1 курс, 1 семестр(математика)
.docВопросы к экзамену по математике
1 курс, 1 семестр.
-
Элементы векторной алгебры.
-
Матрицы. Основные понятия, виды матриц.
-
Матрицы и действия над ними.
-
Обратная матрица.
-
Определители. Способы вычисления.
-
Свойства определителей.
-
Ранг матрицы. Способы вычисления.
-
Система неоднородных линейных уравнений. Основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли.
-
Система неоднородных линейных уравнений. Количество решений.
-
Решение систем неоднородных линейных уравнений методом Крамера.
-
Матричный метод решения систем неоднородных линейных уравнений.
-
Метод Гаусса решения систем неоднородных линейных уравнений.
-
Однородные системы линейных уравнений.
-
Понятие фундаментальной системы решений.
2. Элементы векторной алгебры.
-
Векторы. Основные понятия.
-
Векторы и линейные операции над ними.
-
Понятие проекции вектора на ось, свойства проекций.
-
Компланарность, ориентация, разложение вектора по базису.
-
Деление отрезка в данном отношении.
-
Представление вектора через координаты начала и конца, линейные операции над векторами в координатах.
-
Коллинеарные векторы, условие коллинеарности.
-
Скалярное произведение векторов и его свойства.
-
Представление скалярного произведения в координатах.
-
Направляющие косинусы и их связь с координатами.
-
Векторное произведение векторов и его свойства.
-
Векторное произведение в координатах.
-
Смешанное произведение векторов и его свойства.
3. Элементы аналитической геометрии.
-
Уравнения линий. Основные понятия.
-
Прямая линия на плоскости. Вывод всех уравнений.
-
Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
-
Угол между двумя прямыми на плоскости.
-
Расстояние от точки до прямой на плоскости.
-
Преобразования системы координат. Формулы переноса и поворота.
-
Полярная система координат.
-
Кривые второго порядка. Общее уравнение, уравнения кривых со смещенным центром.
-
Окружность.
-
Эллипс. Каноническое уравнение. Свойства, вид кривой.
-
Гипербола. Каноническое уравнение. Свойства, вид кривой.
-
Парабола. Каноническое уравнение. Свойства, вид кривой.
-
Плоскость. Вывод основных уравнений плоскости.
-
Взаимное расположение двух плоскостей.
-
Угол между двумя плоскостями.
-
Расстояние от точки до плоскости.
-
Прямая в пространстве. Основные уравнения.
-
Взаимное расположение прямых в пространстве.
-
Расстояние между скрещивающимися прямыми.
-
Переход от общих уравнений к каноническим.
-
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
-
Взаимное расположение прямой и плоскости.
-
Угол между прямой и плоскостью.
4. Элементы теории пределов.
-
Последовательности. Основные понятия. Классификация последовательностей.
-
Предел последовательности. Основные теоремы о пределах.
-
Монотонность предельного перехода.
-
Бесконечно малые и бесконечно-большие последовательности и их свойства.
-
Пределы результатов арифметических действий.
-
Теорема Вейерштрасса. Второй замечательный предел.
-
Понятие предела функции в точке. Основные теоремы о пределе функции в точке.
-
Односторонние пределы.
-
Понятие предела функции на бесконечности.
-
Виды неопределенностей и способы их раскрытия.
-
Первый замечательный предел и следствия из него.
-
Второй замечательный предел и следствия из него.
-
Сравнение бесконечно малых функций. Таблица эквивалентных бесконечно малых.
-
Понятие непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва.
-
Понятие непрерывности функции на отрезке. Свойства непрерывных функций на отрезке.
5. Дифференцирование функций одной переменной.
-
Понятие производной функции в точке. Геометрический смысл производной.
-
Уравнения касательной и нормали. Угол между двумя кривыми.
-
Правила дифференцирования (сложная функция, обратная функция, производные результатов арифметических действий).
-
Производные основных элементарных функций.
-
Производные обратных тригонометрических функций.
-
Понятие дифференциала функции его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала.
-
Логарифмическое дифференцирование.
-
Дифференцирование параметрически заданных функций. Первая и вторая производные.
-
Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
-
Основные теоремы о дифференцируемых функциях: теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, правило Лопиталя.
-
Экстремум функции. Необходимое и достаточное условия существования экстремума.
-
Понятие монотонности функции. Основные теоремы о монотонных функциях.
-
Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.
-
Асимптоты графика функции.
-
Полная схема исследования функции.