книги / Моделирование химико-технологических систем

ности. Учитывая существенно большее влияние на функцию отклика случайной ошибки в точке 9, рекомендуется ставить в этой точке плана не один, а несколько дублирующих опытов (в данном случае опыты с 9 до 13) для усреднения полученных результатов и для осуществления статистического анализа результатов всего эксперимента в целом.

ОПТИМИЗАЦИЯ ХТС

Оптимизация – целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Исторически сама проблема оптимизации возникла с техническим прогрессом и появлением конкуренции, то есть производители одинаковых товаров стали искать условия выпуска продукции, позволяющие выпускать один и тот же товар с минимальными издержками. Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в XVIII веке были заложены математические основы оптимизации (вариационное исчисление, численные методы и другие). Однако до второй половины XX века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев – невозможно. Особенно большие трудности возникали при решении задач оптимизации процессов в химической технологии из-за большого числа параметров и их сложной взаимосвязи между собой.

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1.Наличие цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, то есть одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, так как обычно экстремум (минимум или максимум) одного критерия не соответствует экстремуму другого.

Типичный пример неправильной постановки задачи оптимизации: «Получить максимальную производительность при минимальной себестоимости». Ошибка заключается в том, что ставится задача поиска оптимума 2-х величин, противоречащих друг другу по своей сути.

Правильная постановка задачи должна быть следующая:

а) получитьмаксимальнуюпроизводительностьпризаданнойсебестоимости; б) получитьминимальнуюсебестоимостьпризаданнойпроизводительности.

Впервом случае критерий оптимизации – производительность, а вовтором – себестоимость.

2.Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Объект должен обладать определенными степенями свободы – управляющими воздействиями.

31

3.Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.

4.Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью работы рассматриваемого объекта (аппарат, цех, завод), следовательно, оптимизируемый вариант работы объекта должен оцениваться какой-то количественной мерой – критерием оптимальности.

Выделяют задачи статической оптимизации для процессов, протекающих

вустановившихся режимах, и задачи динамической оптимизации. В первом случае решаются вопросы создания и реализации оптимальной модели процесса, а во втором – задачи создания и реализации системы оптимального управления процессом при неустановившихся режимах эксплуатации.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМУМА

Основной задачей оптимизации является нахождение экстремума (минимума или максимума) функции критерия оптимальности. Нахождение экстремума функции возможно различными методами. Выбор того или иного метода нахождения оптимума является одним из важнейших этапов оптимизации. Методы поиска оптимума можно разделить на следующие группы:

–аналитические методы;

–методы математического программирования.

Группа аналитических методов оптимизации объединяет аналитический поиск экстремума функции, метод множителей Лагранжа, вариационные методы и принцип максимума. Аналитический поиск экстремума функции, заданной без ограничений на независимые переменные является наиболее простым, но применяется к задачам, у которых оптимизируемая функция имеет аналитическое выражение, дифференцируемое во всем диапазоне исследования, а число переменных невелико.

Группа методов математического программирования включает: динамическое программирование, линейное программирование и нелинейное программирование.

Динамическое программирование – эффективный метод решения задач оптимизации многостадийных процессов. Метод предполагает разбивку анализируемого процесса на стадии (во времени или в пространстве). Например, реактор в каскаде или тарелка в колонне. Рассмотрение задачи начинается с последней стадии процесса, и оптимальный режим определяется постадийно.

Линейное программирование – метод для решения задач оптимизации с линейными выражениями для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных. Подобные задачи решаются итерационными способами. Эти методы используются при оптимальном планировании производства при ограниченном количестве ресурсов, для транспортных задач и другого.

32

Методы нелинейного программирования объединяют различные способы решения оптимальных задач: градиентные, безградиентные и случайного поиска. Общим для методов нелинейного программирования является то, что их используют при решении задач с нелинейными критериями оптимальности. Все методы нелинейного программирования – это численные методы поискового типа. Суть их заключается в определении набора независимых переменных, дающих наибольшее приращение оптимизируемой функции. Данная группа методов применяется как для детерминированных, так и стохастических процессов.

ОПТИМИЗАЦИЯ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ХТС) В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Виды неопределенности информации

При оптимальном проектировании химико-технологических систем (ХТС) необходимо выполнять ряд ограничений: по качеству продукта и производительности процесса, по безопасности, экологические ограничения и другое. Проблема выполнения проектных ограничений осложняется наличием неопределенностей в физической, химической и технологической информации, на которой основываются математические модели ХТС. Отсюда следует, что основная задача проектирования, которая заключается в определении оптимальной структуры, размеров аппаратов и режимов функционирования ХТС должна решаться с использованием неточных математических моделей в условиях рыночной экономики. В силу этого обстоятельства в литературе в последнее время большое внимание уделяется проблеме учета неопределенностей при решении задач оптимального проектирования ХТС.

