Литература и лекции / DefiniteIntegral
.pdfОпределение
Набор точек fxigi=0; 1; 2; ::: ; n ; таких, что a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b, принято называть разбиением (или дроблением) промежутка [a; b].
Число xi |
|
принято называть i м узлом разбиения. |
|
|||||||||||||||
Число r |
|
max (x |
i ¡ |
x |
i¡1 |
) |
|
принято называть рангом разбиения. |
|
|||||||||
|
= 1 |
i n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
· · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Набор точек f»igi=1; 2; ::: ; n ; |
|
таких, что |
xi¡1 · »i |
· xi ; к сожалению, на- |
||||||||||||||
звания в литературе не удостоился. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть f : [a; b] ! R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величину |
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f(»i) ¢ (xi ¡ xi¡1) принято называть интегральной суммой. |
|||||||||||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если существует и конечен предел интегральной суммы |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
¢ |
|
i ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f(» |
) |
(x |
x |
i¡1) |
; |
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
r |
! |
0 |
i |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и этот предел не зависит от способа расстановки узлов xi на промежутке [a; b] и от выбора места для точек »i ; на промежутках [xi¡1; xi],
то принято говорить, что функция f(x) интегрируема на промежутке [a; b] , а значение предела в (1) называется определ¼нным интегралом функции f(x) на промежутке [a; b] .
Обозначение: |
Z |
b |
= r!0 |
i=1 |
i ¢ |
|
i ¡ |
i¡1 |
|
a |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
f(x) dx |
lim |
|
f(» ) |
(x |
|
x ) : |
Теорема
Пусть f : [a; b] ! R.
Åñëè f(x) непрерывна на [a; b] ; то она интегрируема на [a; b] : Без доказательства.
1
Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно.
Определение
Пусть f : [a; b] ! R. Пусть f(x) ¸ 0, 8x 2 [a; b].
Часть плоскости в декартовой прямоугольной системе координат xOy, ограниченная прямой y = 0 (снизу), прямой x = a (слева), прямой x = b (справа), и графиком функции y = f(x) (сверху), называется криволинейной трапецией, èëè подграфиком функции f(x) на промежутке [a; b].
Замечание. Геометрический смысл определ¼нного интеграла
Построим график функции y = f(x) на промежутке [a; b]. Пусть S площадь
подграфика этой функции на этом промежутке.
Возьм¼м разбиение промежутка [a; b] набор точек ; таких, что a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b. Через каждый из узлов разбиения, расставленных на оси Ox , провед¼м вертикальный отрезок до пересечения с линией y = f(x) . Провед¼нные отрезки рассекут подграфик функции f(x) íà n долей (Рис. 1, синие криволинейные трапеции).
Ðèñ. 1
2
|
n |
Пусть si площадь i й доли. Очевидно, что S = |
Xi |
si : |
|
|
=1 |
Расставим на оси Ox набор точек f»igi=1; 2; ::: ; n ; таких, что xi¡1 · »i · xi . На каждую, i ю по номеру, синюю криволинейную трапецию наложим красный прямоугольник высотой f(»i) . i й по номеру прямоугольник ограничен вертикальными прямыми x = xi¡1 , x = xi , и горизонтальными прямыми y = 0 , y = f(»i) .
Очевидно, что сумма площадей всех красных прямоугольников (а это интегральная сумма) примерно равна сумме площадей всех синих криволинейных трапеций (а это площадь всего подграфика):
n |
n |
|
X |
Xi |
|
f(»i) ¢ (xi ¡ xi¡1) ¼ |
si = S : |
(2) |
i=1 |
=1 |
|
Прич¼м, можно попытаться доказать, что разность этих сумм убывает и стремится к нулю при n ! +1 , èëè ïðè r ! 0 :
Попытаться можно. Но не факт, что нужно.
Теперь мы готовы сформулировать геометрический смысл определ¼нного интеграла:
интегральная сумма примерно равна площади подграфика f(x) íà [a; b];
интеграл точно равен площади этого подграфика .
