книги / Методические указания по проведению научно-исследовательской работы для студентов бакалавриата по направлению 22.03.01 Материаловедение и технологии материалов

случайный функционал Ф(р)( ), не зависящий от граничных условий, такой,

что пульсации структурных деформаций r связаны со структурными деформациямиврегулярнойсреде p r соотношением:

Для доказательства формулы (6.1) рассмотрим стохастическую краевую задачу механики микронеоднородных сред в отсутствии объемных сил:

при макроскопически однородном деформированном состоянии. В формулах (6.2) – (6.4) через r , r , u r и r обозначены структурные поля

напряжений, деформаций, перемещений и модулей упругости соответственно,* — заданное поле макроскопических деформаций, dIV — элементарный объемпервогопорядкамалости.

Идея излагаемого ниже метода заключается в использовании в качестве основы решения аналогичной краевой задачи для среды с регулярной микроструктурой:

структурных модулей упругости периодической среды. Предположим, что решениекраевойзадачи(6.5) намизвестно[26]:

11

где C p — эффективные модули упругости среды с регулярной структурой,

p r N p r — структурные функции, […] — оператор осреднения

по представительному объему.

Для доказательства соотношения (6.1) рассмотрим решение краевой задачи (6.2) с граничными условиями (6.4), которая приводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений при нулевых граничных условиях:

Уравнения (6.6) можно рассматривать как уравнения краевой задачи теории упругости микронеоднородных сред с регулярной структурой C p и

перемещениями u p r , обусловленными действием фиктивных случайныхобъемныхсил .

Вводя функцию Грина среды с регулярной структурой G p r,r

[26], система дифференциальных уравнений (6.6) преобразуется в систему интегро-дифференциальныхуравнений:

V

Для определения полей структурных деформаций необходимо знать градиент пульсаций структурных перемещений, поэтому дифференцируем

(6.7):

V

Уравнение (6.8) решаем методом последовательных приближений при ограничениях, сформулированных в виде макроскопической однородности и квазиизотропностимикронеоднороднойсреды.

Впервомприближенийполагаем:

12

Полученные выше соотношения (6.12) и (6.13), как будет показано ниже, позволяют получать более точные результаты по прогнозированию эффективных свойств и полей деформирования в частично или полностью разупорядоченных композитах по сравнению с подходом, основанном на среде сравнения с однородными свойствами.

Пространственный функционал в уравнении (6.12) зависит только от упругихсвойствэлементов структурыи независитотформы и размеровобласти. Все приведенные выше интегралы фактически распространяются на 2 – окрестностьпроизвольнойточки M r твердого тела, содержащую сингулярную

особенность функции Грина G p r,r . При 0 слагаемые, содержащие

регулярную часть функции Грина, стремятся к нулю. Следовательно, в дальнейшем, учитывая сказанное выше замечание, при вычислении интегралов

под функцией Грина G p r,r понимается функция Грина для неограниченной упругойпериодическойструктуры, удовлетворяющейуравнению

при нулевых граничных условиях

Напомним физический смысл функции Грина Gijр r,r . Под функцией Грина Gijр r,r понимается перемещение в неограниченной упругой

периодической среде в произвольной точке r в направлении i, от действия единичной объемной силы, приложенной в произвольной точке r в

направлении j. Таким образом, чтобы построить функцию Грина Gijр r,r

для неограниченной среды с периодической структурой, необходимо решить уравнение (6.14) с граничными условиями (6.15).

Используя технику осреднения уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, предложенную в работе [19], представим функцию Грина

Gijр 0, ;0,r в виде асимптотического ряда разложения по малому параметру

:

14

где Gij r — функция Грина для эквивалентной однородной изотропной или

эффективные модули упругости неоднородной среды сравнения с

Приведем пример построения сингулярной составляющей функции Грина Gij r в формуле (6.16) для изотропной однородной упругой среды.

