книги / Метрология, стандартизация и сертификация

В случае малого количества исходных данных (менее 20–30 измерений в группе) оценку распределения не проводят.

Критерий Романовского. Пусть произведено n+1 наблюдение. При этом n результатов не вызывают сомнений в отношении соответствия их закономерному ряду, а один кажется нарушающим этот ряд. Обозначим этот результат через Хn+1 . Найдем для

ряда наблюдений от Х1 до Хn среднее арифметическое значение

Xn и среднее квадратическое отклонение S.

Исходя из степени достоверности, которая должна быть

ЗАДАНИЕ1:

Найти и исключить результат измерений, несущий в себе грубую погрешность, используя правило «двух сигм».

Последовательность выполнения работы:

1. Разобрать под руководством преподавателя решение примера 1 и законспектировать решение примера с пояснениями в рабочую тетрадь (журнал).

Пример 1. Было выполнено восемь измерений массы образца, в результате чего получили следующие значения: 8,75; 8,73; 8,69; 8,72; 8,81; 8,86; 8,08; 8,82 г. Найти и исключить грубую по-

грешность. Решение:

1.1.Находим среднееарифметическоезначение. Xn = 8,68 г.

1.2.Находим отклонения каждого из результатов от средне-

го значения, квадрат каждого отклонения и сумму квадратов отклонений (∑U2 = 0,438 г2).

31

1.3. Находим среднее квадратическое отклонение S =

=0,25014 ≈ 0,25 г.

1.4.Определяем интервал значений от Х-2S до Х+2S:

Х–2S = 8,68 – 2·0,25 = 8,18 г. Х+2S = 8,68 + 2·0,25 = 9,18 г.

1.5.Анализируем ряд значений из условия задачи и выявляем те значения, которые не вошли в интервал от 8,18 до 9,18 г. В данном случае значение 8,08 г не входит в интервал от Х–2S до Х+2S и должно быть исключено, так как несет в себе грубую погрешность.

1.6.Рассчитываем среднее арифметическое значение результатов измерений из семи оставшихся значений, так как значение 8,08 г исключено нами на основании правила «двух сигм». Новое

значение Xn =8,77 г.

2.Получить у преподавателя индивидуальное задание, аналогичное разобранному выше примеру.

3.Выполнить задание, решение оформить в рабочей тетради.

ЗАДАНИЕ 2:

Найти и исключить результат измерений, несущий в себе грубую погрешность, используя критерий Романовского.

Последовательность выполнения работы:

1. Разобрать под руководством преподавателя решение примера 2 и законспектировать решение примера с пояснениями в рабочую тетрадь (журнал).

Пример 2. Было выполнено 16 измерений давления при опрессовке системы отопления многоквартирного дома: 771, 789, 791, 792, 794, 795, 796, 797, 798, 800, 801, 803, 804, 806, 807, 809 кПа.

Первое значение кажется выбивающимся из закономерного ряда. Проверим его на грубую погрешность.

1.1. Находим среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение результатов 15 наблюдений (при этом первое

значение 771 в расчет не берем) Xn = 799 кПа; S = 6,13 кПа;

32

1.2. Зададимся вероятностью рк = 0,005 и по таблице находим для n = 15 коэффициент t* = 4,28.

ε* = 4, 28 6,13 ≈ 26, 24 кПа.

1.4. Первый результат ряда отличается от среднего арифметического значения на 28 кПа и подлежит исключению как несущий в себе грубую погрешность, так как 28 > 26,24.

2.Получить у преподавателя индивидуальное задание, аналогичное разобранному выше примеру.

3.Выполнить задание, решение оформить в рабочей тетради.

Контрольные вопросы:

1.Что такое «промах» в измерениях?

2.Какие методы выявления грубых ошибок в измерениях вам известны?

3.Как звучит правило «двух сигм», «трех сигм»?

4.Какие критерии используют для оценки нормальности распределения?

33

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы: научиться обрабатывать результаты сразу нескольких серий измерений, полученных в условиях необеспеченности воспроизводимости их условий, когда измерения проведены в разное время, с применением различного оборудования, разными исследовательскими группами, при различии внешних влияющих факторов.

Теоретические сведения

На практике не всегда представляется возможным обеспечить полную воспроизводимость условий повторных измерений. Случается так, что при проведении нескольких серий измерений некоторые из них оказываются менее надежными.