Пытливый читатель скажет: "А вс¼-таки в последнем, фиолетовом пункте, чтото не так".
Безразличный читатель ответит: "А мне это глубоко фиолетово". Теорема
n |
|
|
|
Xi |
1 |
|
|
i2 = |
6 |
¢ n ¢ (n + 1) ¢ (2n + 1) : |
(3) |
=1 |
|
|
|
Доказательство строится методом математической индукции.
3
1. База индукции. Убедимся, что формула (3) справедлива при n = 1:
12 = 16 ¢ 1 ¢ 2 ¢ 3 :
2. Индуктивное предположение. Предположим, что формула (3) верна при n = k:
Xk i2 = 16 ¢ k ¢ (k + 1) ¢ (2k + 1) :
i=1
3. Индуктивный переход. Докажем, что формула (3) верна и при n = k + 1:
Xk+1
i2 = 16 ¢ (k + 1) ¢ (k + 2) ¢ (2k + 3) :
i=1
Действительно,
k+1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
X |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
i2 |
= i2 |
+ (k + 1)2 = |
6 |
¢ k ¢ (k + 1) ¢ (2k + 1) + (k + 1)2 = |
||||||
=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
= (k + 1) ¢ µ |
|
¢ k ¢ (2k + 1) + (k + 1)¶ = (k + 1) ¢ |
|
|
¢ (k ¢ (2k + 1) + 6k + 6) = |
|||||
6 |
6 |
|||||||||
= (k + 1) ¢ 6 |
¢ ¡2k2 + 7k + 6¢ = (k + 1) ¢ 6 ¢ (k + 2) ¢ (2k + 3) : |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Доказательство закончено. Следствие
n |
|
|
|
Xi |
1 |
|
|
(i ¡ 1)2 = |
6 |
¢ (n ¡ 1) ¢ n ¢ (2n ¡ 1) : |
(4) |
=1 |
|
|
|
Доказательство основано на том, что (4) отличается от (3) отсутствием слагаемого n2.
Теорема
Площадь подграфика функции f(x) = x2 на промежутке [0; b] вычисляется по формуле S = 13 ¢ b3.
4
Доказательство
Возьм¼м набор точек xi = b ¢ ni ; (i = 0; 1; 2; : : : ; n) равномерное разбиение промежутка [0; b]. Ранг разбиения r = nb ; откуда n = rb .
Ðèñ. 2
Рассмотрим i й промежуток разбиения промежуток
Площадь подграфика функции f(x) на этом промежутке (площадь криволинейной трапеции ABDC, Рис. 2) обозначим через si.
Следующие два утверждения основаны на том, что функция f(x) = x2 строго возрастает при x ¸ 0.
Поскольку криволинейная трапеция ABDC полностью содержится внутри прямоугольника ABDC1, справедливо неравенство
|
b |
¢ µb ¢ |
i |
¶ |
2 |
b3 i2 |
||
si < SABDC1 = AB ¢ BD = (xi ¡ xi¡1) ¢ f(xi) = |
|
|
= |
|
¢ |
: |
||
n |
n |
n3 |
Поскольку криволинейная трапеция ABDC полностью содержит внутри себя прямоугольник ABD1C, справедливо неравенство
s |
> S |
|
= AB |
¢ |
AC = (x |
i ¡ |
x |
i¡1 |
) |
¢ |
f(x |
i¡1 |
) = |
b |
|
¢ µ |
b |
¢ |
|
i ¡ 1 |
¶ |
2 = |
b3 ¢ (i ¡ 1)2 |
: |
|
n |
n |
n3 |
|||||||||||||||||||||
i |
|
ABD1C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Таким образом, |
|
b3 ¢ (i ¡ 1)2 |
|
b3 ¢ i2 |
|
|
|
|
< si < |
: |
(5) |
||
|
n3 |
n3 |
||||
|
|
|
|
|
||
Обозначим символом Sn площадь подграфика функции f(x) = x2 |
íà âñ¼ì ïðî- |
межутке [0; b]. Очевидно, что эта, большая площадь равна сумме маленьких площадей
подграфиков f(x) = x2 |
|
|
по всем промежуткам разбиения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn = |
=1 |
si : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Очевидно, также, что площадь подграфика Sn = S |
не должна зависеть от n ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
è ÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
Sn = S : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
