книги / Некоторые главы математического программирования

1.24. F x12 x2 2 2 extr;

x1 x2 4,

x1 6,5,x2 6,5; x1 0, x2 0.

1.25.F 3x1 x2 extr;

x12 x22 9;

x1 0, x2 0.

Задача 2. Найти условные глобальные экстремумы функций методом множителей Лагранжа и графическим методом. Сравнить полученные результаты.

2.1.z x2 y2 в области x ≥ 0, y ≥ 0, при x + y = 1.

2.2.z 3x2 2y2 3x 1, при x2 y2 4.

2.3.z 2 x 1 2 3 y 3 2 в области x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0, при

x 4 2 y 3 2 4.

2.6.z x 3 2 y 5 2 в области x2 + y2 ≤ 10, при y – 2x = 5.

2.7.z x2 y2 в области x ≥ 0, y ≥ 0, при x + y = 2.

2.8.z x 2 2 y 3 2 вобласти0 ≤x ≤5; 0 ≤y ≤8, приx + y = 7.

2.9. z 2 x 1 2 3 y 3 2 в области x + y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0, при

41

2.12.z x 1 2 y 2 2 в области x2 + y2 ≤ 10, при y – 2x = 5.

2.13.z x2 y2 в области x2 y2 9 , при x – y = 3.

x 3 2 y 2 2 4.

2.16.z x2 y2 в области x2 y2 16 , при x + y = 4.

2.17.z x2 2y2 4x 1, при x2 y2 4 .

2.18.z x 1 2 y2 в области x ≥ 0, y ≥ 0, при x + y = 4.

2.19.z x2 2y2 2x 12y 19 в области x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8,

при x + y = 7.

2.20. z 2x y в области x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 7, при

x 2 2 y 3 2 1.

2.21.z x2 y 2 2 в области x ≥ 0, y ≥ 0, при x + y = 5.

2.22.z x2 y2 в области x ≥ 0, y ≥ 0, при x + y = 3.

2.23.z x 1 2 y 1 2 вобласти0 ≤x ≤4; 0 ≤y ≤8, приx + y = 6.

2.24. z 2 x 1 2 3 y 3 2 в области x + y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0, при

x + y = 5.

2.25. z x y в области 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 5, при

x 3 2 y 2 2 4.

Пример решения задачи 2

Найти условные глобальные экстремумы функции z x 2 2y 3 2 , заданной в области 0 ≤ x ≤ 5; 0 ≤ y ≤ 10, при x + y = 7 графическим и аналитическим методами.

42

Решение

Область определения ограниченная, т.е. замкнутая (прямоугольник ОАВС на рис. 9), поэтому глобальные экстремумы существуют. Уравнение связи – прямая, отрезок которой DE располагается внутри этой области. Следовательно, значения функции должны сравниваться только вдоль отрезка DE. Линиями уровня функции z являются окружности с центром в точке F (2,3).

Рис. 9

На рис. 9 показаны линии уровня, проходящие через точки G,E,B. Из рисунка видно, что безусловные экстремумы достигаются

в точках F (где zmin = 0) и B (где zmax = 58), при этом первый является одновременно локальным и глобальным минимумом, а второй –

только глобальным максимумом.

Если же рассматривать только точки, лежащие на отрезке DE, то из рисунка видно, что условный глобальный максимум достигается в точке E(0,7), ẑmax=20, а условный глобальный минимум достигается в точке G, в которой окружность касается отрезка DE. Координаты точки G определяются из условий равенства угловых коэффициентов прямой x + y = 7 и касательной к окружности

x 2 2 y 3 2 c в точке касания.

43

Найдем угловой коэффициент касательной к окружности:

x 2 2 y 3 2 c,

2 x 2 2 y 3 y 0,

отсюда y xy 23 .

Найдем угловой коэффициент прямой:

x y 7, 1 y 0, y 1.

Приравниваем угловые коэффициенты: x 2 1. y 3

Точка G лежит на прямой x y 7, следовательно для определения координаты точки G имеем систему:

x 2 1;y 3

x y 7.

Координаты точки G(3, 4), zG = ẑmin = 2. Задача решена графически.

