книги / Организация и математическое планирование эксперимента

1.022e – 11 = D*exp(–Q/(8.31*823)); 1e – 4 < D < 1e – 3 (см2/с);

61 000 < Q < 66 000 (кал); $substlevel = 0.

В результате решения системы получаем

Полученные данные приведены в табл. 3.

Таблица 3

Результаты решения задачи

Индивидуальные задания

По предложенным данным (табл. 4) найти кинетические параметры процесса насыщения.

Таблица 4 Исходные данные для выполнения индивидуальных заданий

Окончание табл. 4

Контрольные вопросы

1.В чем суть метода наименьших квадратов?

2.Назовите основные закономерности диффузионного насыщения сталей.

3.Перечислите факторы, влияющие на глубину слоя.

4.Какова последовательность действий при аппроксимации данных по диффузионному насыщению сталей методом наименьших квадратов?

Список рекомендуемой литературы

1.Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии: учеб. пособие. – 2-е изд., пе-

рераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 327 с.

2.Лахтин Ю.М., Арзамасов Б.Н. Химико-термическая обработка металлов. – М.: Металлургия, 1985. – 256 с.

3.Шацов А.А., Мокрушина Н.Н., Верходанова А.А. Сульфоцианирование деталей из порошкового железа относительно невысокой пористости // Перспективные материалы. – 2004. – № 5. –

С. 67–73.

4.Югай С.С., Клейнер Л.М., Шацов А.А. Структура и свойства азотированной низкоуглеродистой мартенситной стали

12Х2Г2НМФТ // ФММ. – 2005. – Т. 97, № 1. – С. 110–115.

12

Практическое занятие № 2.

Применение метода регрессионного анализа для построения модели «состав – свойства»

Цели работы

1.Освоить методику оптимизации состава стали методом двухпараметрического квазикрутого восхождения.

2.Ознакомиться с программами для ПЭВМ, позволяющими оптимизировать составы материалов.

3.Научиться строить оптимальные адекватные математические модели.

Краткие теоретические сведения

Задача оптимизации сводится к экспериментальному определе-

нию координат экстремальной точки (х1опт, х2опт,…, хkопт) функции y = f(х1опт, х2опт, …, хkопт). Контурные сечения функции отклика для

k = 2 (число параметров функции) при у = const представлены на рис. 1. Традиционно в эксперименте фиксируют один из факторов,

Рис. 1. Движение по поверхности отклика (а)

кэкстремуму в однофакторном эксперименте

иметоде крутого восхождения (б)

вданном примере х1, и двигаются из точки L в направлении оси х2. Координаты точки L известны из предварительных опытов. Движение по оси х2 продолжается до тех пор, пока не прекращается при-

13

рост у (см. рис. 1, б). В точке M с лучшим выходом (т.е., например, с более высокими значениями у) фиксируют фактор х2 и начинают движение в направлении оси х1. В точке N снова фиксируют фактор х2 и начинают движение по переменной х2 и т.д. Путь к экстремуму по ломаной LMNR не самый короткий. Движение по кратчайшему, наиболее крутому пути – это движение по градиенту перпендикулярно линиям у = const (на рис. 1, б представлено пунктиром). Если поверхность описывает функция у = f(х1, х2, …, хk), то градиент этой функции

где i , j , … k – орты координатных осей.

Полагаем, что функция f непрерывна, дифференцируема, однозначна и не имеет особых точек.

Шаговый метод движения по поверхности отклика Бокса – Уилсона

В окрестности точки L ставится эксперимент для локального описания поверхности отклика линейным уравнением регрессии

y = b0 + b1x1+ b2x2 + … + bk xk.

Далее двигаются по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения

Если одного линейного приближения недостаточно, то ставится новая серия опытов с центром в точке, соответствующей наибольшему значению у, и находят новое направление движения по поверхности отклика. Шаговый процесс продолжается до достижения области, близкой к экстремуму, или «почти стационарной области». Величина шага пропорциональна произведению bj на интервал варьирования bj zj, где zj – интервал варьирования.

14

3. Экспериментально определяют коэффициенты регрессии b(ji) , которые интерпретируют как координаты вектора-градиента

ei = (b1(i) ,b2(i) ,...,bk(i) ) соответствующей поверхности отклика уi1.

Вектор z с началом координат в точке Е в направлении возрастания параметров оптимизации у1 и у2 ищут в виде z (a1,a2 ,...,an ) :

z = v1e1 + v2e2 ,

где vi – неопределенные положительные коэффициенты. При этом aj = v1bj(1) + v2bj(2), (j = 1,2, …, n).

Для возрастания параметров у1 и у2 в направлении z необходимо и достаточно, чтобы z образовывал острый угол с векторами e1 и e2 . Откуда следует, что скалярные произведения (z ,ei ) поло-

жительны:

v1(e1e1) + v2 (e2e1) > 0 ;

v1(e1e2 ) + v2 (e2e2 ) > 0 ;

n

(eiek ) = b(ji)b(jk ) , (i, k = 1,2).

j=1

Решение поставленной задачи сводится к исследованию и решению системы приведенных выше неравенств. Возможны следующие варианты:

а) если (e1e2 ) ≥ 0 , то при любых положительных v1 и v2 z = v1e1 + v2e2 . Подобрав наиболее удобные для исследования зна-

чения v1 иv2 (обычно v1 = v2 = ½), мысленно рассчитывают эксперименты, в которых факторы хj изменяют пропорционально координатам v1bj(1) + v2bj(2) вектора z . Часть опытов реализуют. Если с некоторого момента реализация опытов не дает увеличения хотя бы одного параметра, то ставят новую серию опытов и совершают новое квазикрутое восхождение, иногда изменяют v1 и v2;

16

б) если (e1e2 ) ≠ − e1 e2 > 0 , то из системы неравенств получаем выражение

Вектор u лежит левее, а v правее вектора z в соответствии с системой неравенств.

