книги / Теория вероятностей и математическая статистика
..pdf
Рис. 2.6. Гистограмма эмпирических частот (к задаче 2.2)
2. Для каждого частичного интервала найдем xicp :
xicp = xi +2xi+1 .
Вычислим значения x и S по формулам (2.4); расчеты поместим в табл. 2.6.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
x − x |
|
|
xi |
|
n |
x2 |
|
|
xi ni |
|
xi2 ni |
|
|
|
|
i i+1 |
|
|
|
ср |
|
i |
iср |
|
|
ср |
|
ср |
|
|
|
3–8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5,5 |
|
6 |
30,25 |
|
36,0 |
|
181,5 |
|||
2 |
|
|
8–13 |
|
|
10,5 |
|
8 |
110,25 |
|
84,0 |
|
882,0 |
||
3 |
|
|
13–18 |
|
|
15,5 |
|
15 |
240,25 |
|
232,5 |
|
3603,75 |
||
4 |
|
|
18–23 |
|
|
20,5 |
|
40 |
420,25 |
|
820,0 |
|
16 810,0 |
||
5 |
|
|
23–28 |
|
|
25,5 |
|
16 |
650,25 |
|
480,0 |
|
10 404,0 |
||
6 |
|
|
28–33 |
|
|
30,5 |
|
8 |
777,25 |
|
244,0 |
|
7442,0 |
||
7 |
|
|
33–38 |
|
|
35,5 |
|
7 |
1260,25 |
248,5 |
|
8821,75 |
|||
∑ |
|
|
– |
|
|
– |
|
100 |
– |
|
|
2070,0 |
|
48 145,0 |
|
Находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = |
2070 |
|
S |
2 |
1 |
(48145 −100 (20,7) |
2 |
) = 53,49; |
|
|
|||||
100 |
= 20,7; |
|
= |
|
|
S = 7,31. |
|||||||||
|
99 |
|
|||||||||||||
71
3. По виду гистограммы (см. рис. 2.6) можно предположить, что исследуемый признак подчиняется нормальному закону распределения.
Найдем теоретические частоты ni′ по формуле (2.2) при n = 100; x = 20,7; S = 7,31:
|
|
n′ = 100 Ф |
xi+1 − 20,7 |
|
− Ф |
xi − 20,7 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
i |
|
|
7,31 |
|
7,31 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Расчеты для нахождения критерия χн2 |
приведены в табл. 2.7. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
(xi ;xi+1) |
|
|
ni |
|
|
|
ni′ |
|
|
(ni − ni′)2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ni′ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
(−∞) –8 |
|
|
6 |
|
|
|
|
4,09 |
|
0,89 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
8–13 |
|
|
8 |
|
|
|
|
10,60 |
|
0,64 |
|
|||
3 |
|
13–18 |
|
|
15 |
|
|
|
20,88 |
|
1,66 |
|
||||
4 |
|
18–23 |
|
|
40 |
|
|
|
26,60 |
|
6,75 |
|
||||
5 |
|
23–28 |
|
|
16 |
|
|
|
21,96 |
|
1,62 |
|
||||
6 |
|
28–33 |
|
|
8 |
|
|
|
|
11,22 |
|
0,92 |
|
|||
7 |
|
33– (+∞) |
|
|
7 |
|
|
|
|
4,65 |
|
1,19 |
|
|||
∑ |
|
– |
|
|
100 |
|
|
|
– |
|
|
χн2 =13,67 |
||||
|
4. Число интервалов r равно 7. Проверку гипотезы о нормаль- |
|||||||||||||||
ном |
распределении |
проводим при |
уровне значимости α = 0,05 |
|||||||||||||
и числе степеней свободы, равном |
k = r − 3 = 7 − 3 = 4. Из таблицы |
|||||||||||||||
(cм. прил. 5) находим χк2p = 9,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
В нашем примере |
χн2 |
= 13,67, |
т.е. |
χн2 > χкр2 |
. Следовательно, |
||||||||||
опытные данные не согласуются с нормальным законом распределения и гипотеза о нормальном распределении отвергается.
72
2.3.2. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности
Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов (xi ;xi+1 ) и со-
ответствующих им частот ni , причем ni = n (объем выборки).
Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет показательное распределение.
Для того чтобы при уровне значимости α проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, необходимо:
1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю xв, приняв в качестве «представителя» i-го ин-
тервала его середину xicp = (xi + xi+1 ) / 2.
2. Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней: λ* = 1/ xв.
4.Вычислить теоретические частоты по формуле (2.3).
5.Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = r − 2,
где r – число интервалов выборки c учетом объединения малочисленных частот.
Задача 2.3. В результате испытания 200 элементов на длительность работы в часах получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 2.8. Во второй строке таблицы указаны интервалы времени в часах, в третьей – частоты, т.е. количество элементов, проработавших время в пределахсоответствующего интервала.