Теперь решим поставленную задачу аналитически методом множителей Лагранжа.

Составляем функцию Лагранжа:

L x, y, x 2 2 y 3 2 7 x y .

44

Необходимые условия экстремума функции имеют вид:

L 2 x 2 0;x

L 2 y 3 0;y

L 7 x y 0.

Решаем полученную линейную систему:

2 x 2 2 y 3 ;

7 x y 0.

Получаем: x = 3, y = 4, это координаты точки G(3, 4), zG = 2. Таким образом, найдена стационарная точка G.

Далее сравниваем значение zG в стационарной точке со значениями на границах области – в точках D и E. На границах отрезка, в точках D(5, 2) и E(0, 7), получим: zD = 10 и zE = 20. Сравнивая найденные три значения функции, устанавливаем: ẑmin = zG = 2, ẑmax = = zE = 20. Это совпадает с результатами графического решения.

Задача 3. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомори или методом ветвей и границ, построить дерево решений.

3.1.z = 5x1 + 2x2 (max);

6x1 x2 40,

2x1 x2 14;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.2. z = 4x1 + 3x2 (max);

x1 x2 7,

5x1 3x2 28;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

45

3.3. z = 4x1 + 3x2 (max);

4x1 3x2 16,16x1 7x2 48;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.4. z = 5x1 + 4x2 (max);

x1 x2 6,

10x1 4x2 45;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.5. z = 3x1 + 4x2 (max);

x1 2x2 10,2x1 2x2 15;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.6. z = 2x1 + 3x2 (max);

x1 x2 6,x1 7x2 21;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.7. z = 3x1 + 5x2 (max);

x1 x2 8,x1 5x2 30;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.8. z = 2x1 + x2 (max);

x1 x2 8,

11x1 3x2 44;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.9. z = 3x1 + 4x2 (max);

x1 x2 8,

x1 11x2 33;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

46

3.10.z = 4x1 + 3x2 (max);

4x1 3x2 16,16x1 48;7x2

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.11. z = 5x1 + 4x2 (max);

x1 x2 6,

10x1 4x2 45;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.12. z = 2x1 + 3x2 (max);

x1 x2 6,x1 7x2 21;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.13.z = x1 + x2 (max);

x1 3x2 3,3x1 x2 3;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.14. z = 5x1 + 2x2 (max);

2x1 x2 13,

6x1 x2 40;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.15.z = 4x1 + 3x2 (max);

5x1 3x2 26,

x1 x2 7;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.16.z = 5x1 + 3x2 (max);

16x1 7x2 46,4x1 3x2 16;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

47

3.17.z = 5x1 + 4x2 (max);

10x1 4x2 43,

x1 x2 6;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.18. z = 11x1 – 6x2 (max);

3x1 13x2 104,

x1 2x2 2;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.19.z = 6x1 + 4x2 (min);

4x1 2x2 7,

x1 1;x2

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.20. z = 6x1 + 8x2 (max);

6x1 3x2 1,

14x1 9x2 51;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.21.z = 5x1 + 2x2 (max);

12x1 11x2 132,

x1 2x2 2;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.22.z = –11x1 + 6x2 (min);

12x1 11x2 132,

x1 2x2 2;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.23.z = 14x1 + 8x2 (max);

6x1 4x2 24,

4x1 x2 14;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

48

3.24.z = 7x1 + 3x2 (max);

5x1 2x2 20,4x1 2x2 19;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

3.25. z = 3x1 + 3x2 (max);

4x1 8x2 14,10x1 3x2 15;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.

Задача 4 (задача оптимального распределения капиталовложений). Планируется деятельность четырех промышленных предприятий на очередной год. Средства х, выделенные k-му предприятию (k = 1, 2, 3, 4), приносят в конце года прибыль fk(x). Функция fk(x) задана таблично по вариантам. Принято считать следующее:

1)прибыль fk(x) не зависит от вложения средств в другие предприятия;

2)прибыль от каждого предприятия выражается в одних условных единицах;

3)суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия.

Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

Решить задачу методом динамического программирования.

49

50