Литература и лекции / MathAn20180303

и в форме Коши

ãäå 0 < µ < 1 :

Замечание

Частный случай формулы Тейлора при x0 = 0 носит название формулы Макло-

Важное практическое значение имеют формулы Маклорена для элементарных функций:

Замечание Члены, предшествующие остаточному члену, логично называть главными.

Каждый из главных членов можно вычислить точно, тогда как в остаточном члене присутсвует значение c , найти которое точно не представляется возможным.

Самое интересное, что искать его и не нужно.

21

На практике формулы Маклорена (и Тейлора) применяются с сохранением "нужного" количества главных членов и с отбрасыванием остаточного члена. Что такое "нужное" количество, станет ясным после изучения темы "степенные ряды".

Рассмотрим функции

где индекс k функции fk(x) есть количество взятых из формулы Маклорена для f(x) = sin x главных членов. Изобразим на Рис. 3 графики функций y = fk(x) совместно с графиком функции y = sin x :

Ðèñ. 3

Графики показывают, что сумма главных членов формулы Маклорена тем точ- нее представляет функцию sin x, чем больше слагаемых сохранено в этой сумме.

Определение выпуклости функции (классическое) Пусть f : R ! R:

Функция f(x) выпукла вверх на промежутке (a; b) ; åñëè 8x1; x2 2 (a; b) ; 8¸ 2 (0; 1) можно доказать справедливость неравенства

Функция f(x) выпукла âíèç на промежутке (a; b) ; åñëè 8x1; x2 2 (a; b) ; 8¸ 2 (0; 1) можно доказать справедливость неравенства

22

Замечание Если параметр ¸ пробегает все вещественные значения от 0 äî 1 ; то выражение

¸x1 + (1 ¡ ¸)x2 в левой части (11) è (12) пробегает все значения от x1 äî x2 : Это означает, что точка с координатами (¸x1+(1¡¸)x2; f(¸x1+(1¡¸)x2)) ; при изменении ¸ îò 0 äî 1 ; перемещается ("скользит") вдоль графика функции y = f(x) (Ðèñ. 4).

Если параметр ¸ пробегает все вещественные значения от 0 äî 1 ; то выражение ¸f(x1) + (1 ¡ ¸)f(x2) в правой части (11) è (12) пробегает все значения от f(x1) äî

f(x2) :

Это означает, что точка с координатами (¸x1 + (1 ¡ ¸)x2; ¸f(x1) + (1 ¡ ¸)f(x2)) ; при изменении ¸ îò 0 äî 1, перемещается ("скользит") вдоль отрезка прямой, соединяющего точки с координатами (x1; f(x1)) ; (x2; f(x2)) (Ðèñ. 4).

Геометрический смысл (Рис. 4(а)) выпуклости вверх на промежутке (a; b) таков: линия графика функции y = f(x) на промежутке (x1; x2) проходит строго âûøå хорды, соединяющей точки (x1; f(x1)) ; (x2; f(x2)) ; прич¼м, это справедливо

8x1; x2 2 (a; b) :

Геометрический смысл (Рис. 4(б)) выпуклости âíèç на промежутке (a; b) таков: линия графика функции y = f(x) на промежутке (x1; x2) проходит строго íèæå хорды, соединяющей точки (x1; f(x1)) ; (x2; f(x2)) ; прич¼м, это справедливо

8x1; x2 2 (a; b) :

23

Слушателям следует обратить внимание на то, что здесь не используется понятие "выпуклость" (без указания, куда именно) и понятие "вогнутость". Таким понятиям в сети Интернет даются, порой, прямо противоположные толкования, а нам это ни к чему.

Замечание Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение прямой, проходящей

через точки (x1; y1), (x2; y2), имеет вид (x ¡ x1)=(x2 ¡ x1) = (y ¡ y1)=(y2 ¡ y1), èëè y = (y2 ¢ (x ¡ x1) ¡ y1 ¢ (x ¡ x2)=(x2 ¡ x1). Применительно к Рис. 4 это уравнение принимает вид y = L(x), ãäå

L(x) = f(x2) ¢ (x ¡ x1) ¡ f(x1) ¢ (x ¡ x2) : x2 ¡ x1

Определение выпуклости функции (альтернативное) Пусть f : R ! R.

Функция f(x) выпукла вверх на промежутке (a; b), åñëè 8x1; x2 2 (a; b), 8x 2 (x1; x2) можно доказать справедливость неравенства

24

означающего, что график функции f(x) на промежутке (x1; x2) всюду âûøå графика функции L(x).