На основании (5) можно утверждать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn < Sn < Gn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||||||||||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
= |
|
n |
b3 ¢ (i ¡ 1)2 |
= |
b3 |
|
|
|
n |
(i |
|
|
1)2 = |
|
b2 |
|
|
|
|
1 |
|
(n |
|
1) |
|
n |
|
(2n |
|
|
1) = |
b3 |
|
|
2n2 ¡ 3n + 1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n3 ¢ |
|
|
|
¡ |
n3 ¢ |
6 ¢ |
¡ |
¢ |
¢ |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
=1 |
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ¢ |
|
|
|
|
n2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
G |
|
= |
|
n |
b3 ¢ i2 |
|
= |
|
b3 |
|
|
|
n |
i2 = |
b2 |
|
1 |
|
n |
|
|
|
(n + 1) |
|
(2n + 1) = |
b3 |
|
|
|
|
|
|
2n2 |
+ 3n + 1 |
: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
n3 |
|
¢ |
|
=1 |
|
n3 ¢ |
6 ¢ |
¢ |
|
¢ |
6 ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
=1 n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Возьм¼м предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
2n2 ¡ 3n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = rb ; |
|
r = |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
F |
n |
= |
|
lim |
|
¢ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
+ |
|
|
|
|
= r |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
1 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
|
2 ¢ |
|
rb |
|
|
2 ¡ 3 ¢ rb + 1 ¢ |
r2 |
|
|
|
b3 |
|
lim |
2 ¡ 3 ¢ |
r |
+ |
r2 |
|
|
= |
b3 |
|
|
2 = |
b3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
b |
b2 |
|
|
: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
0 |
³ |
|
|
¡ ¢ |
|
|
b 2 |
|
r2 |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 ¢ |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
¡r ¢ |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ¢ |
! |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ¢ |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Возьм¼м предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
2n2 + 3n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n = rb ; |
|
r = |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
G |
n |
= |
|
lim |
|
¢ |
|
= |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
+ = r |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
|
b3 |
|
|
2 ¢ rb |
|
2 + 3 ¢ rb + 1 |
|
¢ |
r2 |
|
|
|
b3 |
|
|
|
|
2 + 3 ¢ |
r |
+ |
r2 |
|
|
|
b3 |
2 = |
b3 |
: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
b |
b2 |
|||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6 ¢ |
r 0 ³ |
¡ |
¢ |
b 2 |
r2 |
|
´ |
6 ¢ r 0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= 6 ¢ |
3 |
|
||||||||||||||||||
По теореме о двух полицейских¡ ¢ ¢ |
b2 |
|
(для последовательностей), ввиду того, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Fn < Sn < Gn ; |
|
|
|
lim |
Fn |
= |
|
|
|
lim |
Gn = |
|
b3 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
lim Sn |
= |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Доказательство закончено. |
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Теорема |
|
о свойствах определ¼нного интеграла от интегрируемых функций |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1. |
Интеграл от единицы равен длине промежутка интегрирования: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zb |