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
i |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
|
xi − xi+1 |
0–5 |
5–10 |
10–15 |
15–20 |
20–25 |
|
25–30 |
ni |
133 |
45 |
15 |
4 |
2 |
|
1 |
73
Решение:
1. Построим гистограмму эмпирических частот (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Гистограмма эмпирических частот (к задаче 2.3)
Предполагаемое распределение – показательное.
2. Найдем среднее время работы для всех элементов (в качестве среднего времени работы одного элемента примем середину интервала, которому принадлежит элемент):
хв = (133 2,5 + 45 7,5 +15 12,5 + 4 7,5 + +2 22,5 +1 27,5) / 200 = 1000 / 200 = 5.
3. Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения:
λ = 1/ хв = 1/ 5 = 0,2.
Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид f (x) = 0,2e−0,2 x (x > 0) .
4. Найдем вероятности попадания случайной величины X в каждый изинтерваловпо формуле Pi = P(xi < X < xi+1 ) = e−0,2 xi − e−0,2 xi+1 :
P1 = P(0 < X < 5) = 1− e−1 = 0,6321;
P2 = P(5 < X < 10) = e−1 − e−2 = 0,2326; P3 = P(10 < X < 15) = e−2 − e−3 = 0,0855;
74
P4 = P(15 < X < 20) = e−3 − e−4 = 0,0315;
P5 = P(20 < X < 25) = e−4 − e−5 = 0,0116;
P6 = P(25 < X < 30) = e−5 − e−6 = 0,0042.
5. Найдем теоретические частоты по формуле (2.3): ni′ =200Pi , где Pi – вероятность попадания случайной величины X в i-й интервал. Получаем:
n′ = 200 0,6321 = 126,42;
1
n′ = 200 0,2326 = 46,52;
2
n′ = 200 0,0855 = 17,1;
3
n′ = 200 0,0315 = 6,3;
4
n′ = 200 0,0116 = 2,32;
5
n′ = 200 0,0042 = 0,84.
6
6. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Составим расчетную табл. 2.9. Для упрощения вычислений объединим интервалы 4, 5, и 6 малочисленных частот в один интервал, получим интервал (15; 30).
Объединим также малочисленные частоты (4 + 2 + 1 = 7) и соответствующиеимтеоретические частоты (6,30 + 2,32 + 0,84 = 9,46).
|
|
|
|
|
Таблица 2.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
ni |
ni′ |
ni − ni′ |
(ni − ni′)2 |
|
(ni − ni′)2 |
|
|
|
|
|
|
ni′ |
1 |
133 |
126,42 |
6,58 |
43,2964 |
|
0,3425 |
2 |
45 |
46,52 |
–1,52 |
2,3104 |
|
0,0497 |
3 |
15 |
17,10 |
–2,10 |
4,4100 |
|
0,2579 |
4 |
7 |
9,46 |
–2,46 |
6,0516 |
|
0,6397 |
Σ |
n = 200 |
– |
– |
– |
|
χн2 =1,29 |
75
Из таблицы критических точек распределения χ2 по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = s − 2 = 4 − 2 = 2
находим χкр2 = 6,0.
Поскольку χн2 < χкр2 , нет оснований отвергнуть гипотезу
о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.
2.3.3. Проверка гипотезы равномерного распределения
Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов xi−1 − xi и со-
ответствующих им частот ni , причем ni = n (объем выборки).
Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена равномерно.
Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении Х, т.е. по закону
|
1 |
f (x) = |
|
(b − a) |
|
|
0 |
|
в интервале (a,b), вне интервала (a,b),
необходимо:
1. Оценить параметры а и b – концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через a* и b* обозначены оценки параметров)
a* = x − 3σ |
в |
, b* = x |
в |
+ 3σ |
в |
. |
в |
|
|
|
2. Найтиплотностьвероятности предполагаемогораспределения
f(x) = 1(b* − a* ) .
3.Найти теоретические частоты:
n' = nP = n[ f (x) (x − a* )] = n |
1 |
(x − a* ); |
||
|
||||
1 |
1 |
1 |
b* − a* |
1 |
|
|
|
|
|
76
n'2 |
= n'3 |
= ... = ns−1 |
= n |
|
1 |
(xi − xi−1 ), (i = 2, 3, ..., s −1); |
||
b* − a* |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n's = n |
1 |
|
(b* − xs−1 ). |
|||
|
|
b* − a* |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s − 3,
где s – число интервалов, на которые разбита выборка.
Задача 2.4. Произведено n = 200 испытаний, в результате каждого из которых событие А появлялось в различные моменты времени. В итого было получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 2.10 (в первой строке указаны интервалы времени в минутах, во второй – соответствующие частоты, т.е. число появлений А в интервале). Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что время появления событий распределено равномерно.
Таблица 2.10
Интервал |
2–4 |
4–6 |
6–8 |
8–10 |
10–12 12–14 14–16 16–18 18–20 20–22 |
|||||
Частота |
21 |
16 |
15 |
26 |
22 |
14 |
21 |
22 |
18 |
25 |
Решение:
1. Построим гистограмму частот (рис. 2.8).
