книги / Строительная механика зданий и сооружений

Уравнение (2.2) называется уравнением устойчивости, из решения которого определяются значения критических сил.

Реакции основной системы, входящие в определитель, находятся с учетом продольных сил, действующих в стержнях, поэтому уравнение (2.2) содержит в качестве неизвестного параметр v. Уравнение (2.2) имеет бесконечное множество корней, которые расположены на положительной части числовой оси. Наименьший из корней v vкр соответствует минималь-

ной критической нагрузке, которая представляет практический интерес. Этот корень обычно находят подбором, начиная со значения v = 0. По безразмерному параметру vкр находим кри-

тический параметр нагрузки Pкр vкр2 EI /l2.

§ 2.3. Примеры расчета на устойчивость несимметричных рам

Для указанной рамы требуется:

1.Определить погонные жесткости i и параметры v для стержней рамы. Все параметры выразить через v0.

2.Выбрать основную систему метода перемещений и составить уравнения устойчивости в общем виде.

3.Построить эпюры изгибающих моментов от единичных смещений дополнительных связей в основной системе. При построении эпюр в сжатых стержнях следует пользоваться табл. 2, 3 приложения, приведенных в настоящей работе.

4.С помощью построенных эпюр определить реакции

вдополнительных связях основной системы и представить уравнение устойчивости в развернутом виде.

5.Из уравнения устойчивости определить значение параметра v0.

6.Определить критические силы и расчетные длины сжа-

тых стержней.

31

Пример 2.1. Требуется найти критическую нагрузку и расчетную длину для стойки рамы, показанную на рис. 2.1, с условием что длины и жесткости элементов равны между собой.

Выберем основную систему метода перемещений: закрепим узлы рамы от возможных поворотов и линейных смещений.

Рис. 2.1

Построим эпюры моментов, принимая перемещения наложенных связей за безразмерные и равными 1. При построении эпюр учтем, что к стойке рамы приложена продольная сила, поэтому эпюры в ней будут строиться с ее учетом (табл. 2 приложения). В ригеле рамы продольная сила равна нулю, соответственно, эпюры в нем будут строиться по таблицам расчета рам методом перемещений на прочность.

32

Рис. 2.2

По первому единичному состоянию из равновесия отдельных частей рамы найдем реакции в дополнительных связях

(рис. 2.2)

r11 3i 3i 1 v , r21 3i l1 v .

По второму единичному состоянию из равновесия отдельных частей рамы найдем реакции в дополнительных связях

По результатам расчета видно, что стойка работает примерно как консольный стержень.

В качестве данного примера была использована статически определимая рама, но дважды кинематически неопределимая. Решая данную раму на прочность, нет смысла пользовать-

33

ся методом перемещений, так как она статически определима. Но при решении задачи устойчивости метод перемещений обладает большими преимуществами по сравнению с методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. В статически неопределимых системах преимущества метода перемещений еще более очевидны.

Пример 2.2. (пример заимствован из [6, с. 139]). Определить критическое значение узловой нагрузки и расчетную длину для сжатой стойки рамы (рис. 2.3). В расчетах принять ip 3ic 3i.

Рис. 2.3

Основная система, изображенная на рис. 2.3, б, имеет два неизвестных метода перемещений – это углы поворота жестких

узлов рамы Z1 и Z2.

На рис. 2.3, в и г показаны единичные эпюры моментов от соответствующих Z1 = 1 и Z2 = 1. По построенным эпюрам, составляя уравнение равновесия жестких узлов рамы, находим

34

r11 9i 3i 1 v 12i 3i 1 v 7 ,

где vкр1 h EIP .

r12 r21 6i,

r22 9i 3i 12i 24i.

Условие критического состояния рамы на основании (2.2) будет иметь вид

из которого следует 1 v 6,5. По табл. 3 приложения находим наименьший корень этого уравнения vкр 4,29. Тогда

и расчетная длина

Видно, что ввиду большой жесткости ригеля стойка работает примерно как стержень с одной жесткой и другой шарнирной опорами.

Пример 2.3. Для заданной рамы (рис. 2.4, а) найти критические значения сил и расчетные длины стоек при действии на нее силы P1, силы Р2 = 1,2Р1 и постоянной силы P = 200 кH;

EI = 400 кH·м2.

1. Определяем погонные жесткости i и параметры v для стержней рамы.

35

2. Выбор основной системы. Составление уравнения устойчивости в общем виде.

Определим степень кинематической неопределимости рамы.

Заданная рама содержит два промежуточных жестких узла 2 и 3. Но изгибная жесткость ригеля 2–3 значительно больше жесткости стойки 3–С (EI = ), поэтому можно считать его абсолютно твердым телом, не допускающим деформаций. Поэтому угол поворота третьего узла равен нулю 3 0 , и, сле-

довательно, hy 0.

Для определения числа линейных независимых перемещений образуем шарнирную схему рамы, вводя во все жесткие

36

узлы полные шарниры (рис. 2.4). Полученная шарнирная схема дважды геометрически изменяема:

W 3K Ш 3 2 8 2.

Действительно, для обращения шарнирной схемы в геометрически неизменяемую систему достаточно ввести два дополнительных опорных стержня: первый устраняет возможное горизонтальное перемещение узла 1, и, следовательно, всего ригеля 1–2–3; второй закрепляет от горизонтального смещения конец консоли 4. Таким образом, заданная рама имеет два неизвестных независимых линейных перемещения 1 и 2

(рис. 2.4, б).

а

б

Рис. 2.4

37

Число неизвестных метода перемещений n ny nл 1 2 3.

Это число можно уменьшить за счет исключения из неизвестных линейных перемещений узлов для стержней, в которых поперечная сила заведомо равна нулю. Таким стержнем является консоль. Тогда линейное перемещение 2 можно из состава основных неизвестных исключить, но это не означает, что перемещение 2 = 0.

Основную систему метода перемещений получаем введением в заданную схему рамы дополнительных связей, которые исключают основные неизвестные перемещения. Для закрепления узла 2 от возможного поворота вводим в этот узел дополнительную упругую заделку, а для устранения возможного неизвестного линейного смещения вводим дополнительный опорный стержень в узел 1.

Обозначим неизвестный угол поворота Z1 и неизвестное линейное смещение Z2 (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Уравнение устойчивости в общем виде

38

3. Построение единичных эпюр метода перемещений. Определение коэффициентов канонических уравнений.

Эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичных перемещений, построенные с учетом табл. 2 приложения для сжатых элементов, даны на рис. 2.6, а, б.

а

39

б

Рис. 2.6

Значения коэффициентов канонических уравнений получим с использованием эпюр рис. 2.6, а, б.

Здесь r11 – реактивный момент, возникающий в первой введенной (дополнительной) связи, от поворота этой связи на

угол, равный Z1 1;

r21 – реактивная сила, возникающая во второй введенной (дополнительной) связи, от поворота первой дополнительной

связи на угол Z1 1.

Реакции r11 и r21 нашли по эпюре (рис. 2.6, а), используя условия равновесия узла и части рамы (рис. 2.7).

40