книги / Системы управления электроприводом

жения и т.п.), следящих систем управления, систем воспроизведения движений на динамических стендах и др. Поскольку основным технологическим требованием при синтезе таких систем является максимальное быстродействие и минимум динамической ошибки отработки рассогласований заданных и действительных значений выходной переменной, то в качестве дискретного критерия оптимальности часто принимают критерий вида

J n min,

где n – число периодов дискретного управления, по истечении которых система приходит в установившееся состояние без перерегулирования выходной переменной [2–4].

Такие системы принято называть финитными.

Ниже рассматривается аналитическая процедура синтеза финитных регуляторов состояния, обеспечивающих конечное время установления переходных процессов в линейных системах управления произвольного порядка. Предлагаемая процедура синтеза теоретически обеспечивает в системе управления астатизм первого порядка по задающим воздействиям, а следовательно, повышенную точность отработки изменяющихся во времени задающих воздействий.

Пусть линейный стационарный объект управления описывается дискретно-непрерывным векторно-матричным уравнением

щения размерностями n 1, m 1, d 1 соответственно; A, B, C –

ния, с; k – номер такта дискретного управления.

Задача синтеза формулируется следующим образом: необходимо для произвольных начальных значений X(0), F(0) и посто-

янного на интервале nT вектора возмущений F(t) сформировать

54

дискретную управляющую последовательность U(kT), k = 0, 1, ... , переводящую объект управления (2.5) в заданное конечное состояние X* за n тактов управления, где n – порядок динамического объекта. При синтезе оптимального управления принимаются следующие допущения: время измерения координат состояния и выработки (вычисления) координаты управления ничтожно мало в сравнении с тактом T управления; длина разрядной сетки ЭВМ и устройств связи с объектом управления позволяет пренебречь квантованием непрерывных сигналов по уровню; значение периода управления T выбирается исходя из ограничений ресурсов управления. Приведенные допущения являются широко распространенными при синтезе дискретных систем управления объектами рассматриваемого класса [2–4, 8, 9].

Представим искомую управляющую дискретную последовательность в виде линейной формы дискретных значений векторов состояния X(kT), задающих воздействий X*(kT), вектора возмущения F(kT) и вектора производных задающих воздейст-

вий X (kT ) в виде

где α, β, γ, δ – матрицы финитного управления размерностями m n, m m, m d, m m соответственно, определение которых

и является задачей синтеза.

Данный подход основан на разных формах представления объекта управления (в виде непрерывной модели) и устройства управления (в виде дискретной модели), причем структура устройства управления предполагается заданной не в виде дискретной передаточной функции, а в виде линейного дискретного регулятора состояния системы.

Векторная структурная схема такой дискретно-непрерывной системы приведена на рис. 2.13, обозначения переменных соответствуют принятым в пособиях [3, 4].

55

Рис. 2.13. Векторная структурная схема дискретно-непрерывной САУ

Пунктирными линиями на схеме выделены объект управления и устройство управления – дискретный регулятор состояния. Дискретизация вектора управления и, соответственно, всех аддитивных воздействий осуществляется в моменты времени kT (k = 0, 1, 2, …) методом экстраполяции нулевого порядка.

Экстраполятор (фиксатор) нулевого порядка обозначен на схеме аббревиатурой ЭНП. Простейшая аппаратная реализация векторного ЭНП – m устройств выборки-хранения, имеющих квантователи сигналов в моменты времени kT (m – размерность вектора управления). При микропроцессорной реализации дискретного регулятора состояния ЭНП – совокупность регистров памяти с перезаписью информации с тактом T управления.

Заметим, что линейность моделей объекта управления (2.5)

ирегулятора состояния объекта управления (2.6) позволяет при синтезе САУ применить принцип суперпозиции управляемых динамических процессов. Проведем декомпозицию управляющей дискретной последовательности и динамических процессов в системе на две составляющие – управляемый свободный процесс

иуправляемый вынужденный процесс. В соответствии с этим в процедуре синтеза выделим два этапа – синтез свободного и синтез вынужденного движений.

