методичка из инета по мн-вам
.pdf3.1. Доказательство свойств операций над множествами
Докажем дистрибутивный закон пересечения относительно объединения. A (B C) ( A B) ( A C) .
Доказательство законов основывается на определении равных
множеств: |
A B A B и |
B A. То |
есть, для |
доказательства |
дистрибутивности |
пересечения |
множеств |
относительно объединения, требуется доказать включение левой части равенства в правую и правой в левую.
I. A (B C) ( A B) ( A C)
A (B C) ( A B) ( A C)
II.( A B) ( A C) A (B C)
I. Докажем первое включение.
Пусть
x
1.x
x
|
|
|
|
x A |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
x B |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x C |
|||
|
|
|
|
x A |
||
x A |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
x A (B C) |
|
2. x B |
||||
|
||||||
x (B C) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x C |
||
|
|
|
|
x A |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
3. |
x B |
|||
|
|
|
|
|
x C |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
|
|
|
|
B x A B x ( A B) ( A C) |
||||||
C |
|
|
|
|
|
x A
2.x B x A C x ( A B) ( A C)x C
x A
3.x B x A B и x A C x ( A B) ( A C)x C
21
Т. е. любой элемент х, принадлежащий A (B C),
принадлежит и множеству (A B) (A C), а это означает, что
A (B C) (A B) (A C).
II. Докажем второе включение.
Пусть y ( A
|
y A |
y |
|
1. |
|
||
|
y B |
|
|
|
y A |
y |
|
2. |
|
||
|
y C |
|
|
y A
3.y B y
y C
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y A B |
|
|
|
y A |
||
|
|
|
|||||
1. |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y A C |
|
|
y B |
|||
|
|
|
|||||
|
y A B |
|
|
y A |
|||
|
|
2. |
|||||
B) ( A C) 2. |
|
|
|
|
|||
|
y A C |
|
|
y C |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y A B |
|
|
|
y A |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
y A C |
|
|
y B |
|||
|
|
|
3. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y C |
||
|
|
|
|
|
|
||
Aи y B C y A (B C) |
|
|
|
|
|||
Aи y B C y A (B C) |
|
|
|
|
Aи y B C y A (B C)
Таким образом, |
любой элемент |
y, |
|
принадлежащий |
|||
(A B) (A C) |
, принадлежит и множеству |
A (B C) |
, а |
||||
|
|
|
|
|
|||
это означает, что |
(A B) (A C) A (B C) |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Из доказанных |
двух включений (I |
и II) |
следует, что |
||||
A (B C) ( A B) ( A C) . |
|
|
|
|
|
3.2. Иллюстрация свойств операций над множествами
Можно проиллюстрировать свойства операций над множествами с помощью кругов Эйлера. Для этого выбирают конкретное отношение между множествами. Устанавливают порядок действий в левой и правой частях равенства. И последовательно закрашиваются
22
области, соответствующие результатам действий. Если закрашенная область, соответствующая результату последнего действия в левой части равенства совпадает с закрашенной областью, соответствующей результату последнего действия в правой части равенства, то можно говорить, что рассматриваемый закон выполняется для конкретного
отношения между множествами. |
|
|
|
||
Проиллюстрируем на кругах Эйлера этот же |
|
||||
дистрибутивный закон |
пересечения |
относительно А |
В |
||
объединения A (B C) (A B) (A C) |
|
||||
для следующего отношения между множествами А, В |
|
||||
и С. |
|
|
|
|
С |
1. Укажем последовательность действий в левой и правой частях |
|||||
2 |
1 |
3 |
5 |
4 |
|
равенства: А (В С) = (А В) (А С) |
|
2. Закрасим на кругах Эйлера области, соответствующие результатам операций над множествами:
А |
В |
А |
В |
1) |
|
3) |
|
|
С |
|
С |
А |
В |
А |
В |
2) |
|
4) |
|
|
С |
|
С |
А В
5)
С
23
Так как закрашенные области на кругах Эйлера, являющиеся результатами действий 2) и 5) совпадают, то можно говорить о том, что для рассматриваемого отношения между множествами А, В и С свойство дистрибутивности пересечения относительно объединения выполняется.
