Konspekt_TR_RO

- фазовый спектр ОПИ представляет собой ступенчатую кривую, изменяющуюся скачком на величину в точках, где S( ) проходит через нуль;

- за ширину спектра ОПИ принят интервал частот, в котором заключено 90,2% энергии импульса:

2f 2 / .

22

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Нелинейные элементы

Электрической цепью называется совокупность соединенных определенным образом физических элементов, предназначенных для прохождения, изменения и преобразования электрических сигналов.

Примеры элементов цепей: источники энергии, резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, электронные приборы, соединительные провода.

Свойства элементов цепей описываются внешними характеристиками, каждая из которых представляет собой зависимость реакции у от воздействия х:

y f (x) .

Примеры внешних характеристик: вольт-амперная характеристика для резистора u f (i) ; кулон-вольтная характеристика для конденсатора q f (u) ; вебер-амперная характеристика для катушки индуктивности Ф f (i) .

Элементы цепей разделяют на линейные, нелинейные и параметрические. Нелинейными называются элементы, параметры (R или G=1/R, L, C) которых за-

висят от электрических воздействий (протекающих в них токов и приложенных к ним напряжений), но не зависят от времени. Характеристики таких элементов имеют вид нелинейных зависимостей.

у

Рисунок 4.1 – Внешняя характеристика нелинейного элемента (НЭ).

Цепь, содержащая хотя бы один НЭ, называется нелинейной.

Свойства нелинейных цепей и элементов:

- не подчиняются принципу суперпозиции (наложения), т.е. реакция на сумму воздействий не равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности:

y f (x1 x2 ) y1 y2 f (x1 ) f (x2 ) ;

- способны порождать новые частоты, т.е. спектр реакции содержит новые частоты по сравнению со спектром воздействия.

Классификация НЭ

Взависимости от способности рассеивать электромагнитную энергию в виде тепла или накапливать магнитную и электрическую энергию различают резистивные НЭ (полупроводниковый диод, транзистор, электронная лампа) и реактивные НЭ (нелинейная индуктивность (катушка с сердечником), нелинейная емкость (вариконд, варикап, варактор)).

Взависимости от наличия дополнительного управляющего фактора различают неуправляемые и управляемые НЭ. Неуправляемые представляют собой двухполюсники (диоды, газоразрядная лампа, варистор, терморезистор). Управляемые – это многополюсники (транзистор, электронная лампа, тиристор).

23

По инерционности различают инерционные и безынерционные НЭ. Инерционным в электрическом смысле является такой НЭ, в котором фаза пер-

вой гармоники отклика отстает от фазы гармонического воздействия (реактивные НЭ; диод, транзистор, электронная лампа выше определенной частоты входного сигнала).

Инерционный в тепловом смысле НЭ – элемент, сопротивление которого зависит от температуры и, соответственно, тока, протекающего через него (проволочное сопротивление (лампа накаливания), непроволочное сопротивление (терморезистор)).

По активности различают активные и пассивные НЭ. Активные способны преобразовывать электрические колебания одной формы (частоты) в колебания другой формы (частоты) (транзистор, электронная лампа, туннельный диод). Пассивные потребляют или накапливают электрическую (электромагнитную) энергию (полупроводниковый диод, реактивные НЭ).

Параметры НЭ

Статические параметры НЭ (R(i) или G(u)=1/ R(i), L(i), C(u)) вычисляются по внешним характеристикам НЭ (вольт-амперной u R(i)i или i G(u)u , вебер-амперной Ф L(i)i , кулон-вольтной q C(u)u ) при фиксированных значениях напряжения u или тока i .

Статический параметр НЭ в рабочей точке А с координатами (х0, у0) вычисляется как отношение значения функции у0 к значению аргумента х0, т.е. пропорционален тангенсу угла наклона прямой, проведенной через начало координат и точку А, α:

a(x0 ) y0 / x0 katg ,

где k a - коэффициент пропорциональности, зависящий от масштаба по осям координат х, у.

у

α

х0 х

Рисунок 4.2 – Определение статического параметра НЭ.

Дифференциальные параметры НЭ определяются при линеаризованной внешней характеристике НЭ относительно рабочей точки формулами:

Rдиф (i) du / di ; Gдиф (u) 1/ Rдиф (i) Sдиф (u) di / du ; Cдиф (u) dq / du ; Lдиф (i) dФ / di .

Дифференциальный параметр НЭ в рабочей точке А вычисляется как отношение приращения функции у к приращению аргумента х, т.е. пропорционален тангенсу угла наклона касательной к характеристике в этой точке β:

aдиф (x0 ) y / x x x0 ka tg .