56

Синтез свободного движения САУ. Управляемый свободный процесс в системе определяется парой матриц A, B объекта управления и матрицей α регулятора состояния, призванной обеспечивать оптимальность переходных свободных движений при произвольных начальных значениях вектора состояния X(0). На первом этапе синтеза будем полагать равными нулю все внешние адди-

тивные воздействия X* (t), X* (t), F(t). Тогда управление свободным движением примет вид

Для нахождения матрицы α воспользуемся теоремой об n интервалах дискретного управления в сочетании с принципом оптимальности Беллмана [1, 2]. Не снижая общности выкладок, будем полагать, что оптимальное свободное движение системы завершается через n тактов дискретного управления в нулевой точке пространства состояний X(n) = 0. Сформируем расширен-

ный вектор-столбец состояния:

и перепишем уравнение для случая управляемого свободного движения в виде

где D – матрица управляемого состояния размерностью (n+m)

(n+m),

Зададимся некоторой произвольной дискретной управляющей последовательностью U(kT), k = –1, –2, ... , –n, и рассмотрим движение системы в обратном времени, т. е. примем конечное нулевое состояние системы за начальное. Проинтегрируем уравнение (2.9) при нулевых начальных условиях X(0) = 0, воспользо-

57

вавшись аппаратом переходных матриц состояния, и получим векторное дискретное уравнение состояния:

где Ф 1 (D, T ) – расширенная обратная матрица перехода.

Сформируем матрицу W дискретного управления размерностью m n и матрицу G дискретного состояния размерностью n n в следующем виде:

Поскольку не наложены какие-либо ограничения на множества управляющих воздействий и дискретные состояния системы, а также, по определению, система находилась в нулевом начальном состоянии, очевидно, что ее движение в обратном направлении (по отношению к принятому при синтезе) будет носить оптимальный по быстродействию в смысле принятого критерия качества характер. Следовательно, с учетом выражения (2.7) искомую матрицу α можно найти в виде

Решение векторно-матричного уравнения (2.14) будет единственным при полном ранге матрицы G, т.е. если rank(G) = n.

Синтез вынужденного движения САУ. На втором этапе синтеза определим матрицы β, γ, , входящие в выражение (2.6), для чего рассмотрим вынужденное движение системы.

Представим вектор-столбец установившихся состояний САУ в виде

где X1 – подвектор размерностью m 1, определяющий заданное установившееся состояние системы, т. е. X1 X ; X2 – подвек-

58

тор размерностью (n–m) 1, включающий в себя остальные координаты состояния системы управления.

Соответствующую матрицу установившихся состояний представим в виде блочной матрицы

Представим все аддитивные воздействия на систему в виде обобщенного вектора-столбца задающих и возмущающих воздействий размерностью (2m + d) 1:

и зададимся численными значениями его компонент так, чтобы сформировать неособую матрицу Q аддитивных воздействий размерностью (2m+d) (2m+d) в виде

Тогда с учетом введенных обозначений (2.7)…(2.18) уравнение (2.5) для квазиустановившихся состояний системы (X(t) const,

X1 (t) const) можно переписатьвследующемвиде:

Подставим векторы установившихся состояний X2(i), U(i), i = 1, 2, … , 2m+d, в уравнение (2.16) и выразим искомую блочную матрицу:

Матрицы , , определяются однозначно при полном ранге матрицы Q, что легко обеспечить соответствующим заданием значений аддитивных воздействий либо формированием заведомо невырожденных матриц размерностью (2m+d) (2m+d), например, в форме диагональной единичной матрицы. Таким образом, результирующее дискретное управление в форме (2.6) представляет собой цифровой регулятор состояния, обеспечивающий комбинированное финитное управление по отклонению выходной координаты от заданного значения и по возмущающим воздействиям, а также астатизм первого порядкапо задающимвоздействиям.

Порядок выполнения работы

иметодические указания

1.Получить у преподавателя задание на выполнение лабораторной работы, включающее одну из структур ЭМОУ (см. рис. 2.12)

иномер варианта (см. табл. 2.1).

2.По структурной схеме ЭМОУ для заданного варианта составить математическую модель ЭМОУ в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом с целью «мягкого» перехода к следующему этапу – описанию ЭМОУ в векторно-матричной форме – целесообразно воспользоваться нормальной формой Коши.