|
|
|
УПРАЖНЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
Изобразите элементы множеств на числовой прямой. |
|
|
|
|||||||||||||
A {x, x N, x 4} |
A10 |
- множество действительных |
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
||||||||||||||
A2 |
{ 3, 1, |
1, 3} |
решений неравенства: (х-2)(х+5)<0 |
||||||||||||||
A {x, x Z , |
3 x 5} |
A |
- |
множество |
|
действительных |
|||||||||||
11 |
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
{x, x Z, x 3} |
решений неравенства: х2+х+3>0 |
|
||||||||||||||
4 |
|
|
A |
- |
множество |
|
действительных |
||||||||||
|
{x, x R, x 0} |
|
|||||||||||||||
A |
12 |
|
|||||||||||||||
5 |
|
|
решений неравенства: |
2x |
2 |
x 7 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
{x, x R, x 2} |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
- |
множество |
|
действительных |
|||||||||||
|
|
13 |
|
||||||||||||||
A |
{x, x R, 5 x 4} |
|
|||||||||||||||
решений неравенства: |
x |
|
6x 9 0 |
|
|||||||||||||
7 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
- множество целых |
A |
- |
множество |
целых |
решений |
|||||||||||
8 |
14 |
||||||||||||||||
корней уравнения: |
неравенства: |2x-3|<5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(х2-4)(х+3)(2х-5)=0 |
A |
- |
множество |
|
действительных |
||||||||||||
|
|
|
15 |
|
|||||||||||||
A |
|
|
решений неравенства: |x2+5x+1|>3 |
||||||||||||||
- множество |
A |
|
множество |
|
|
действительных |
|||||||||||
9 |
|
|
|
||||||||||||||
16 - |
|
|
|
||||||||||||||
действительных корней |
|
|
|
|
|
|
|
6x 187 x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
уравнения: |
|
решений неравенства: |
|
x |
2 |
|
12x 89 |
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(х2-3)(х3+8)((2х+3)=0 |
A |
- |
множество |
целых |
решений |
||||||||||||
|
|
|
17 |
||||||||||||||
|
|
|
неравенства: |
x 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x 5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Укажите характеристическое свойство множеств
А= {1, 3, 5, 7, 9}
B= {м, а, р, т}
C= {12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96}
D= {+, -, :, ·}
3 |
Задайте множества перечислением элементов |
1) |
A1={x, x N, x<7} |
2) |
A2={x, x Z, -3 x<4} |
24
3)A3={x, x Z, \x\<4}
4)A4={x, x N,\x\<4}
5)A5 – множество нечетных однозначных натуральных чисел.
6)A6 – множество однозначных целых чисел, кратных 3.
7)A7 – множество двузначных натуральных чисел, кратных 11.
8)A8={x, x N, 3 x<7}
9)A9={x, x R, (x+4) (x2-2)2=0}
10)A10={x, x N0, x<5}
11)A11={x, x N, x 5}
12)A12 – множество нечетных натуральных чисел, меньших 15.
13)A13 – множество отрицательных целых чисел, больших -6.
14)A14={x, x Z, -8 x<-2}
15)A15={x, x R, (x3+1) (x2-16)=0}
4 |
Задайте множества указанием характеристического свойства. |
1. |
B1={0, 1, 2, 3, 4} |
11. |
B11={-2, -4, -6, -8} |
2. |
B2={1, 3, 5, 7, 9} |
12. |
B12={3, 4, 5, 6, 7} |
3. |
B3={3, 6, 9, 12} |
13. |
B13={-7, -6, -5, -4, -3, -2} |
4. |
B4={0, 2, 4, 6, 8} |
14. |
B14={2, 3, 5, 7} |
5. |
B5={-1, -2, -3, -4} |
15. |
B15={100, 200, 300, 400, 500} |
6. |
B6={-1, -3, -5, -7, -9} |
16. |
B16={-11, -22, -33, -44, -55} |
7. |
B7={10, 20, 30, 40, 50} |
17. |
B17={6, 12, 18, 24, 30} |
8. |
B8={22, 44, 66, 88} |
18. |
B18={1, 2, 3, 4, 6, 12} |
9. |
B9={-3, -6, -9} |
19. |
B19={-1, -2, -3, -6, -9, -18} |
10. B10={2, 4, 8, 16, 32} |
20. |
B20={1, 4, 7, 10} |
5 |
Среди указанных множеств выберите конечные и задайте их |
|
|
перечислением элементов. |
|
А – множество целых решений уравнения 2х+3=0 |
|
В – множество целых чисел, меньших 3 |
|
С – множество натуральных чисел, меньших 4 |
|
D – множество квадратов, со стороной 5 см |
Е – множество действительных решений уравнения: x2 5x2 2 4
25
|
6 |
|
Выясните, в каких отношениях находятся множества А и В. |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
Проиллюстрируйте эти отношения, используя круги Эйлера. |
|||||||||||||
а) А = {а, в, г}, |
|
|
|
|
В |
– |
|
множество |
решений |
||||
В |
|
– |
множество |
букв |
слова |
|
неравенства |
|
|||||
|
|
«сапог» |
|
|
|
|
|
10-х-1,5-101-2х>0 |
|
||||
