МТУСИ
Интеллектуальные системы
Дизайн И.. Гайдель 2007
Лекция 4
Дизайн И. Гайдель 2007
Из теории графов
Граф — как математический объект есть совокупность двух множеств G(V,E)
— множества самих объектов, называемого множеством вершин (V), и множества их парных связей, называемого множеством рёбер (E) (рис.1).
Ориентированный граф - есть совокупность двух множеств G(V,E), где V множество вершин и E множество дуг совместно с двумя отображениями
Init E 
V и ter E 
V , где отображение init: E 
V ставит в соответствие каждой дуге ее начальную вершину (начало дуги), а отображение ter: E 
V ставит в соответствие каждой дуге ее конечную вершину (конец дуги) (рис.2). Говорят, что дуга e ведет из init(e) в ter(e).
Рис.1. Пример |
Рис.2. Пример ориентированного |
неориентированного |
графа |
графа |
|
Дизайн И. Гайдель 2007
Из теории графов
Мультиграф |
- |
есть совокупность |
G(V,E) двух множеств – |
непустого |
множества V |
и |
мультимножества |
E неупорядоченных пар |
различных |
элементов множества V. |
|
|
||
Кратными ребрами называются одинаковые элементы мультимножества, то есть ребра, чьи концевые вершины совпадают.
Другими словами мультиграф – это граф, в котором существуют вершины объединенные несколькими дугами.
Двудо́льный граф или бигра́ф — это граф, множество вершин которого можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро графа соединяет каждую вершину из одной части с какой-то вершиной другой части, то есть не существует рёбер между вершинами одной и той же части графа.
Пример мультиграфа |
Пример двудольного |
|
графа |
||
|
Дизайн И. Гайдель 2007
) |
Теория сетей Петри |
Основные определения и обозначения
Определение 1. Сеть Петри (СП) - это двудольный ориентированный мультиграф N = (P, T, I, O, µ0), где:
P - конечное непустое множество элементов, называемых позициями; T -
конечное непустое множество элементов, называемых переходами; |
I: |
|
P T {0,1,2...} и O: P T {0,1,2...} - функции инцидентности; |
|
|
µ0 : P {0,1,2...} - начальная разметка. |
|
|
n |
= P - мощность множества P, |
|
m |
= T - мощность множества T. |
|
СП обычно представляют в виде геометрического объекта. При этом позиции изображают кружками, переходы - черточками или прямоугольниками.
Дуга проводится от позиции pi к переходу tj, если I(pi, tj) > 0, и от перехода tj к позиции pi, если O( pi, tj) > 0.
Дизайн И. Гайдель 2007
Теория сетей Петри
= (0,0).
Пример сети Петри
P = {p1, p2, p3, p4}, |
n = 4 ; |
T = {t1, t2, t3, t4}, |
m = 4. |
Дизайн И. Гайдель 2007
) |
Теория сетей Петри |
Основные определения и обозначения
Кратность дуги, соединяющей входную позицию pi с переходом tj, определяется величиной I(pi, tj). Аналогично кратность дуги, соединяющей переход tj с выходной позицией pi, определяется величиной O(pi, tj).
Кратность рассматривается как возможность дублирования дуги, соединяющей вершины pi и tj (или tj и pi ), I(pi, tj) (или O(pi, tj)) раз.
Если I(pi, tj) > 0, то позицию pi называют входной к переходу tj, а переход tj -
выходным к позиции pi.
Множество входных позиций (pre(tj)) к переходу tj определяется как
pre(tj)={ p I(pi, tj) > 0}, а множество выходных переходов (post(pi )) к позиции pi - как post(pi)={ t I(pi, tj) > 0} .
Дизайн И. Гайдель 2007
) |
Теория сетей Петри |
Основные определения и обозначения
Аналогично, если O(pi, tj) > 0 , то переход tj называют входным к позиции pi, а позицию pi - выходной к переходу tj .
Множество входных переходов к позиции pi определяется как pre(pi)={t | O(pi, tj) > 0},
а множество выходных позиций к переходу tj - как post(tj)={p | O(pi, tj) > 0}.
Входная позиция pi к переходу tj называется головной, если pre(pi) = . Аналогично выходная позиция pi к переходу tj называется хвостовой, если post(pi) = .
Дизайн И. Гайдель 2007
Теория сетей Петри
= (0,0).
Основные определения и обозначения
Введем понятие элементарной сети.
Определение 2. Элементарной сетью t называется СП N = (P, T, I, O, µ0 ), для
которой T={t}; P={p',p''}; pre(t)={p'}, post(t) = {p''}; µ0 = (0,0).
Дизайн И. Гайдель 2007
)
Теория сетей Петри
Примеры сетей Петри
O(t1,p2) = 2; O(t1,p3) = 1; I(p1,t1) = 1 p1 – входная позиция к переходу t1; p3 – входная позиция к переходу t2; p1 – головная позиция (pre(p1) = ); p2 и p3 – хвостовые позиции (post(p2) = post(p4) = );
|
pre(t1) = {p1}, post(t1) = {p2, p3), |
|
pre(p3) = {t1}, post(p3) = {t2}; |
Рис.1 |
µ(p1) = 1, µ(p2) = µ(p3) = µ(p4) = 0. |
|
Элементарная сеть
Рис.2
Дизайн И. Гайдель 2007
Теория сетей Петри
= (0,0).
Основные определения и обозначения
При функционировании СП переходит от одной разметки к другой. Каждая разметка представляет собой функцию : P {0,1,2...}. Переход может сработать при разметке , если он активен.
Переход tj является активным, если pi pre(tj): (pi ) >= I( pi, tj) .
Врезультате срабатывания перехода tj разметка меняется в соответствии со следующим правилом:
pi (pre( tj) post(tj)) : ‘(pi ) = (pi ) - I(pi, tj) + O( pi, tj) .
Вэтом случае говорят, что разметка ‘ достижима от разметки в результате
срабатывания перехода tj, а разметка предшествует ‘.
СП останавливается, если при некоторой разметке не может сработать ни один из ее переходов. Такая разметка называется тупиковой.
Таким образом, СП моделируют некоторую структуру и динамику ее функционирования. 