книги / Математический анализ динамических моделей
..pdfНайти |
X (t) |
в |
следующих |
случаях: |
A(t) 0, |
A(t) A(0)δ(t), |
|
A(t) A(0) const, |
A(t) A(0)ert , A(t) A(0)(1 sin(t)), |
A(t) A(0) bt . |
|||||
Взять |
значения |
μ, a и Т в |
зависимости от |
номера в группе: |
|||
μ 0,01; 0,02; ; 0,36; |
a 0,01; 0,02; ; 0,36; |
n = 0,01; 0,02; …; 0,36; |
|||||
Т = 2,01; 2,02; …; 2,36. |
|
|
|
|
|
||
Индивидуальное задание № 7
Нелинейные модели для валового внутреннего продукта
Упражнение 1. Модель Рамсея – Солоу – Свена (РСС) в абсолютных показателях: модель динамики трудовых ресурсов – L L0eρt ,
ρ – мальтузианский коэффициент роста, dKdt μ K I – ОДУ воспроиз-
водства ОПФ, – норма выбытия ОПФ, K(0) K0 , X F (K,L) – произ-
водственная |
функция |
|
ВВП, |
I sX – собственные инвестиции, |
||
C (1 s)X – конечное непроизводственное потребление. |
||||||
Модель Солоу в относительных, удельных показателях: |
||||||
dk λk sf (k), |
λ μ ρ, |
k(0) k0 K0 , |
x f (k) F(k,1)= |
|||
dt |
|
|
|
|
L0 |
|
|
|
F (K,L) |
, i sf (k), c C (1 s) f (k). |
|||
|
|
|||||
|
|
L |
|
|
L |
|
Случай, |
когда |
μ 0 и |
управление |
u u(t) 1 s(t) – доля |
||
непроизводственного потребления, рассмотрел Ф. Рамсей в 1928 г., случай, когда μ 0 и управление u 1 s const рассмотрели Р. Солоу и Р. Свен в 1956 г., случай, когда μ 0 и управление u u(t) 1 s(t) рассмотрел К. Шелл в 1967 г.
51
Выполнить следующее.
1. Найти стационарную траекторию
dk (t) 0. dt
2.Вычислить kˆ – фондовооруженность, при которой скорости роста функций g1(k) λk и g2(k) sf (k) равны, то есть k sf (k).
3.Исследовать переходный режим в модели Солоу:
3.1.k0 kˆ – ускоренный вначале рост фондовооруженности;
3.2.kˆ k0 k – замедленный рост фондовооруженности;
3.3.k0 k – замедляющееся падение фондовооруженности.
4. Определить норму производственного накопления s, максимизирующую среднедушевое потребление с в стационарном режиме:
c c (k (s)) (1 s)f (k (s)) max , 0 s 1.
Вывести ответ: |
|
** |
|
λk** |
Y |
|
** |
** |
– это «золотое правило |
s |
|
|
|
EK |
(K |
|
, L ) |
||
|
f (k**) |
|
накопления» Э. Фелпса (1966).
μk
f(k)
0
k** k
52
В качестве производственных функций взять:
F(K,L) aK αLβ , 0 α, β 1, α β 1 – функция Кобба – Дугласа;
F(K,L) aK bL – линейная функция;
a = 0,931 + 0,01n; b = 0,754 + 0,01n; = 0,539–0,01n;
n – номер варианта
Упражнение 2. Двухсекторная модель развивающейся экономики состоит из двух секторов: 1) сектор производства средств производства,
2) сектор производства предметов потребления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Основные соотношения: X1 F1(K1,L1), X2 |
F2(K2,L2) |
– производ- |
||||||||||||||||||||
ства первого и второго сектора, |
L L1 |
L2 const, I1 |
sX1 – инвестиции |
|||||||||||||||||||
в первый сектор, s – |
норма накопления (сбережения) |
в первом секторе, |
||||||||||||||||||||
0 s 1, I2 (1 s)X1 |
– инвестиции во второй сектор, |
C Y2 |
– конечное |
|||||||||||||||||||
потребление, L1 qL , q – |
доля работников в первом секторе, |
L2 (1 q)L , |
||||||||||||||||||||
0 q 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система уравнений динамики: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dK1 |
sF |
(K ,L ) K , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dt |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dK2 (1 s)F (K ,L ) K |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C F2(K2,L2), L1 qL, L2 (1 q)L, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q 1, |
s const, q=const. |
|
|
|||||||||||||
|
0 s 1, 0 |
|
|
|||||||||||||||||||
Модель в относительных показателях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
k K1 , k |
2 |
K2 |
, |
|
f (k ) F (k ,1), |
|
f |
2 |
(k |
|
) F (k |
,1), |
|
|||||||||
1 |
L1 |
|
L2 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dk1 |
sf (k ) μk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dt |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk2 |
|
(1 |
s) f (k) |
μk |
, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
1 q |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(1 |
q) f2(k2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
s 1, 0 q 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
Выполнить следующее.
1. Найти стационарную траекторию
dk* |
0, |
dk* |
0. |
1 |
2 |
||
dt |
|
dt |
|
2. Среди всех стационарных траекторий найти такую, которая максимизирует удельное, подушевое потребление:
c* (1 q)f2(k2*(s,q)) max,0 s 1, 0 q 1.
