Главы 1-4

ГЛАВА 3. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПРЯМОЙ

Прямая в пространстве может быть задана:

–двумя точками, принадлежащими этой прямой;

–одной точкой, принадлежащей данной прямой, и ее направлением. В первом случае задаются координаты двух заданных точек, во вто-

ром – координаты одной точки и направление прямой. Прямая на чертеже может быть задана (рис. 3.1):

–двумя ее проекциями, не совпадающими с линией связи;

–проекциями двух точек.

а) б) Рис. 3.1. Задание прямой на чертеже:

а– ее проекциями; б – проекциями двух точек

3.1.ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ ПРЯМОЙ

Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат одноименным проекциям прямой (рис. 3.2).

а) б)

Рис. 3.2. Точка на прямой: а – модель; б – эпюр

21

3.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЯМЫХ ПО ПОЛОЖЕНИЮ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Прямая в пространстве может быть расположена произвольно. Рассмотрим различные положения прямой относительно плоско-

стей проекций П1, П2 и П3 (рис. 3.3).

ПРЯМЫЕ ЛИНИИ

Рис. 3.3. Классификация прямых по положению относительно плоскостей проекций

Прямая общего положения – прямая не параллельная ни одной из плоскостей проекций П1, П2, П3 (табл.3.1). Все точки прямой имеют различные координаты Х, Y, Z, и ее проекции не параллельны осям проекций Х, Y, Z.

Прямые частного положения – это прямые, которые либо параллельны (табл. 3.2), либо перпендикулярны одной из плоскостей проекций

(табл. 3.3).

22

Прямые уровня – это прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций.

В начертательной геометрии различают три прямые уровня: гори-

зонталь, фронталь и профильную прямую (табл. 3.2).

Отрезок прямой, параллельной плоскости проекции, проецируется на данную плоскость без искажения (в натуральную величину), углы наклона этой прямой к плоскостям проекций проецируются также в натуральную величину на эту плоскость.

Таблица 3.1. Прямые общего положения

Прямая общего поло-

жения – прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций:

•AB – прямая в пространстве;

•A1B1 – горизонтальная проекция прямой;

•A2B2 – фронтальная проекция прямой;

•A3B3 – профильная проекция прямой

Проецирующие прямые – это прямые, расположенные перпендикулярно к какой-либо плоскости проекций П1 / П2 / П3.

Различают три основные проецирующие прямые: горизонтальнопроецирующую, фронтально-проецирующую и профильно-проеци- рующую.

Прямая проецируется в виде точки на ту плоскость проекций к которой перпендикулярна. Эта проекция называется вырожденной и обладает собирательным свойством. Две другие проекции прямой параллельны осям и равны натуральной величине отрезка (табл. 3.3).

Данные сравнительного анализа изображений прямых на комплексном чертеже (табл. 3.1 – 3.3) приведены в табл. 3.4.

23

Таблица 3.2. Прямые уровня

Горизонталь h – пря-

мая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П1:

•A2B2 || ОХ;

•A3B3 || Y;

•A1B1 – натуральная ве-

личина отрезка;

•α =0 – угол наклона к плоскости П1;

•– угол наклона к П2;

•– угол наклона к П3.

Фронталь f – прямая,

параллельная фронтальной плоскости П2:

•A1B1 || ОХ;

•A2B2 – натуральная величина;

•А3B3 || Z;

•α – угол наклона к

плоскости П1;

•=0 – угол наклона к плоскости П2;

•– угол наклона к плоскости П3.

Профильная прямая q – прямая, параллельная профильной плос-

кости П 3: A2B2 || Z; A1B1 || Y;

A3B3 – натуральная величина отрезка,

•α – угол наклона к плоскости П1;

•– угол наклона к плоскости П2;

•=0 – угол наклона к плоскости П3.

24

Таблица 3.3. Проецирующие прямые

Горизонтальнопроецирующая прямая

– прямая, перпендикулярная к плоскости П1:

•AB П1 и AB || П2 и

AB || П3;

•A2B2 и А3В3 – натуральные величины от-

резка АВ;

• на плоскость П1 отрезок АВ проецируется в точку А1 В1

Фронтальнопроецирующая прямая

– прямая, перпендикулярная к плоскости П2:

•AB || П1 и AB П2 и

AB || П3;

•А1В1 и А3В3 – натуральные величины от-

резка АВ;

• на плоскость П2 отрезок проецируется в точку А2В2

Профильнопроецирующая прямая

– прямая, перпендикулярная к плоскости П 3:

•AB || П1 и AB || П2 и AB П3;

•А1В1 и А2В2 – натуральные величины от-

резка АВ;

• на плоскость П3 отрезок проецируется в точку А3В3

25

Таблица 3.4. Анализ изображений прямых на комплексном чертеже

3.3. СЛЕДЫ ПРЯМОЙ

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекции.

Горизонтальным следом прямой называют точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 3.4). Горизонтальный след обозначают буквой Н. При этом координата Z точки Н равна нулю. Следовательно, для нахождения горизонтального следа прямой на ней определяют точку Н с нулевой координатой Z.

Фронтальным следом прямой называют точку пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекции (рис. 3.4). Обозначают фронтальный след буквой F. Координата Y точки F равна нулю. Следовательно, для нахождения фронтального следа F прямой на ней определяют точку, имеющую нулевую координату Y.

Профильным следом прямой называют точку пересечения прямой с профильной плоскостью проекции. Обозначают профильный след буквой Р. Координата X точки Р равна нулю. Пересекая плоскости проекции, прямая переходит из одной четверти пространства в другую.

Линия общего положения может пройти через три четверти пространства; линия уровня и проецирующая линия — через две четверти.

Следы прямой являются границами перехода прямой из одной четверти в другу (рис. 3.4).

26

а) б) Рис. 3.2. Следы прямой: а – модель; б – эпюр

Рассмотрим решение задач по изучаемой теме.

Задача 1.

Определить точки, принадлежащие прямой l.

27

Задача 2.

Определить следы прямой l и четверти, через которые она проходит. Решение:

Точка F - фронтальный след прямой l, так как F1 х12

Точка H - горизонтальный след прямой l, так как Н2 х12

Задача 2.

Построить чертежи прямых, проходящих через точки А, С, Е, G, К, достроив еще одну точку на каждой прямой:

а) l через точки A и B (B правее, выше и дальше точки А); б) d через точки C и D (D правее и ближе точки C);

в) k через точки E и F (F левее и ниже точки Е); г) р через точки G и H (H выше и ближе точки G); д) m через точки K и L (L правее точки K).

Определить положение прямых относительно плоскостей проекций. Дано: а) б)

28

Решение:

Прямая l – общего положения, прямая d – горизонталь, прямая k – фронталь,

прямая p – профильная,

прямая m – профильно-проецирующая прямая.

Задача 3.

Найти недостающие проекции точек. Через данные точки провести прямые АВ, CD, EF, MN, KL, PQ, RS и TU относительно плоскостей проекций

29