При рассмотрении результатов одной серии наблюдений и сопоставлении их с результатами другой серии обнаруживается, что результаты последней менее однородны, имеют больший разброс. Результаты этих наблюдений не стоит отбрасывать, они могут быть использованы, кроме, конечно, случаев, определяемых как «промах». Эти результаты заслуживают меньшего доверия, но их можно учесть, уменьшив до определенной степени их роль, их значение, их «вес» в общей совокупности измерений.

Рассмотрим несколько условий измерения, которые могут вызвать необходимость снизить «вес» результатов единичных измерений в общей их совокупности.

В ряде случаев искомую величину измеряют на нескольких приборах, которые могут давать неравноценные по точности результаты. Измерения также могут проводиться несколькими наблюдателями, имеющими различную квалификацию и опыт работы. В процессе измерений могут меняться внешние условия их проведения, не обязательно выходя при этом за границы нормальных условий проведения измерений (испытаний), установленных в методике их проведения.

34

Чтобы возникающие независимо от наблюдателя или вводимые им сознательно изменения условий измерений не оказывали существенного влияния на конечный результат, каждую группу результатов наблюдений, относящихся к одинаковым условиям (данный прибор, данный наблюдатель, данные внешние условия), необходимо оценить с точки зрения степени доверия, определить их «вес» в общей совокупности всех результатов, подлежащих обработке, для получения значения измеряемой величины, наиболее близкого к действительному.

Таким образом, понятие «вес» отражает степень доверия к результату, чем больше этот вес, тем больше число, отражающее этот вес.

В этом случае значение измеряемой величины, наиболее близкое к истинному ее значению, определяется по формуле

где Х1; Х2 ; Х3 ;...; Хт − средние значения для отдельных групп измерений, полученныетемилиинымспособом; р1; р2 ; р3...; рт − ихвес.

Значение Х0 называют средним взвешенным.

Обозначение веса тем же символом, что и вероятность р, не случайно. Наиболее правильным значением веса для данного результата является его вероятность. Если нет возможности определить вероятность, то числовые значения веса устанавливают, учитывая условия (влияющие факторы) измерений.

Определение веса результата измерения

За основу вычисления могут быть взяты средние квадратические отклонения среднего арифметического значения результатов измерений в группе S0.

Веса соответствующих групп измерений считают обратно

пропорциональными квадратам S 2 , то есть дисперсиями:

0i

35

Другим критерием для определения весов результатов измерений нередко являются числа, отражающие количество наблюдений n в каждой группе:

Подставив значения весов из формул (2) и (3) в формулу (1), нетрудно убедиться, что среднее взвешенное значение будет равно среднему извсех изменений, рассматриваемых какодин ряд.

ЗАДАНИЕ1:

Определить среднее взвешенное значение результатов нескольких серий измерений при известных средних квадратических отклонениях в каждой группе.

Последовательность выполнения работы:

1. Разобрать под руководством преподавателя решение примера 1 и законспектировать решение примера с пояснениями в рабочую тетрадь (журнал).

Пример 1. Были проведены три группы измерений тремя наблюдателями. После обработки каждого ряда измерений были получены следующие результаты:

Х1 = 20000,45; S01 = ±0,05;

Х2 = 20000,15; S02 = ±0,2;

Х3 = 20000,60; S03 = ±0,1.

1.1. Определяем соотношение весов:

36

1.2. Среднее взвешенное будет равно

Х0 = 16 20000,45 +1 20000,15 + 4 20000,60 = 20000, 46. 16 +1+ 4

2. Получить у преподавателя индивидуальное задание, аналогичное разобранному выше примеру.

3. Выполнить задание, решение оформить в рабочей тетради.

ЗАДАНИЕ 2:

Определить среднее взвешенное значение результатов нескольких серий измерений при известном количестве наблюдений в каждой группе.

Последовательность выполнения работы:

1. Разобрать под руководством преподавателя решение примера 2 и законспектировать решение примера с пояснениями в рабочую тетрадь (журнал).

Пример 2. Было проведено три группы измерений с разным числом наблюдений в каждой группе. Известны средние арифметические значения в каждойгруппеичисло выполненных измерений.

