2.
Функция : ( ; +∞) → ( ; +∞) задана формулой ( ) = 7 2 + 8 + 7.
Найдите наименьшее и , при которых функция биективна?
Решение.
( ) = 7 2 + 8 + 7 — уравнение параболы с ветвями, направленными вверх. Найдем вершину параболы.
0 = 2∙7−8 = − 47;
|
4 |
2 |
|
4 |
33 |
||
0 = 7 ∙ (− |
|
) |
+ 8 ∙ (− |
|
) + 7 = |
|
; |
7 |
|
7 |
|||||
|
|
|
7 |
|
[33 ; +∞) , < 33 ,( ) = [ 7 7 ( ; +∞), ≥ 337 ;
= MIN{ | ( ) = ( ; +∞)} = 337 ;
(́ ) = 14 + 8;( ) ↓ (−∞; − 47) , ( ) ↑ (− 47 ; +∞);
((− 47 , ∞) , (337 , ∞)).
Ответ: = − 47 , = 337 .
Задача №3. |
|
|
|
|
|
|
|||
Записать перестановку (1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10) в виде |
6 |
1 |
3 |
7 |
4 |
2 |
9 |
5 |
8 |
10 |
произведения независимых циклов и найти ее порядок. Решение.
Пусть = (1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10); |
6 |
1 |
3 |
7 |
4 |
2 |
9 |
5 |
8 |
10 |
1(1) = 6;
2(1) = ( (1)) = 2;
(1) = (1,6,2);1(4) = 7;
2(4) = ( (4)) = 9;
3(4) = ( 2(4)) = 8;
4(4) = ( 3(4)) = 5;
(4) = (4,7,9,8,5);1(3) = 3;
(3) = (3);1(10) = 10;
(10) = (10);
Найдем порядок перестановки;
= (3,5) = 15.
Ответ: (1 6 2)(4 7 9 8 5)(3)(10), = 15.
|
Задача №4. |
|
|
|
|
|
|
||
Записать перестановку (1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10) в виде |
2 |
3 |
9 |
1 |
4 |
10 |
7 |
6 |
5 |
8 |
произведения независимых циклов и найти ее порядок. Решение.
Пусть = (1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10); |
2 |
3 |
9 |
1 |
4 |
10 |
7 |
6 |
5 |
8 |
1(1) = 2;
2(1) = ( (1)) = 3;
3(1) = ( 2(1)) = 9;
4(1) = ( 3(1)) = 5;
5(1) = ( 4(1)) = 4;
(1) = (1, ,2,3,9,5,4);
1(6) = 10;
2(6) = ( (6)) = 8;
(6) = (6,10,8);1(7) = 7;
(7) = (7);
Найдем порядок перестановки;
= (6,3) = 6.
Ответ: (1 2 3 9 5 4)(6 10 8)(7), = 6.
Задача №5.
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, найти координаты фокусов в исходной системе координат и построить эскиз графика: 3 2 − 5 2 + 6 − 6 + 42 = 75.
Решение.