24

у

А

у0

у

β

х х0 х

Рисунок 4.3 – Определение дифференциального параметра НЭ.

Средние параметры НЭ определяют по первой гармонике реакции аналитически, располагая математическим выражением для внешней характеристики. Для этого не НЭ подают гармоническое колебание x(t) X m cos t , из спектра реакции выделяют

первую гармонику Ym1 cos(t 1 ) и делят комплексную амплитуду реакции на ампли-

туду воздействия:

aср (Ym1 / X m )e j 1 .

Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Аппроксимация нелинейной характеристики – замена истинной (эксперимен-

тально полученной) характеристики приближенно представляющей ее функцией. Необходимость аппроксимации возникает при анализе, синтезе и расчете нели-

нейных цепей. Для упрощения аппроксимируют не всю характеристику НЭ, а только ее рабочий участок (используемую часть).

Различают способы аппроксимации:

-полиномиальная;

-кусочно-линейная;

-с помощью трансцендентных функций.

Выбор способа аппроксимации зависит от вида нелинейной характеристики, а также от режима работы НЭ. Выбранный способ аппроксимации должен обеспечивать достаточные полноту описания свойств НЭ, простоту математической обработки полученного представления характеристики и точность расчета.

График характеристики НЭ будем показывать сплошной линией, а график аппроксимирующей функции – штриховой.

Полиномиальная аппроксимация

Является одним из наиболее распространенных способов аппроксимации. Заключается в представлении нелинейной характеристики в виде полинома (многочлена) n-ой степени относительно рабочей точки (x0, y0):

y y0 a1 (x x0 ) a2 (x x0 )2 ... an (x x0 )n ,

где y0 y(x0 ) a0 , a1 , a2 ,..., an - коэффициенты полинома. Зависят от положения ра-

бочей точки на характеристике;

n - порядок полинома. Определяется требуемой точностью расчетов. Примеры:

1) Полином второй степени:

25

- используется, если рабочая точка (определяется постоянным напряжением U 0 )

расположена на начальном участке характеристики, имеющем вид квадратичной параболы, и подводимое к НЭ напряжение сигнала не выходит за начало характеристики (за точку U н , которая определяется из условия: i(Uн)=0).

i

Рисунок 4.4 – Характеристика, для аппроксимации которой требуется полином второй степени.

Используемые обозначения:

-i(U0) – ток покоя;

-(a, b) – используемый участок ВАХ.

2) Неполный полином третьей степени:

i(u) i(U 0 ) a1 (u U 0 ) a3 (u U 0 )3 -

- используется, если рабочая точка является точкой перегиба характеристики и напряжение сигнала не выходит за пределы напряжения насыщения +Umax.

i

i(U0)

Рисунок 4.5 – Характеристика, для аппроксимации которой требуется полином третьей степени.

3) Полином высокой (пятой и более) степени используется, если рабочая точка находится на нижнем сгибе характеристики и изменение напряжения сигнала велико.

i

0 a U0 b

Рисунок 4.6 – Характеристика, для аппроксимации которой требуется полином высокой степени.

Кусочно-линейная аппроксимация

Применяется при очень больших амплитудах входного сигнала. Заключается в замене реальной характеристики идеализированной, линейно-ломаной, составленной из отрезков прямых линий, являющихся касательными к характеристике.

26

Примеры:

1) Два линейных отрезка используется, если сигнал захватывает нижний сгиб и линейный участок характеристики.

i

Рисунок 4.7 – Характеристика при числе аппроксимирующих отрезков 2. Используемое обозначение: (a, c) – используемый участок ВАХ.

2) Три линейных отрезка используется, если сигнал захватывает нижний и верхний сгибы характеристики.

i

0 a b с d u

Рисунок 4.8 – Характеристика при числе аппроксимирующих отрезков 3. Используемое обозначение: (а, d) – используемый участок ВАХ.

3) Четыре линейных отрезка используется, если сигнал достигает также и падающего участка характеристики.

i

Рисунок 4.9 – Характеристика при числе аппроксимирующих отрезков 4. Используемое обозначение: (a, f) – используемый участок ВАХ.

Аппроксимация с помощью трансцендентных функций

Применяется при более сложной форме используемого участка характеристики. Заключается в замене реальной характеристики трансцендентной (неалгебраической) функцией. Неалгебраическими являются функции: экспоненциальная ( y ex ), гиперболическая ( y k / x ), показательная ( y a x ), логарифмическая ( y log a x ), тригономет-

Пример:

ВАХ полупроводникового диода в пределах от –(0,3…1) до +(0,25…0,6) В достаточно точно может быть представлена экспонентой (рисунок 15.7):

i I 0 (e u 1) ,

27

T – абсолютная температура.

i

- (0,3…1) +(0,25…0,6)

Рисунок 4.10 – Характеристика, для аппроксимации которой требуется экспоненциальная функция.