3. Найти оптимальную норму накопления (сбережения) s и оптимальное деление трудовых ресурсов q между секторами.
При этом |OA1 | |OA2 |, когда (k1**,k2**) – оптимальная стационарная точка,
s**
A1 0
k2
μk** |
Y |
(K |
** |
,L |
** |
), |
|
|
1 |
E 1 |
|
|
|||
f |
(k**) |
|
|
||||
K1 |
1 |
1 |
|
||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
μk1
f1(k1)
k1**
** |
|
** |
|
EY2 (K |
**,L **). |
q** k2 |
f2(k2 |
) |
|||
f2(k2**) |
|
K2 2 |
2 |
||
f2(k2)
k1 |
A2 0 |
k2** |
В качестве производственной функции взять:
1)две функции Кобба – Дугласа;
2)две линейных функции;
3)одну функцию Кобба – Дугласа и вторую линейную функцию.
54
Индивидуальное задание № 8
Модели Леонтьева
1. Открытая статическая модель Леонтьева
Дано: матрица технологических коэффициентов:
|
|
0 |
0,2 |
0,12 |
0,2 |
0,1 |
|
|
|
|
0,13 |
0 |
0,14 |
0,15 |
0,16 |
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
0,2 |
0,25 |
0 |
0,4 |
0,3 |
|
(1) |
|
. |
|||||||
|
|
0,1 |
0,25 |
0,1 |
0 |
0,1 |
|
|
|
|
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Вектор конечных продуктов:
Y = (25, 30, 27, 30, 25).
Вектор коэффициентов трудовых затрат (вектор трудовых коэффициентов):
l = (300, 400, 500, 200, 400). Номинальная зарплата одного рабочего по всем отраслям:
w = 600 – номер варианта.
Найти:
–вектор валовых выпусков отраслей,
–вектор L потребностей в рабочей силе (вектор труда),
–прирост xj валового продукта xj на единицу прироста конечного
yi
продукта yi ,
– прирост работающих на единицу (на 10 %) прироста спроса на
конечный продукт yi ,
– цену равновесия pj j-го продукта (j = 1,…,5),
– предельный продукт yi труда i-й отрасли (i = 1,…,5).
L
Будет ли матрица продуктивной?
55
2.Динамические модели Леонтьева
2.1.Модель динамики вектора чистого внутреннего продукта
Y (t) B(E A) 1 dYdt(t) C(t),
здесь А – матрица технологически коэффициентов (1), В – матрица коэффициентов капиталоемкости приростов производства (матрица капиталоемкости, матричный акселератор):
|
|
0,5 |
0,5 |
0,2 |
1,2 |
0,3 |
|
|
|
1,0 |
0,8 |
0,3 |
0,7 |
0,2 |
|
|
|
|
|||||
B |
|
0,2 |
0,3 |
0,5 |
0,5 |
0,15 |
|
|
|
||||||
|
|
0,7 |
0,2 |
1,2 |
0,8 |
0,6 |
|
|
|
0,6 |
0,8 |
0,6 |
0,8 |
0,17 |
|
|
|
|
Найти
– Y (t) при Y (0) = |
(Y (0),Y (0),30,30,30)T , где |
Y (0) 30 |
+ номер |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
варианта, Y2(0) 30,
– индекс технологического роста λ.
Выбрать следующие варианты потребления C(0) 25(1,1,1,1,1)T :
–C(t) C(0),
–C(t) C(0)ert ,
–C(t) C(0)(1 sin(t)),
–C(t) at C(0).
Рассмотреть следующие соотношения индекса потребления r и индекса технологического роста λ:
–r λ,
–r λ,
–r λ.
2.2. Модель динамики вектора валового внутреннего продукта
X (t) AX (t) B dXdt(t) C(t)
Найти: X (t) в указанных выше случаях по формуле,
X (t) (E A) 1Y (t).
56
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Наука, Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1991. – 280 с.
2.Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. – М.: Ин-т компьютер. исслед., 2002. – 384 с.
3.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплекс-
ного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. – 416 с.
4.Батищева С.Э., Каданэр Э.Д., Симонов П.М. Математические модели микроэкономики: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – Пермь: Перм. гос. ун-т, 2006. – 314 с. – Глава 8.
5.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – 13-ое изд., исправлен. – М.: Наука, Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1986. – 544 с. – 4.4.3.
6.Вся высшая математика: Теория рядов, обыкновенные дифференциальные уравнения, теория устойчивости / М.Л. Краснов, А.И. Кисе-
лев, Г.И. Макаренко, Е.В. Шикин, В.И. Заляпин. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – Т. 3. – 240 с.
7.Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. – М.: Наука, Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1981. – 448 с.
8.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Определения, теоремы, формулы. – 6-е изд., стер. –
СПб.: Изд.-во «Лань», 2003. – 832 с. – Глава 8.
9.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции ком-
плексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. – 256 с.
57
Учебное издание
Соколов Владимир Александрович
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Учебно-методическое пособие
Редактор и корректор М.Н. Афанасьева
Подписано в печать 10.08.2022. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 3,6. Тираж 18 экз. Заказ № 138/2022.
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, к. 113.
Тел. (342) 219-80-33.
58