1 ¢ dx = b ¡ a : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Интеграл не зависит от имени переменной интегрирования:
Zb Zb Zb
f(x) ¢ dx = f(¸) ¢ d¸ = f(Ω) ¢ dΩ :
a a a
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Zb Zb
c ¢ f(x) ¢ dx = c ¢ f(x) ¢ dx :
a a
4.1. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:
Zb Zb Zb
(f(x) + g(x)) ¢ dx = f(x) ¢ dx + g(x) ¢ dx :
a a a
7
4.2. Интеграл от разности двух функций равен разности интегралов от этих функций:
Zb Zb Zb
(f(x) ¡ g(x)) ¢ dx = f(x) ¢ dx ¡ g(x) ¢ dx :
a a a
5. Обмен местами пределов интегрирования изменяет знак интеграла на противоположный:
Zb Za
f(x) ¢ dx = ¡ f(x) ¢ dx :
a b
6. При равенстве верхнего и нижнего пределов интегрирования интеграл
равен нулю:
Za
f(x) ¢ dx = 0 :
a
7. Интеграл по полному промежутку [a; c] равен сумме интегралов по
составным частям [a; b] , |
[b; c] |
(a < b < c) этого промежутка (свойство |
аддитивности интеграла): |
|
|
Zc f(x) ¢ dx = Zb f(x) ¢ dx + Zc f(x) ¢ dx : |
||
a |
a |
b |
8.1. Интеграл от положительной функции положителен:
f(x) > 0; b > a =) |
Zb |
f(x) ¢ dx > 0 : |
|
|
a |
8.2. Интеграл от неотрицательной функции неотрицателен:
8
f(x) ¸ 0; b > a =) |
Zb |
f(x) ¢ dx ¸ 0 : |
|
|
a |
9.1. Большая функция да¼т больший интеграл:
f(x) > g(x); b > a =) |
Za b f(x) ¢ dx > Za b g(x) ¢ dx : |
9.2. Не меньшая функция да¼т не меньший интеграл:
Zb Zb
f(x) ¸ g(x); b > a =) f(x) ¢ dx ¸ g(x) ¢ dx :
a a
10. |
Модуль интеграла меньше либо равен интеграла модуля: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
b > a = |
|
|
¯ |
b f(x) |
|
dx¯ |
|
Z |
b |
|
f(x) |
|
dx : |
||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
¯Z |
|
|
¢ |
|
¯ |
· |
|
j |
|
j ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯a |
|
|
|
|
¯ |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
11. |
Åñëè m |
· |
f(x) |
· |
M , |
|
x |
¯ |
[a; b] , òî |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
8 |
2 |
|
f(x) ¢ dx · M : |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
m · b ¡ a ¢Za |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
Åñëè f(x) |
непрерывна на [a; b] , то существует такая точка c 2 [a; b] , |
||||||||||||||||||
÷òî |
|
|
|
|
Zb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) ¢ dx = f(c) ¢ (b ¡ a) ;
a
ïðè÷¼ì, c принято называть среднеинтегральной точкой, а f(c) среднеинтегральным значением функции на промежутке [a; b] .
Без доказательства. Позже будет дано доказательство свойства 12.
9
Теорема Ньютона Лейбница Пусть f : [a; b] ! R.
Пусть f(x) непрерывна на [a; b]. Пусть F (x) первообразная для f(x) .
Zb
Тогда f(x) dx = F (b) ¡ F (a) :
a
Доказательство
Возьм¼м разбиение промежутка [a; b] набор точек fxigi=0; 1; 2; ::: ; n ; таких, что
a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b.
Пусть это разбиение строится по такой схеме, что r = max (xi ¡ xi¡1) ! 0 ïðè
1·i·n
n ! +1.
Рассмотрим разность
F (b) ¡ F (a) = F (xn) ¡ F (x0) = = (F (x1) ¡ F (x0)) +
+ (F (x2) ¡ F (x1)) + + (F (x3) ¡ F (x2)) + + (F (x4) ¡ F (x3)) + + : : : +
+ (F (xn¡1) ¡ F (xn¡2)) + + (F (xn) ¡ F (xn¡1)) =
n |
|
Xi |
|
= (F (xi) ¡ F (xi¡1)) : |
(7) |
=1 |
|
Члены, представленные в (7) одинаковыми цветами (кроме ч¼рного), взаимно уничто-
жаются.
F (x) есть первообразная для f(x) , следовательно, F 0(x) = f(x).
10