б) A {x, x Z, |
x 4} , |
|
е) |
А |
– |
множество |
решений |
||||||
B {x, x R, |
x 3,5} |
|
|
|
уравнения |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 5x 8 x 1 |
|||
в) А – множество окружностей, |
В |
– |
|
множество |
решений |
||||||||
|
|
радиус которых равен 2 см |
|
уравнения 5х+1-5х-1=24 |
|||||||||
В |
– |
множество окружностей, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
радиус которых равен 6 см |
ж) |
|
А |
– |
множество |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
|
А |
– |
множество уравнений, |
|
тригонометрических |
|||||||
|
|
функций |
|
||||||||||
|
|
имеющих |
|
|
|
один |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
В – множество четных функций |
||||||||
|
|
действительный корень |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В |
|
– |
множество |
квадратных |
з) |
С |
|
– |
множество |
||||
|
|
уравнений |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
равнобедренных треугольников |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) |
А |
– |
множество |
решений |
|
D – множество правильных |
|||||||
треугольников |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
32х-1+32х-2-32х- |
|
|||||||
|
|
уравнения |
|
Е |
|
– |
множество |
||||||
|
|
4=315 |
|
|
|
|
тупоугольных треугольников |
||||||
|
7 |
|
|
Проанализируйте с точки зрения теории множеств задачи: |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
а) На клумбе расцвели 15 красных и 12 розовых астр, а белых |
|||||||||||
столько, сколько красных и розовых вместе. Сколько белых астр |
|||||||||||||
расцвело на клумбе? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
б) В школьной столовой было 6 столов, |
поставили ещё 4 новых |
||||||||||
стола, а 2 старых убрали. Сколько столов стало в столовой? |
|
||||||||||||
|
|
в) В колхозе было 8 тракторов. Купили ещё 2 новых трактора, а 1 |
|||||||||||
трактор передали школе для обучения старшеклассников. Сколько |
|||||||||||||
тракторов стало в колхозе? |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
В каком отношении находятся множества, о которых идёт речь в |
|||||||||||
задачах? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
8 |
Задайте |
множества |
A B; |
A B; |
|
окружностей, радиус которых равен окружностей, радиус которых равен 5 см.
A \ B , |
если |
А - |
множество |
3 |
см. В |
- |
множество |
9Задайте множества X \ Y; Y \ X ; X Y; X Y; X Y , если
Х– множество решений неравенства х2(х+3)(х-4)<0, а
Y – множество решений неравенства
1 x
4
.
10 |
Сформулируйте |
|
M N, M N, M \ N
действительных корня,
характеристические свойства множеств , где М – множество уравнений, имеющих два N – множество квадратных уравнений.
11 |
Х – множество числовых выражений, имеющих смысл на |
||||||
|
|||||||
множестве N. Y – множество числовых выражений, имеющих смысл |
|||||||
на |
множестве |
Z. |
Сформулируйте |
характеристическое |
свойство |
||
следующих множеств: |
X Y; X Y; |
X \ Y; Y \ X |
. |
|
|||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
A B, |
A C, B C |
|
A B, A C, B C |
|
|||
|
Задайте множества |
, |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A \ B, A \ C, B \ A |
B C, (A C) (A \ B) , |
|
|
А∆В, А∆С, В∆С, |
|||||||||
|
|
, A |
|
|
|||||||||
А\(В∆С), |
В (А∆С), |
С∆(А В), |
(С В) (С∆А), |
(А С) (С∆А), |
|||||||||
(А В) (С∆В), |
|
|
B \ A, B \ C, |
C \ A, C \ B |
, |
|
|
(A \ B) (C \ B), |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A B C, A B C |
, |
A B, A C, B C, B A, C A, |
C B |
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( A C) \ ( A B), ( A B) (C A), (B C) A, ( A B) (B C) |
|
а) А – множество целых чисел, кратных 5
B{x, x Z , x 5}
C{x, x R, X 4}
б) A – множество отрицательных целых чисел, кратных 5
27
B x, x R, 3 1 x 4,53
C x, x Z , 7 x 1
A {x, x R, 0 x 7}
в) B {x, x Z , 4 x 1}
C {x, x N, x 5}
г)
д)
е)
A {x, x N, x 4}
B{x, x Z , 10 x 4}
C{x, x R, x 4,3}
A {x, x R, 3 x 5}
B{x, x Z, x 2}
C{x, x N, x 2,5 x 4 x 5 0}
A {x, x Z , x 5}
B{x, x R,0 x 9}
C{x, x R, x2 2 x3 8 0}
13 |
А |
– |
множество |
окружностей |
плоскости, |
радиус |
которых |
|
равен 3.
