книги / Общая физика. Электричество и магнетизм
.pdfратов для случая, когда между измеряемыми величинами х и у сущест вует линейная зависимость
у =Ьх. |
(1) |
Пусть в результате эксперимента получено п различных значе ний величины у,-, соответствующих различным значениям величины . Найдем коэффициент Ь, при котором экспериментальные точки у, будут иметь наименьшие отклонения Ду, относительно прямой.
Отклонение каждого значения у,- от прямой у = Ъхбудет
у1-Ьх1= Ду;. |
(2) |
Составим сумму квадратов отклонений:
(3)
Отклонение (разброс) измеренных значений у, от функции у =
=Дх) будет минимальным, если
Дифференцирование (3) по переменной Ь (предположив, что все остальные величины постоянны) с учетом (4) дает
п
~22
1=1
или
пп
(5)
Отсюда определяем искомый коэффициент Ь.
6 = 1=1 |
(6) |
Е 2
/=1
2. В случае линейной зависимости между величинами х и у, ко торая аппроксимируется прямой, не проходящей через начало коор динат,
у = а + Ьх, |
(7) |
коэффициенты аиЬ могут быть вычислены по формулам:
п п
Х * 2Х ^ 2 - Х з д Х * . - |
п ^ У ‘ ~ Ц у < X * . - |
|
||
а - М |
Ы |
е! |
э Ь = - £ 1---------^ |
(8) |
"XX22Х |
«XX - 2Х |
1=1 . 1=1 |
1=1 |
Пример: предположим, что мы провели эксперимент и получили данные, которые занесли в табл. 1.
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
Номер измерения / |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
х,- |
1,0 |
1,9 |
3,1 |
4,0 |
4,9 |
У/ |
1,6 |
2,5 |
3,0 |
3,7 |
4,6 |
Для упрощения расчетов составим вспомогательную таблицу
и заполним ее (табл. 2).
|
|
|
|
Таблица 2 |
Номер измерения г |
|
У/ |
Х/У/ |
х/2 |
1 |
1,0 |
1,6 |
1,60 |
1,00 |
2 |
1,9 |
2,5 |
4,75 |
3,61 |
3 |
3,1 |
3,0 |
9,30 |
9,61 |
4 |
4,0 |
3,7 |
14,80 |
16,00 |
5 |
4,9 |
4,6 |
22,54 |
24,01 |
2 |
14,9 |
15,4 |
52,99 |
54,23 |
5 4 ,2 3 -1 5 ,4 -5 2 ,9 9 -1 4 ,9 |
45,591 |
|
|
5 -5 4 ,2 3 -2 2 2 ,0 1 |
49,14 |
’ |
’ |
6 = 5-52.99-15,4.14,9 = ЗМ9 = |
|
|
|
5 -5 4 ,2 3 -2 2 2 ,0 1 |
49,14 |
|
|
Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть следующим образом: у = 0,928 + 0,722- х .
Для построения отрезка прямой линии найдем две точки, одна из которых у\ = 0,928. Вторую точку у2 получим, подставив в уравнение
прямой значение*, равное, например, 5.
у2 = 0,928 + 0,722-5 = 4,538.
На листе миллиметровой бумаги проведем оси координат, при
чем ось у проведем вертикально, а ось * - |
горизонтально. |
|
|
Выберем и нанесем на оси коорди |
|
|
нат масштаб так, чтобы наши экспери |
|
|
ментальные |
точки располагались на |
|
графике наилучшим образом - занима |
|
|
ли на графике максимальную площадь. |
|
|
Нанесем на график экспериментальные |
|
|
точки и две точки у\ и у2, рассчитанные |
|
|
нами (рис. 2). Для обозначения экспе |
|
|
риментальных и «теоретических» точек |
|
Рис. 2. Метод |
используем разные обозначения (круж |
|
ки, крестики, треугольники и т. п.). |
||
наименьших квадратов |
Через две «теоретические» точки |
|
|
||
(у[И уг) проведем отрезок прямой линии. При правильных расчетах линия пройдет на графике наилучшим образом, так, что эксперимен тальные точки будут располагаться справа и слева от прямой линии. Все построения следует делать карандашом.
СПИСОК Р ЕК О М ЕН Д УЕМ О Й Л И Т ЕР А Т У Р Ы
1. Братухин Ю.К., Путин Г.Ф. Обработка результатов измере
ний: учеб, пособие. - Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та, 1989. - 44 с.
2.Колесниченко В.И. Обработка и представление результатов эксперимента: учеб, пособие. - Пермь: Перм. гос. техн. ун-т, 2000. - 74 с.
3.Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин. - Л.: Наука, 1985. - 108 с.
4.Паршаков А.Н. Принципы и практика решения задач по общей
физике. Ч. 2. Электромагнетизм: учеб, пособие. - Пермь: Изд-во
Перм. гос. техн. ун-та, 2010. - 313 с.
Учебное издание
ОБЩАЯ ФИЗИКА
Часть 2: Электричество и магнетизм
Лабораторный практикум
Редактор и корректор Е.И. Хазанжи
Подписано в печать 12.12.11. Формат 60x90/16. Уел. печ. л. 3,0.
_______Тираж 100 экз. Заказ № 237/2011._______
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113. Тел. (342) 219-80-33.