Векторы u и v , в свою очередь, образуют совокупность направлений z = αu + βv возрастания параметров у1 и у2 (при α, β > 0), ко-

тораяопределяет направление квазикрутого восхождения;

в) если (e1e2 ) = − e1 e2 , то система неравенств не имеет решений. Это означает, что векторы e1 и e2 направлены в разные сто-

роны. Квазикрутое восхождение закончено. Направление дальнейшего поиска выбирают в зависимости от важности того или иного фактора.

При проведении регрессионного анализа для оптимизации состава стали методом двухпараметрического квазикрутого восхождения рекомендуемвоспользоваться программойAPR, позволяющей:

–аппроксимировать функцию, зависящую от 10 (максимум) переменных;

–получать значения до 30 неизвестных коэффициентов поли-

нома;

–обрабатывать до 70 значений эксперимента одновременно;

–проводить регрессионный анализ:

•получать оценки значимости рассчитанных коэффициентов полинома;

•определять адекватность регрессионной модели.

При работе с APR прежде всего необходимо ввести входные данные (экспериментальные) в файл apr.dat. Файл должен содержать:

17

–количество параметров регрессионной модели +1(первая строка);

–экспериментальные данные (значения функции и ее параметров, разделенные пробелами, в отдельных строках для каждого опыта);

–ноль (последняя строка).

После запуска программа потребует ввести входные данные (ввод строки данных подтверждается нажатием клавиши Enter):

–количество параметров аппроксимируемой функции;

–порядковые номера значений функции и ее аргументов экспериментальных данных для одного опыта (строки файла apr.dat), разделенные запятыми;

–требуемое количество коэффициентов аппроксимируемой функции;

–показатели степеней параметров функции, разделенные запятыми;

–необходимость вычисления точности аппроксимации (коэффициенты Стьюдента, Фишера).

После ввода необходимых данных программа предложит выбрать дальнейшие действия, которымиобычно являются следующие:

–«Счет» (клавиша «8», затем Enter), находит уравнение приближенной регрессии, оценивает допускаемую при этом ошибку;

–«Табл» (клавиша «1», затем Enter), выводит на экран результаты аппроксимации (коэффициенты полинома, допущенные ошибки).

Порядок выполнения работы

иобработки результатов

1.Представить экспериментальные данные в виде таблицы.

2.Выбрать интервалы варьирования компонентов.

3.Построить с помощью программы APR регрессионную

модель

y = b0 + b1CNi + b2CCr + b3CMo.

18

4.С помощью этой же программы APR найти коэффициенты уравненийрегрессиидля предела прочностии вязкостиразрушения.

5.В факторном пространстве найти координаты вектора z .

6.На 2-м этапе оптимизации выбрать новый центр эксперимента и провести вокруг него новую серию опытов.

7.Построить новую регрессионную модель, используя 8 уравнений (данные 1-го и 2-го этапов оптимизации).

8.Построить общую регрессионную модель

y = b0 + b1CNi + b2CCr + b3CNiCCr + b4CNi2 + b5CCr2.

Найти определитель

Сравнить локальный экстремум с нулем.

9.Найти «оптимальные» концентрации элементов.

10.Экспериментально проверить свойства «оптимального» состава. Если они не соответствуют расчетным, то продолжить исследования.

11.Построить регрессионную модель для экспериментальных

значений σв, KIc.

12.Определить оптимальные уравнения регрессии по значениям коэффициента Фишера и остаточной дисперсии.

13.Сделать выводы об «оптимальном» составе стали, методике оптимизации, построении адекватной модели.

Пример выполнения работы

1.Исходные данные приведены в табл. 1.

2.Исходя из экономической целесообразности и опыта разработок стали, содержание элементов на первом этапе эксперимента изменяли в следующих пределах:

Ni = (1,5±0,5) %; Cr = (2,5±0,5) %; Mo = (0,375±0,125) %.

19

3.Для построения регрессионной модели y = b0 + b1CNi +

+b2CCr + b3CMo с помощью программы APR необходимо:

3.1.Отредактировать файл apr.dat следующим образом:

3.1.1. Для σв

4

493 1 2 0.5

312 2 2 0.25

574 1 3 0.25

490 2 3 0.5

0

3.1.2. Для KIc

4

19 1 2 0.5

9 2 2 0.25

15 1 3 0.25

22 2 3 0.5

0

3.2.Запустить программу apr.dat.

3.3.На приглашение APR ввести число переменных полинома – 3 (клавиша «3», затем Enter).

3.4.Ввести порядковые номера значений функции и ее пара-

метров в apr.dat:

1,2,3,4.

Ввод подтвердить клавишей Enter.

3.5. Ввести количество коэффициентов полинома – 4 (клави-

ша «4», затем Enter).

20