Степень неопределенности исходной информации зависит главным образом от двух факторов:

–неточности исходных данных об условиях функционирования или проектирования ХТС (назовем это неопределенностью исходных данных или информационной неопределенностью);

–неточности применяемых при моделировании и оптимизации математических моделей (назовем это модельной неопределенностью).

Кроме того, неопределенность оптимальных решений задач проектирования ХТС вызывается следующими причинами:

–необходимостью внесения упрощений при построении математических моделей ХТС;

–погрешностью реализации математических моделей и методов оптимизации на ЭВМ.

Используемую при решении комплексной задачи проектирования ХТС информацию можно разделить на три вида:

1.Детерминированная информация.

2.Вероятностная информация, характеризующая случайные величины с известными законами и параметрами распределения (этот вид информации иногда называется неполной).

33

3. Неопределенная информация, которая является статистической по своей природе, но для нее неизвестны параметры или законы распределения.

Вреальных задачах моделирования и оптимизации ХТС, как правило, одновременно встречаются все три вида информации: одна часть информации может задаваться в вероятностной форме, другая – детерминировано, третья оказывается неопределенной.

При этом в практике проектирования ХТС с полностью неопределенными величинами приходится оперировать относительно редко, так как почти всегда имеется возможность тем или иным способом, включая экспертные оценки специалистов, получить какой-либо объем ориентировочной информации.

Первые два вида информации чаще всего характеризуют внутреннюю информацию о системе. Третий вид характерен для информации о внешних связях, определяемых взаимодействием ХТС с другими системами. В последних двух случаях неопределенные параметры задаются диапазоном или возможными вариантами их значений (интервальные оценки).

Влюбом случае неопределенная информация вносит в результаты решения задач проектирования и управления значительную долю неопределенности.

Нами рассматриваются два вида неопределенности: неопределенность исходных данных и модельная неопределенность.

Как в том, так и в другом случае для характеристики неопределенных параметров используются либо интервальные оценки параметров, либо их представление в виде случайных величин с известными законами и параметрами распределения.

Учет неопределенности информации

В настоящее время задачу проектирования ХТС, как правило, рассматривают как детерминированную, заменяя неопределенные величины их наиболее вероятными значениями. Повышения надежности проектных расчетов добиваются умножением расчетных величин на эвристические коэффициенты запаса. Однако такой подход может привести к завышенным коэффициентам запаса и, следовательно, увеличивает капиталовложения в ХТС.

Неоднозначность неопределенных параметров приводит к тому, что расчетным путем можно определить лишь зону, внутри которой каждое из решений будет оптимальным для выбранного критерия эффективности функционирования ХТС. Такая зона называется «зоной неопределенности оптимальных решений».

Исходя из этого, проблему неопределенности оптимальных решений можно сформулировать следующим образом: неоднозначно определенная исходная информация не позволяет получать однозначно определенные решения о функционировании или развитии процессов.

Таким образом, решение проблемы оптимизации в условиях неопределенности требует разработки методов, позволяющих ограничить «зону неопределенности» некоторым конечным множеством решений, а также определить внутри этого множества оптимальные или равнозначные решения.

34

Проектирование химико-технологических систем при наличии неопределенности информации

Неопределенность исходной информации приводит к тому, что для разных сочетаний исходных данных будут получены различные варианты решения задачи оптимизации проектных расчетов. Поэтому для выбора окончательного решения в этих условиях необходима разработка и применение специальных стратегий и базирующихся на их основе методов. Выбор стратегии обуславливается имеющейся априорной информацией о проектируемой ХТС, а также рядом требований, предъявляемых к производству.

С точки зрения статистической теории решений основная задача оптимизации при неопределенности параметров состоит в том, чтобы риск от решения, обусловленный этой неопределенностью, был минимален. При этом под риском понимается математическое ожидание функции потерь, которая представляет собой проигрыш, вызванный неоптимальным решением:

PR(U ,P) = F(X ,U ,P) −min F(X ,U ,P) .

u

Математическое ожидание функции потерь в области изменения параметров обозначают как средний риск:

Pиск = ∫ ∫ ...∫PR(X ,U ,P)ϕ(p)dp.

p P

При сложно рассчитываемой целевой функции, большой размерности векторов управляющих переменных U и неопределенных параметров P решение такой задачи требует серьезных затрат времени на расчет. Поэтому чаще всего прибегают к упрощенным стратегиям, среди которых наиболее широко известны стратегии Байеса, Вальда, Сэвиджа, Лапласа, Гурвица и их комбинации.