Анализ спектра отклика нелинейного элемента на гармоническое воздействие

Гармонический анализ отклика НЭ осуществляется при воздействии на него гармонического колебания со «смещением», представляемого выражением:

u(t) U0 Um1 cos 1t .

Цель гармонического анализа отклика – определение его спектрального состава. При этом имеется ввиду, что НЭ безынерционный. Под таким НЭ подразумевается любой электронный прибор с нелинейной ВАХ при использовании его в диапазоне частот, на которых можно пренебречь влиянием паразитных параметров (внутренних емкостей и индуктивностей).

Наиболее распространенные методы анализа и случаи их использования приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1 – Методы спектрального анализа.

При методе угла отсечки используется кусочно-линейная аппроксимация характеристики НЭ. Форма реакции находится графическим методом (методом проекций), который заключается в построении третьей проекции y(t) (реакции НЭ) по известным двум: воздействию x(t) и характеристике y f (x) . При построении графика y(t) сначала наносят характерные точки: максимумы, минимумы, пересечения с осью абсцисс, - а затем промежуточные точки. Спектральный состав реакции определяется при разложении ее в ряд Фурье.

28

Метод кратных аргументов основывается на получении выражения реакции y(t) путем подстановки в степенной полином, которым представлена нелинейная характеристика y f (x) , выражения воздействия x(t) , представленного в виде ряда Фурье. После элементарных преобразований с учетом известных тригонометрических формул кратных аргументов и группировки слагаемых с одинаковыми аргументами получают выражение отклика в виде ряда.

Слабонелинейный режим работы НЭ

Рассмотрим режим работы, при котором напряжение сигнала u(t) не выходит за пределы точки начала характеристики U н (рисунок 4.4) и ВАХ удовлетворительно аппроксимируется степенным полиномом третьей степени:

i(u) a0 a1 (u U 0 ) a2 (u U 0 )2 a3 (u U 0 )3 ,

где u(t) U0 Um1 cos 1t - входной сигнал.

Подставим в заданный полином выражение входного сигнала:

i(t) a0 a1U m1 cos1t a2 (U m1 cos1t)2 a3 (U m1 cos1t)3

a0 a1U m1 cos1t a2U m12 cos2 1t 3 U m13 cos3 1t.

Применяя тригонометрические формулы кратных аргументов:

Сгруппируем слагаемые с одинаковым аргументом косинуса:

i(t) (a0 1/ 2a2U m12 ) (a1U m1 3 / 4a3U m13 ) cos1t

1/ 2a2U m12 cos 21t 1/ 4a3U m13 cos31t.

Заменим коэффициенты обозначением тока: I 0 a0 1/ 2a2U m12 - постоянная составляющая;

I m1 a1U m1 3 / 4a3U m13 - амплитуда первой гармоники; I m2 1/ 2a2U m12 - амплитуда второй гармоники;

I m3 1/ 4a3U m13 - амплитуда третьей гармоники. Отклик представим в виде:

i(t) I0 I m1 cos 1t I m2 cos 2 1t I m3 cos3 1t.

Представим воздействие и отклик графически.

Рисунок 4.11 – Спектральные диаграммы гармонического воздействия и отклика на него.

Выводы:

-спектр отклика при воздействии гармонического сигнала линейчатый;

-частоты составляющих спектра кратны частоте входного сигнала;

29

-кратность частоты высшей гармоники спектра равна степени полинома;

-постоянная составляющая и четные гармоники определяются только четными степенями напряжения в полиноме;

-нечетные гармоники определяются только нечетными степенями напряжения в полиноме.

Отметим, что в спектре отклика появились составляющие, отсутствовавшие в спектре входного воздействия. Эти новые составляющие являются результатом реакции нелинейной цепи и называются нелинейными продуктами, характеризующими нелинейные искажения входного сигнала.

Рассмотренный метод используется при анализе работы усилителей, работающих в нелинейном режиме, т.е. когда допустим уровень нелинейных продуктов выше

10%.

Существенно нелинейный режим работы НЭ

Рассмотрим режим работы, получаемый при сдвиге рабочей точки U 0 влево и

увеличении амплитуды возбуждающего напряжения (рисунок 4.7). В данном случае целесообразно применить кусочно-линейную аппроксимацию ВАХ:

где S - крутизна линейно возрастающего участка ВАХ, U н - координата его начала.

Форму реакции находим графическим методом. Типичное взаимное расположение ВАХ и сигналов показано на рисунке 4.12.

Im

ωt

Рисунок 4.12 – Определение формы реакции методом проекций.

30