Под функцией Грина Gij r в соотношении (6.16) для неограниченной изотропной области с изотропными модулями упругости Cijmnр понимается

такая функция Грина, которая является решением следующего дифференциального уравнения

с нулевыми граничными условиями на бесконечности

Решение дифференциального уравнения (6.17) с граничными условиями (6.18) известно и имеет вид:

где коэффициенты А* и В* связаны с эффективными модулями упругости регулярной среды сравнения соотношениями

Полученные выше соотношения (6.19) и (6.20), как будет показано ниже, позволяют получить аналитические формулы для расчета эффективных модулей упругости и полей деформирования в макроскопически однородных квазиизотропных композитах.

15

Весьма актуальной является задача вычисления моментов различных порядков функционала Ф(р)( ), сводящаяся к проблеме вычисления несобственных интегралов, знание которых необходимо для вычисления эффективных свойств композитов и структурных полей деформирования. Общий метод вычисления моментов различных порядков функционала необходим в конечном итоге для определения совместного распределения структурных полей напряжений и деформаций в микронеоднородной среде.

Укажем теперь общий метод вычисления моментов пространственного функционала в уравнении (6.12), основанный на расщеплении несобственных интегралов. Согласно (6.13) момент первого

порядка функционала тождественно равен нулю Ф р 0 . Из уравнения (6.13) также следует, что момент второго порядка функционала Ф р

однозначно определяется через момент второго порядка функционалар , где индексы, стоящие после запятой означают дифференцирование по соответствующей координате. Таким образом, для нахождения момента второго порядка функционала Ф(р)( ) в первом приближении необходимо вычислить интеграл

Вычисление несобственного интеграла (6.21) довольно громоздко. Используя асимптотическое разложение по малому параметру функции

Грина Gijр r,r для периодической структуры (6.16), можно ограничиться сингулярным тензором Кельвина-Сомилиано Gij r,r для эквивалентной однородной изотропной среды сравнения с эффективными модулями упругости Cijmnр . В дальнейшем применяется метод расщепления интеграла

(6.21). Сущность метода расщепления состоит в выделении из моментных функций второго порядка функций, явно зависящих от углов, и функций, зависящих только от модулей векторов. Метод расщепления несобственного интеграла (6.21) реализуется последовательным интегрированием сначала по радиусам, а затем по углам. Таким образом, представим моментную

16

Подставляем (6.16) и (6.22) в (6.21) и, выбирая полюс в точке r = 0, переходим к полярной системе координат. Используя, кроме того, известные соотношения

r,i = ni; nk,i=( ik-nink)/r,

получаем

sin sin dr dr d d d d .

Интегрируем ряд в (6.23) сначала по радиусам, а затем по углам. Причем, при интегрировании по радиусам r и r" для макрооднородной квазиизотропной среды используется разложение в ряд Тейлора в точке

Для вычисления интегралов по углам воспользуемся известными формулами

Наряду с формулами (6.24) нам потребуется знание интегралов от произведения шести, восьми и т.д. направляющих косинусов. В общем случае имеем:

17

значения интегралов (6.23), определяемые предельным переходом при 0 в вычисленном выражении. Результаты вычисления интеграла (6.23) записываются в компактной форме

где через Jipjs обозначен изотропный тензор четвертого ранга

Вычислим теперь в первом приближении момент третьего порядка

случайного функционала p 1

ikl, j

Интеграл (6.28) вычисляется аналогично тому, как это приводится выше для интеграла (6.21).

Итак, представим моментную функцию третьего порядка модулей упругости микронеоднородной среды в интервале [-1,1] равномерно сходящимся рядом по системе сферических функций n n , n n , n n

Подставляя выражения (6.16) и (6.29) в (6.28) с учетом (6.19) и, выбирая полюс в точке r =0, переходим к сферической системе координат. Таким образом, получаем интеграл, зависящий только от модулей векторов и углов

18