Гибкие ХТС

На сегодняшний день, большой практический интерес представляют задачи оптимизации, учитывающие неопределенность информации обобъекте. Учет неопределенности может входить как в критерий оптимизации, так и в ограничения. Появилось новое научное направление, получившее название «анализ гибкости». Основная цель такого анализа – получение «гибкой» химикотехнологической системы, оптимальной по сравнению с другими возможными вариантами. Гибкая ХТС сохраняет работоспособность при любых значениях параметров с неопределенностью из области возможных значений. Проблеме анализа гибкости ХТС уделяется большое внимание, потому что без учета неопределенности в большинстве случаев невозможна реальная, практически полезная оптимизация.

ПРОГРАММНЫЕ ПРОДУКТЫ. МОДЕЛИРУЮЩИЕ И ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ПРОГРАММЫ

Основными программными средствами, используемыми в настоящее время для решения задач моделирования ХТС, являются: AspenPlus, Hysys, ChemСad и Pro/II. Это мощные программные комплексы, оснащенные богаты-

35

ми библиотеками для расчета технологического оборудования и физикохимических свойств.

Их широко используют как при проектировании новых ХТС, так и при реконструкции действующих. При этом можно отметить как общую тенденцию стремление переходить на использование в расчетах все более и более сложных и, соответственно, более адекватных математических моделей технологических аппаратов, с чем упомянутые программы успешно справляются.

Универсальные моделирующие программы (УМП) содержат математические модули для решения задачи нелинейного программирования, НЛП (обычной оптимизационной задачи). По крайней мере, AspenPlus и Pro/II имеют математические программы, основанные на методе последовательного квадратичного программирования, который занимает сейчас лидирующее положение среди других методов. В последнее время начинает завоевывать популярность и успешно конкурировать с методом последовательного квадратичного программирования метод внутренней точки. Вероятно, этот метод в скором времени тоже будет введен в УМП. Оба метода относятся к методам решения задачи оптимизации в традиционной постановке, и какой бы метод мы ни выбрали, надстройка над оптимизационным модулем в этих программах (даже самая простая) для пользователя крайне затруднительна.

Задачу нелинейного программирования на практике принято решать с помощью универсальных оптимизационных программ (УОП). Таковыми являются программные пакеты GAMS, NAG, MINOS, NLPQL и другие. Некоторые из этих программ (GAMS и NAG, например) получили широкое распространение. Программы УОП, являясь более компактными и простыми в обращении по сравнению с пакетами AspenPlus и другими, позволяют реализовать (после некоторой доработки) упрощенные приближенные алгоритмы для оптимизации с учетом неопределенностей, но препятствием для их эффективного применения может стать их слишком большая универсальность, не учитывающая особенности задач химической технологии.

Одной из важнейших особенностей задач оптимизации ХТС (и многих задач из других прикладных областей) является их многоуровневый характер. В модели ХТС естественным образом выделяются два уровня: уровень системы (верхний уровень) и уровень отдельных аппаратов (нижний уровень). В моделях отдельных аппаратов тоже могут быть свои подуровни. Соответственно, алгоритм расчета ХТС можно сформулировать в виде двухуровневой процедуры: на верхнем уровне производится расчет материального и теплового баланса для ХТС в целом, а на нижнем - рассчитываются отдельные аппараты. В алгоритме оптимизации тогда будет 3 уровня: верхний уровень – уровень работы алгоритма НЛП и два других – расчетные уровни. Такой подход используется в УМП ChemCad, AspenPlus и других (и он отсутствует в УОП). Но реализация многоуровневого подхода в существующих УМП основана на простом объединении алгоритмов уровней и не учитывает всех достижений теории, что может привести к существенному увеличению вычислительных затрат и снижению на-

36

дежности расчета. Многие особенности и возможности многоуровневого подхода в УМП не реализованы.

Другими важными особенностями задач оптимизации ХТС являются наличие так называемых скрытых ограничений и возможная множественность стационарных режимов. Первые обусловлены тем, что математическая модель химико-технологического процесса обычно справедлива в ограниченных пределах, вне которых она теряет физический смысл и вызывает сбои в счете.

В целом в мировой практике за последние десятилетия был накоплен громадный опыт использования УМП для расчета стационарных (а также, в меньшей степени, и динамических) режимов ХТС, который развеял все сомнения в эффективности такого использования. В инжиниринговых компаниях, занимающихся проектированием химических процессов, проектирование без использования УМП в настоящее время просто не применяется. Но на определенном этапе совершенствования УМП было осознано, что наибольшие возможности компьютерного моделирования химико-технологических систем связаны не с передачей компьютеру традиционных для проектировщиков функций по расчету материальных и тепловых балансов, а с реализацией с помощью компьютера новых функций, прежде всего – функции оптимизации.

ОПТИМИЗАЦИЯ. МЕТОД АНАЛИЗА КОНТУРНЫХ КРИВЫХ

Графический метод многокритериальной оптимизации.

