lec12

Аксиомы и правило вывода для логики высказываний содержатся среди аксиом и правил для логики предикатов. Однако логика предикатов рассматривает более сложные объекты – формулы логики предикатов.

Можно применять все тавтологии логики высказываний, если вместо высказываний в них подставлять формулы логики предикатов.

Для некоторого, возможно пустого множества формул S и произвольной формулы A выводом A из S называется конечная последовательность формул логики предикатов B1, B2, … Bi, … Bk, где каждая формула Bi (i=1..k) либо является аксиомой, либо принадлежит Bi S, либо получена из некоторых формул (Bj,Bl), (1 j,l<i) по одному из правил: обобщения или заключения.

Формула A выводима из множества S, если существует вывод A из S. Формула A выводима, если существует вывод A из системы аксиом.

32

В логике предикатов справедлива теорема об эквивалентной замене (в логике высказываний – теорема 10.1. (о подстановке эквивалентных формул).

Теорема 12.1. (об эквивалентной замене).

Если формула А1 получена из формулы А путем замены некоторых вхождений подформулы В на подформулу В1, и выполняется:

ⱶ x1 x2 … xn (B B1),

где x1, x2, … xn – свободные переменные формул В и В1, являющиеся в тоже время связанными в формуле А, тогда

ⱶ (A A1)

33

Для того, чтобы теорема дедукции порождала правильные заключения, она должна содержать ограничения на использование правила обобщения.

Теорема 12.2. (о дедукции)

Пусть S – множество формул логики предикатов. A и B – такие формулы логики предикатов, что

S { A } ⱶ B

и правило обобщения не применялось в процессе вывода B из S {A}. Тогда

S ⱶ A B

!!! по правилу заключения верно и утверждение обратное теореме дедукции.

34