Рис. 2.8. Гистограмма эмпирических частот (к задаче 2.4)
77
По виду гистограммы частоты отклоняются от некоторой прямой. Предположим, что имеем равномерное распределение.
2. Для вычисления выборочной средней xв и выборочного среднего квадратического отклонения σв примем середины xiср
интервалов в качестве вариант (наблюдаемых значений X). В итоге получим эмпирическое распределение равноотстоящих вариант
(табл. 2.11).
Таблица 2.11
i |
x |
− |
x |
x |
|
n |
x2 |
x n |
i |
x2 |
n |
|
i |
|
i+1 |
|
ср |
i |
ср |
ср |
|
ср |
|
1 |
|
2–4 |
3 |
21 |
9 |
63 |
|
189 |
|||
2 |
|
4–6 |
5 |
16 |
25 |
80 |
|
400 |
|||
3 |
|
6–8 |
7 |
15 |
49 |
105 |
|
735 |
|||
4 |
8–10 |
9 |
26 |
81 |
234 |
|
2106 |
||||
5 |
10–12 |
11 |
22 |
121 |
242 |
|
2662 |
||||
6 |
12–14 |
13 |
14 |
169 |
182 |
|
2366 |
||||
7 |
14–16 |
15 |
21 |
225 |
315 |
|
4725 |
||||
8 |
16–18 |
17 |
22 |
289 |
374 |
|
6358 |
||||
9 |
18–20 |
19 |
18 |
361 |
342 |
|
6498 |
||||
10 |
20–22 |
21 |
25 |
441 |
525 |
|
11 025 |
||||
∑ |
|
– |
– |
200 |
– |
2462 |
|
37 064 |
|||
|
|
Найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
r |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
xв |
= |
|
ni |
xi |
= |
|
|
2462 |
= 12,31; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
ср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
= |
1 |
|
|
r x2 |
n − n |
|
2 = |
|
|
1 |
37 064 − 200 12,31 2 |
|
= 5,83. |
||||||||
в |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n −1 |
|
i |
i |
|
|
|
|
|
199 ( |
|
|
( |
) |
) |
|
||||||
|
|
|
|
i 1 cp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем оценки параметров a |
и b равномерного распределе- |
||||||||||||||||||||
ния по формулам a* = xв − |
3σв; b = |
|
в + |
3σв, |
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
получим
a* = 12,31−1,73 5,83 = 2,22; b =12,31+1,73 5,83 = 22,40.
78
3. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:
|
f (x) = 1 |
|
= 1 |
(22,40 |
− 2,22) |
= 0,05. |
||
|
|
(b* − a* ) |
|
|
||||
4. Найдем теоретические частоты: |
|
|
||||||
′ |
|
|
* |
|
|
|
|
|
= n |
f (x) (x1 − a ) |
= 200 0,05 |
(4 − 2,22) = 17,8; |
|||||
n1 |
||||||||
|
′ |
= 200 0,05 (x2 − x1 ) = 10 |
(6 − 4) = 20. |
|||||
|
n2 |
|||||||
Длины третьего–девятого интервалов равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты, соответствующие этим интервалам, итеоретическаячастота второго интервала одинаковы, т.е.
n'3 = n'4 = n'5 = n'6 = n'7 = n'8 = n'9 = 20; n'10 = 200 0,05 (b* − x9 ) = 10 (22,40 − 20) = 24.
5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, для этого составим табл. 2.12.
|
|
|
|
|
Таблица 2.12 |
|||
|
|
|
|
|
|
(ni − ni′)2 |
|
|
i |
ni |
ni′ |
(ni − ni′) |
2 |
|
|
||
|
|
ni′ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
21 |
17,8 |
10,24 |
|
0,58 |
|
|
|
2 |
16 |
20,0 |
16,0 |
|
0,80 |
|
|
|
3 |
15 |
20,0 |
25,0 |
|
1,25 |
|
|
|
4 |
26 |
20,0 |
36,0 |
|
1,80 |
|
|
|
5 |
22 |
20,0 |
4,0 |
|
0,20 |
|
|
|
6 |
14 |
20,0 |
36,0 |
|
1,80 |
|
|
|
7 |
21 |
20,0 |
1,0 |
|
0,05 |
|
|
|
8 |
22 |
20,0 |
4,0 |
|
0,20 |
|
|
|
9 |
18 |
20,0 |
4,0 |
|
0,20 |
|
|
|
10 |
25 |
24,0 |
1,0 |
|
0,04 |
|
|
|
∑ |
200 |
– |
– |
|
|
χн2 =6,92 |
|
|
79
Из расчетной таблицы получаем χн2 = 6,92. Из таблицы крити-
ческих точек распределения |
χ2 по уровню |
значимости α = 0,05 |
и числу степеней свободы k |
= r − 3 = 10 − 3 = 7 |
находим χкр2 = 14,1. |
Поскольку χн2 < χкр2 , нет оснований отвергать гипотезу о равномер-
ном распределении. Данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.
80