означающего, что график функции f(x) на промежутке (x1; x2) всюду íèæå графика функции L(x).

Замечание Можно строго доказать (но мы делать этого не будем), что классическое и аль-

тернативное определения выпуклости вверх / âíèç эквивалентны. Альтернативное определение облегчает доказательство следующей теоремы.

Теорема о достаточном условии выпуклости вверх / âíèç

Пусть f : R ! R. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема во всех точках промежутка (a; b).

Тогда

åñëè f00(x) < 0, 8x 2 (a; b), òî f(x) выпукла вверх на промежутке (a; b); åñëè f00(x) > 0, 8x 2 (a; b), òî f(x) выпукла âíèç на промежутке (a; b).

Доказательство будет построено только для случая выпуклости вверх è äëÿ x1 < x2 .

Пусть f00(x) < 0, 8x 2 (a; b).

Возьм¼м произвольные x1, x2 такие, что a < x1 < x2 < b. Пусть x 2 (x1; x2). Нужно доказать неравенство (11), òî åñòü f(x) ¡ L(x) > 0. Èòàê,

25

По теореме Лагранжа существует c1 2 (x1; x) такое, что

f(x) ¡ f(x1) = f0(c1) ¢ (x ¡ x1) :

По теореме Лагранжа существует c2 2 (x; x2) такое, что

f(x2) ¡ f(x) = f0(c2) ¢ (x2 ¡ x) :

Продолжим цепь преобразований (16):

26

Доказательство закончено.

Определение

Пусть f : R ! R.

Пусть функция f(x) непрерывна и дифференцируема в точке x0.

Пусть 9 ± > 0 такое, что функция f(x) имеет одно направление выпуклости 8 x 2 (x0 ¡ ±; x0), и прямо противоположное направление выпуклости

8 x 2 (x0; x0 + ±).

Тогда точка x0 называется точкой перегиба.

Теорема о стабилизации знака

Пусть F : R ! R. Пусть lim F (x) = A :

x!x0

Пусть A > 0 : Тогда 9 ±1 > 0 такое, что F (x) > 0 ; 8x 2 (x0 ¡±1 ; x0 +±1) : Пусть A < 0 : Тогда 9 ±1 > 0 такое, что F (x) < 0 ; 8x 2 (x0 ¡±1 ; x0 +±1) :

Доказательство да¼тся только для случая A > 0 :

По определению предела, равенство lim F (x) = A означает, что 8" > 0

x!x0

9 ±(") > 0 такое, что из неравенства jx ¡ x0j < ±(") можно доказать справедливость неравенства jF (x) ¡ Aj < " :

27

Тогда f00(x0) = 0.

Доказательство вед¼тся методом от противного.

Предположим, что f00(x0) 6= 0. Пусть, например, f00(x0) > 0. Функция f00(x) непрерывна в точке x0 , следовательно, lim f00(x) = f00(x0) > 0 : Тогда, по теореме о стабилизации знака, 9 ±1 > 0 такое, что

Наличие перегиба в точке x0 означает, что выпуклость функции f(x) слева и справа от x0 прямо противоположна.

Вместе с этим, существование второй производной в окрестности (x0 ¡ ±; x0 + ±)

означает, по теореме о достаточном условии выпуклости, что эта вторая производная имеет противоположные знаки слева и справа от x0 : Но тогда становится невозмож-

ной предусмотренная в (21) положительность f00(x) слева и справа от x0 : Полученное противоречие отвергает возможность неравенства f00(x0) > 0 : Àíà-

логично доказывается и невозможность неравенства f00(x0) < 0 :

Доказательство закончено.

Теорема о достаточном условии перегиба Пусть f : R ! R. Пусть:

28

есть, вторая производная меняет знак при переходе через точку x0) Тогда в точке x0 функция f(x) имеет перегиб.

Доказательство предоставляется слушателям.

Теорема о втором достаточном условии локального минимума функции в точке

Обратимся к теореме о первом достаточном условии локального минимума в точ-

29

ке. Все четыре условия теоремы выполнены, в частности, третье и четв¼ртое условия соблюдены в силу (17) è (18).

Доказательство закончено.

Замечание Сформулировать и доказать теорему о втором достаточном условии существова-

ния локального максимума функции в точке слушателям предстоит самостоятельно.

30