Уравнение имеет вид 11 2 + 2 12 + 2 13 + 22 2 + 2 23 + + 33 = 0;
Найдем коэффициенты;
11 |
= 3, 12 = 3, 13 |
= −3, 22 = −5, 23 |
= 21, 33 = −75; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
11 |
12 |
| = | |
3 |
|
3 |
| = −24; |
|
|
|
|
|
|
|
||
∆= | |
|
|
|
3 |
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
12 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∆≠ 0, значит найдем центр канонической системы координат; |
|
|||||||||||||||||
{ 11 0 + 12 0 + 13 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
+ |
|
+ |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12 |
|
0 |
22 |
|
0 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 0 + 3 0 − 3 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
{3 |
|
|
− 5 + 21 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
{ 0 = −2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы перешли к уравнению в системе координат ′ ′ ′; |
|
|
|
|||||||||||||||
′ |
+ |
′2 + 2 |
|
′ ′ + ′2 |
= 0, где ′ |
= |
|
+ |
|
+ ; |
||||||||
33 |
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
22 |
|
33 |
13 |
0 |
23 |
0 |
33 |
|
′ |
= −3 + 21 − 75 = −6; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
33 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение превратится в 3 ′2 + 6 ′ ′ − 5 ′2 − 6 = 0;
Делаем поворот системы на угол ;
′ = ̃ cos( ) − ̃ sin( ), { ′ = ̃ sin( ) + ̃ cos( );
cot(2 ) = 11− 22;
2 12
cot(2 ) = 43;
acot(4)
= 3 ;
2
sin(2 ) = 35; cos(2 ) = 45;
cos( ) = √cos(22 ) + 12;
sin( ) = √1 − cos2( );
cos( ) = 3√1010;
sin( ) = √1010;
Подставляем коэффициенты;
|
|
|
|
|
|
′ = |
|
3√ |
10 |
̃ |
|
− |
√ |
10 |
̃ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
√10 ̃ |
|
|
|
|
3√10 ̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ = |
|
+ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3√ |
|
̃ |
2 |
|
|
|
̃ |
|
3√ |
|
̃ |
|
3√ |
|
̃ |
|
||
|
|
|
|
Уравнение превратится в −5 ( |
√ |
10 |
̃ |
+ |
10 |
+ 6 ( |
√ |
10 |
+ |
10 |
|
10 |
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
) ( |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
10 |
|
10 |
|
10 |
|
10 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3√ |
|
̃ |
|
|
|
|
|
̃ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
√ |
10 |
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
√ |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
− |
|
|
) + 3 |
( |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
) |
− 6 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10 |
|
10 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4̃2 − 6 ̃2 − 6 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
̃2 |
|
̃2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данное уравнение является гиперболой;
Центр канонической системы координат в точке (−2,3).
Рисунок 2 — Эскиз графика
|
̃2 |
|
̃2 |
|||
Ответ: |
|
|
− |
|
= 1. |
|
|
3 |
|
1 |
|||
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Задача №6.
Определить тип поверхности второго порядка и найти координаты ее центра (если он существует): 5 2 + 2 + 2 + 6 − 6 − 6 − 2 + 2 + +2 = 0.
Решение.
Определим тип поверхности второго порядка по инвариантам; Сравним заданное уравнение с общим уравнением поверхности второго
порядка;
11 2 + 22 2 + 33 2 + 2 12 + 2 13 + 2 23 + 2 1 + 2 2 + +2 3 + 0 = 0;
Найдем коэффициенты;
11 = 5, 22 = 1, 33 = 1, 12 = 3, 13 = −3, 23 = −3, 1 = −1,2 = 1, 3 = 1, 0 = 0;
Вычислим ортогональные инварианты 1, 2, , ∆;
1 = 11 + 22 + 33 = 5 + 1 + 1 = 7;
|
2 |
11 |
12 |
| + | |
11 |
13 |
|
22 |
23 |
|
5 |
3 |
| + | |
5 |
|||
|
= | |
22 |
13 |
33 |
| + | |
|
33 |
| = | |
1 |
−3 |
|||||||
|
|
12 |
|
|
23 |
|
3 |
|
|||||||||
+ | |
1 |
−3| = −16; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
−3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
5 |
|
3 |
−3 |
|
|
|
|
|
|||
|
= | 12 |
22 |
23| = | 3 |
|
1 −3| = −4; |
|
|
|
|||||||||
|
|
13 |
23 |
33 |
|
−3 |
|
−3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
11 |
12 |
13 |
1 |
|
|
5 |
3 |
−3 |
−1 |
|
|
|
|||
|
|
12 |
22 |
23 |
2 |
|
|
3 |
1 |
−3 |
1 |
|
|
|
|||
|
∆= | |
|
23 |
|
|
|
| = | |
−3 |
−3 |
1 |
1 |
| = 4; |
|
||||
|
|
13 |
|
33 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
0 |
|
|
−1 1 |
1 |
0 |
|
|
|
|||
|
Уравнение задает |
однополостный |
гиперболоид, |
так |
2 < 0 и ∆> 0.
Ответ: однополостный гиперболоид.
−31 | +
как ≠ 0,