В – множество окружностей
Задайте множества: А∆В, |
A B, |
|
плоскости, радиус которых равен 5.
A B, A \ B.
14 Х – множество решений неравенства x2 x 3 x 4 0 Y – множество решений неравенства 1x 4
Задайте множества: X \ Y, Y \ X , X Y, X Y, X Y .
15 М – множество уравнений, имеющих два действительных корня N – множество квадратных уравнений
28
Сформулируйте |
|
характеристическое |
свойство |
|
множеств: |
|||||||
M N, M N, M \ N . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
16 А = {(x,y), x R, y R, y x+1 } |
|
|
|
|
|
|
||||||
В = {(x,y), x R, y R, y x2-2 } |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С = {(x,y), x R, 0 x<3, y R} |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдите A B, |
A C, B C , А∆В, |
А∆С, В∆С, A B, A C, B C , |
||||||||||
A B \ C, |
B C \ A, C \ A B . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Для каждого случая сделайте чертёж. |
|
|
|
|
|
|||||||
17 |
А – множество многоугольников |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
В – множество прямоугольных треугольников |
|
|
|
|||||||||
С – множество равнобедренных треугольников |
|
|
|
|||||||||
D – множество ромбов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Е – множество прямоугольников |
|
|
|
|
|
|
||||||
F – множество параллелограммов |
|
|
|
|
|
|||||||
Постройте |
круги |
Эйлера |
для |
данных |
множеств. |
Укажите |
||||||
характеристическое свойство элементов множеств а) |
E' B C, |
б) |
||||||||||
|
|
|||||||||||
C \ B D E, |
в) |
D \ E B, |
г) |
E F ' |
и отметьте штриховой линией |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
области, изображающие эти множества. |
|
|
|
|
18 |
|
A B; |
A B; |
A \ B |
|
|
|
||
|
Задайте множества |
, А∆В если |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
а) А – множество решений уравнений |
x |
2 |
y y |
2 |
x |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
В – множество решений уравнений |
y |
2 |
x 6 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
б) А – множество решений уравнений |
xy |
x |
|
16 |
||
y |
|
3 |
||||
|
|
|
В – множество решений уравнений xy xy 92
в) А – множество решений уравнений 2x 3y 5 В – множество решений уравнений 2x 3y 1
29
19 |
Проиллюстрируйте ассоциативные законы объединения и |
|
|
пересечения для следующих случаев отношений между множествами: |
рис.7 |
рис.8 |
рис.9 |
рис.10 |
20 |
Проиллюстрируйте |
|
|
относительно пересечения |
|
множествами: |
дистрибутивный закон объединения для следующих случаев отношений между
рис.11 |
рис.12 |
рис.13. |
рис.14 |
21 |
а) |
A |
|
Изобразите на кругах Эйлера отношения между множествами.
{x, x R, x 5} |
, |
B {x, x R, 10 x 10} |
, |
C {x, x Z, 3 x 4} |
|
|
|
б)
в)
г)
д)
А – множество прямоугольных треугольников В – множество остроугольных треугольников С – множество равносторонних треугольников
А – область определения функции |
y |
x |
2 |
2x 5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
В – множество решений неравенства |
3x x |
2 |
4 5 3x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
С - множество решений неравенства |
log1/ 3 |
( |
x |
7) 0 |
|
||||
|
|
|
3 |
|
А – множество окружностей плоскости В – множество прямоугольников плоскости С – множество ромбов плоскости
А – множество прямых плоскости, параллельных прямой y = x
В – множество прямых плоскости, параллельных прямой y = 2 − x С – множество прямых плоскости, параллельных прямой x = 2.
30