Для определения оптимальных условий, удовлетворяющих комплексу требований, используют метод совмещения контурных кривых для исследуемых показателей.

Пример 1. Изучается зависимость свойств резины от содержания серы (X1) и сантокюра (X2) (табл. 5),необходимо найти такой состав резины, при котором напряжение при удлинении 300% не ниже 100 кгс/см2, сопротивление разрыву не ниже 200 кгс/см2, сопротивление раздиру не ниже 40 кгс/см [2].

Окончание табл. 6

Результаты проведения экспериментов в соответствии с ортогональным планом сведены в табл. 6 (Y1 – напряжение при удлинении 300%, кгс/см2, Y2 – сопротивление разрыву, кгс/см2, Y3 – сопротивление раздиру, кгс/см).

В соответствии с полученными экспериментальными данными необходимо построить регрессионную зависимость в виде уравнения 2-ого порядка и определить числовые значения коэффициентов.

Y1(X1,X2) = a0 + a1X1 + a2X2 – a11 X112 – a22 X222 + a12X1X2;

Y2(X1,X2) = a0 + a1X1 + a2X2 – a11 X112 – a22 X222 + a12X1X2;

Y3(X1,X2) = a0 + a1X1 + a2X2 – a11 X112 – a22 X222 + a12X1X2.

Выполнить оценку регрессионной модели на адекватность, с помощью критерия Фишера. Для графического анализа полученных целевых функций с целью оптимизации необходимо построить контурные графики.

Для построения контурных кривых изменения свойств в зависимости от содержания двух компонентов по осям откладывают дозировки компонентов в условных единицах. Контурные кривые позволяют определить, при каких дозировках компоненты резины характеризуются наиболее высокими показателями, как, изменяя дозировки двух компонентов, сохранить уровень показателей постоянным и в какой области показатель изменяется в допустимых пределах.

На рис. 16 приведены контурные кривые (линии равного уровня) изменения напряжения при разрыве (рис. 16, а), сопротивления разрыву (рис. 16, б), сопротивлению раздиру (рис.16, в), построенные с помощью MsExcel.

Области, выделенные цветом, показывают смеси, характеризующиеся соответственно напряжением при разрыве не ниже 100 кгс/см2, сопротивлением разрыву не ниже 220 кгс/см2, не выше 40 кгс/см.

Вобласти, выделенной серым цветом находятся смеси, для которых напряжение при разрыве не ниже 100 кгс/см2 и сопротивление разрыву не ниже

200 кгс/см2 (рис. 17).

Для определения состава смеси, удовлетворяющей комплексу требований

ксвойствам резины. Совместим контурные кривые напряжения при разрыве Y1, сопротивления разрыву Y2, сопротивления раздиру Y3.

Вобласти оптимальных параметров находятся смеси, характеризующиеся напряжением при разрыве не ниже 100 кгс/см2, сопротивлением разрыву не ниже 200 кгс/см2, сопротивлением раздиру не ниже 40 кгс/см одновременно. После того, как выбрана область оптимальных значений, необходимо перейти от кодированных значений входных параметров к натуральным.

38

в

Рис. 16. Контурные кривые (линии равного уровня) изменения:

а– сопротивления разрыву; б – напряжения при разрыве;

в– сопротивления раздиру

Рис. 17. Совмещенные контурные кривые зависимостипоказателей свойств от содержания серы и сантокюра

39

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

1.Перечислите, что необходимо при постановке задач оптимизации

а) наличие объекта и цели оптимизации; б) наличие готовой математической модели; в) наличие ресурсов оптимизации;

г) возможность количественной оценки оптимизируемой величины; д) учет ограничений.

2.Укажите правильно сформулированную задачу оптимизации

а) получить максимальную производительность при минимальной себестоимости продукта;

б) получитьминимальнуюсебестоимостьпризаданнойпроизводительности; в) просчитать минимальный расход катализатора при заданной себестои-

мости; г) найти максимальную температуру реакционной смеси при минималь-

ных затратах на систему охлаждения.

3. Установите соответствие

1)чувствительность

2)надежность

3)управляемость

а) свойство системы в данных условия и при определенных характеристиках интенсивности отказов отдельных ее элементов, выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные характеристики в требуемых пределах в течение заданного промежутка времени или требуемой наработки;

б) способность системы с помощью управляющих воздействий переходить за конечный отрезок времени из заданного начального состояния в требуемое;

в) свойство изменять характеристики своего функционирования под влиянием изменений собственных параметров системы и внешних возмущающих воздействий.

4. Факторы эксперимента должны быть

а) регулируемыми; б) равными;

в) измерены с достаточно высокой точностью; г)связаны с переменными состояния однозначным соответствием.

5. Число экспериментов в ПФЭ равно (n-число факторов)

а) 2n; б) 2n;

в) 2n+2n.

40