Х1 = 999,9425;n1 = 36;

Х2 = 999.9420;n2 = 24;

Х3 = 999.9419;n3 = 60.

1.1. На основании пропорции р1* : р2* : р3* = 36 : 24 : 60 принимаем следующие значения для весов: р1* = 3; р2* = 2; р3* = 5.

1.2. При вычислении среднего взвешенного для удобства вычислений выделим неизменную часть значения измеряемой величины, проводявычисления только с ееизменяющимися частями:

Х0 = 999,94 + 3 0,0025 + 2 0,0020 + 5 0,0019 = 3 + 2 + 5

= 999,94 + 0,0021 = 999,9421.

37

2.Получить у преподавателя индивидуальное задание, аналогичное разобранному выше примеру.

3.Выполнить задание, решение оформить в рабочей тетради.

Контрольные вопросы:

1.Что такое «вес» результата измерения?

2.Какие параметры измерений могут быть положены в основу определения веса измерений?

3.Что называют средним взвешенным значением?

4.Какие измерения называют неравноточными?

38

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ЕДИНИЦАМИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Цель работы: научиться пользоваться справочными данными, содержащими информацию по соотношению между единицами физических величин при переводе их из единиц системы СИ во внесистемные единицы и обратно.

Теоретические сведения Международная система единиц (Система интернацио-

нальная – СИ) представлена основными единицами метр (m), килограмм (kg), секунда (s), ампер (A), кельвин (K), кандела (cd), моль (mol). Кроме того, в качестве стандартных в системе СИ были признаны единицы, не относящиеся ни к основным ни к производным, и названные дополнительными, такие как радиан (rad) и стерадиан (sr). Кроме системы СИ, используется система единиц СГС (сантиметр, грамм, секунда).

Единицы, не входящие ни в одну из известных систем, называются внесистемными, например литр, градус, процент, децибел и т.п. Единица, которая в целое число раз больше системной или внесистемной, называется кратной единицей. Например, километр, тонна, минута, декалитр и т.п. Единица, которая в целое число раз меньше системной или внесистемной, называется дольной. Например, миллиметр, микросекунда, миллилитр и т.п. Обозначения кратных и дольных величин приводятся в справочниках.

Обозначения единиц, наименование которых происходит от фамилий, например Ампер, Ватт, Вебер, Ом и т.п., пишутся с прописных букв (A, W, Wb), а остальные – со строчных (m, kg, s). Допускаетсяиспользованиерусскихобозначений(Вт, Вб, Ом, м, кг, с).

Приставки СИ (десятичные приставки) – приставки перед названиями или обозначениями единиц измерения физических величин, применяемые для формирования кратных и дольных еди-

39

ниц, отличающихся от базовой в определённое целое, являющееся степенью числа 10, число раз. Десятичные приставки служат для сокращения количества нулей в численных значениях физических величин. Рекомендуемые для использования приставки и их обозначения установлены Международной системой единиц (СИ). ГОСТ 8.417-2002, регламентирующий применение СИ в России.

Правила использования приставок:

–Приставки следует писать слитно с наименованием единицы или соответственно с её обозначением.

–Использование двух или более приставок подряд (например, микромиллифарад) не разрешается.

–Обозначения кратных и дольных единиц исходной единицы, возведенной в степень, образуют добавление соответствующего показателя степени к обозначению кратной или дольной единицы исходной единицы, причём показатель означает возведение в степень кратной или дольной единицы (вместе с приставкой). Пример: 1 км² = (10³ м)² =106 м² (а не 10³ м²). Наименования таких единиц образуют, присоединяя приставку к наименованию исходной единицы; квадратный километр (а не кило-квадратный метр).

–Если единица представляет собой произведение или отношение единиц, приставку или её обозначение присоединяют, как правило, к наименованию или обозначению первой единицы: кПа·с/м (килопаскаль-секунда на метр). Присоединять приставку ко второму множителю произведения или к знаменателю допускается лишь в обоснованных случаях.

Применимость приставок

В связи с тем, что наименование единицы массы в СИ – килограмм – содержит приставку «кило», для образования кратных и дольных единиц массы используют дольную единицу массы – грамм (0,001 кг).

Приставки ограниченно используются с единицами времени: кратные приставки вообще не сочетаются с ними – никто не исполь-

40