Например, для ЭМОУ, представленного нарис. 2.12, б, имеем:

3. По полученным ОДУ составить ММ ЭМОУ в форме век- торно-матричного уравнения состояния ЭМОУ, причем матрицы состояния, управления и возмущения для заданных преподавателем структур и параметров ЭМОУ необходимо привести в обоб-

60

щенной и численной формах. Очень важно при этом «не потерять» знаки элементов матриц.

Кроме того, в целях системного восприятия векторноматричных уравнений ЭМОУ студентом и исключения ошибок при их решении компьютерной программой при синтезе и анализе СУЭП целесообразно в качестве первой компоненты столбца вектора состояния записывать самую медленную (выходную координату ЭМОУ), а в качестве последней компоненты – самую быструю (координату состояния ЭМОУ).

Например, для приведенной выше модели ЭМОУ в форме ОДУ (2.21) и варианта 12 (см. табл. 2.1) имеем:

– уравнение состояния:

X AX BU CF,

где X ω, i T – вектор состояния; U = [Uу] – вектор управления; F iс – вектор возмущения;

– матрицы состояния, управления и возмущения:

4. Выписать таблицы чисел полученных матриц, запустить приложение «Исследование САУ» и перейти к работе программы, используя рекомендации прил. А (описание интерфейса программы) и прил. Б (последовательность работы с программой).

61

5. Сохранить результаты синтеза регулятора состояния и анализа СУЭП (семейство графиков 4 опытов) в формате рисунков (скриншотов).

Примечания:

– число опытов имитационного моделирования СУЭП с регуляторами состояния, включающих конкретные наборы начальных, заданных и возмущающих координат ЭМОУ, по умолчанию равно четырем; поэтому в отчете о лабораторной работе для штатного задания, включающего одну структурную схему (см. рис. 2.12), должно быть четыре рисунка, содержащих графики переходных процессов с таблицей экстремальных значений координат (прил. А, рис. А.9);

–каждый из опытов должен предваряться описанием конкретных условий моделирования – указанием численных значений начальных, заданных координат электропривода и возмущающих воздействий; при этом в обязательном порядке необходимо указывать размерности переменных;

–преподаватель может сократить или увеличить число опытов исходя из требований к подготовке студентов и реалий временного регламента, задав новые наборы начальных, заданных и возмущающих координат СУЭП.

6. Составить отчет о лабораторной работе.

Содержание отчета:

1.Титульный лист, отвечающий требованиям к оформлению лабораторных работ, представленным на сайте кафедры МСА.

2.Заданная структурная схема ЭМОУ в соответствии

срис. 2.12.

3.Строка параметров ЭМОУ в соответствии с заданным вариантом в табл. 2.1.

4.ММ ЭМОУ в форме ОДУ.

5.ММ ЭМОУ в форме ВМУ состояния.

6.Результаты синтеза оптимального финитного управления в форме искомых матриц управления для свободного и вынужденного движений.

62

7.Результаты анализа СУЭП в виде рисунков (графиков)

суказанием начальных условий, задающих воздействий и экстремальных значений переменных в каждом из 4 опытов.

8.Выводы по результатам исследования.

Контрольные вопросы

1.Структурные схемы ЭМОУ и их преобразование в форму ОДУ и ВМУ состояния ЭМОУ (задание преподавателя).

2.Синтез свободного движения ЭМОУ при формировании финитного управления.

3.Синтез вынужденного движения ЭМОУ при формировании финитного управления.

4.Результаты моделирования СУЭП при приложении ступенчатого задающего воздействия «в малом».

5.Результаты моделирования СУЭП при приложении ступенчатого возмущающего воздействия «в малом».

6.Принцип суперпозиции и результаты моделирования при одновременном приложении задающего и возмущающего воздействий.

7.Результаты моделирования СУЭП при приложении ступенчатого задающего воздействия «в большом».

Лабораторная работа № 10 Синтез и анализ микропроцессорных систем

регулирования скорости с регуляторами класса

«вход-выход» в среде Matlab/Simulink

Цель работы – ознакомление студентов с основными положениями теории синтеза микропроцессорных СУЭП с параметрически оптимизируемыми регуляторами класса «вход-выход», а также формирование у студентов умений и навыков исследования таких систем управления с применением компьютерной среды «Matlab/Simulink».

63