книги / Основы научных исследований в технологии машиностроения

4.3.3. Методы решения сеточных уравнений

Разностные уравнения, полученные из неявной схемы, являются, как было показано, линейными алгебраическими уравнениями. На фиксированном временном слое для всех внутренних узловых точек эти уравнения образуют систему

или

где [H] − матрица коэффициентов; {T} − вектор-столбец неизвестных значений искомого параметра Т в узловых точках; {F} – известный вектор-столбец, характеризующий краевые условия и распределение параметра Т на предыдущем временном слое.

Матрица [H] обладает рядом специальных свойств, которые необходимо использовать при решении системы уравнений. Она имеет высокий порядок, зависящий от густоты сетки, которая может достигать для современных компьютеров нескольких десятков тысяч. Матрица является редко заполненной с размещением ненулевых элементов по диагонали в три ряда. Такие матрицы называются ленточными трехдиагональными. Важным свойством является симметрия матрицы относительно ее диагонали, вытекающая из равенства коэффициентов А и С. Указанные свойства матрицы [H] позволяют занимать незначительное место для ее хранения в запоминающем

103

устройстве компьютера, Поэтому матрицу [H] называют порождающейся в отличие от хранящейся матрицы.

Перейдем к рассмотрению эффективных способов решения сис-

темы (4.36).

Метод прогонки

Метод прогонки является модификацией метода исключения Гаусса, учитывающей свойства матрицы H. Решение системы (4.36) в узловой точке ищется в виде линейной функции. В частности, для (i−1)-й точки эта функция имеет вид

где i , zi − неизвестные пока вспомогательные коэффициенты. Под-

ставим (4.39) в (4.36):

Полученное соотношение имеет ту же форму, что и функция (4.39), только для i-й точки:

Полученные коэффициенты называются прогоночными коэффициентами, а формулы (4.42)–(4.43) дают процедуру решения.

Сначала при i = 2, 3, ..., N считаются прогоночные коэффициенты (4.43), при этом начальные значения прогоночных коэффициен-

104

тов 2 , z2 определяются из граничных условий на левой границе. Эта операция называется прямой прогонкой. После определения всех i , zi в обратном направлении (i=N, N−1, ..., 2) с учетом значе-

ния параметра TN+1 , найденного из граничного условия на правой границе, по формуле (4.42) последовательно находятся неизвестные значения Ti в узловых точках сетки.

Определение начальных значений прогоночных коэффициентов рассмотрим на примере граничных условий конвективного теплообмена (3-го вида). На левой границе (рис. 4.5)

Рис. 4.5. Фрагмент сетки у левой (а) и правой (б) границ

Условие может быть представлено в конечно-разностном виде:

105

Сравнивая эту формулу с соотношением (4.42) для левой границы

Приравнивая правые части (4.51), (4.52), получим искомое значение температуры на правой границе:

106

Такимобразом, алгоритмметода прогонкиимеет следующий вид:

В качестве теста для проверки программы рассмотрим пример стационарной теплопроводности плоской стенки при граничных условиях первого рода ( = ). Решение задачи методом сеток дает систему уравнений с граничными условиями:

При числе разбиений N=4, граничных условиях Tл=100, Tп=200 система имеет следующее решение: T2=125, T3=150, T4=175. Запишем эту систему в векторно-матричной форме:

алгоритм прогонки (4.54) реализуется для этой системы при A = C = 1, B = 2 следующим образом:

107

Основным недостатком метода прогонки являются ошибки округления при вычислении прогоночных коэффициентов. Эти ошибки возрастают с увеличением порядка системы. Для уменьшения этих ошибок рекомендуется считать эти коэффициенты с двойной точностью.

Метод последовательной линейной верхней релаксации

Наряду с прямыми методами для решения сеточных уравнений применяются итерационные методы, дающие решения в виде предела последовательности однообразных итераций. Основное их преимущество перед прямыми методами заключается в самокорректирующемся решении, дающем минимальные ошибки округления. Привлекает в них и простота вычислительного алгоритма.

108

Рассмотрим один из эффективных итерационных методов – метод последовательной линейной верхней релаксации, итерационная процедура которого применительно к разностному уравнению (4.36) имеет вид

где q – номер итерации; – параметр релаксации. При 1 получа-

ем процесс последовательных смещений, или процесс Зейделя. Введение параметра верхней релаксации 1 2 позволяет ускорить сходимость итерационного процесса (4.56), причем наибольшая скорость сходимости имеет место при оптимальном значении параметра релаксации опт . Последнее зависит от порядка системы и мо-

жет быть вычислено через число разбиений расчетной области:

Эта формула применима для одномерной области с регулярной сеткой. Расчет по формуле (4.56) с учетом (4.57) продолжается до тех пор, пока искомое решение не будет удовлетворять требуемой точности

В качестве теста для контроля итерационного процесса рассмотрим систему уравнений с граничными условиями:

109

При числе разбиений N=4, граничных условиях Tл= 200, Tп=100 и γ =1 результаты первых итераций представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Значения переменных при решении задачи итерационным методом

Относительная ошибка в точке i = 2: 1 T24 1 162,5 0,037 ,

T25 168,75

что составляет 3,7 %. Это далеко от требуемой точности, которую

выбирают в пределах 5 10 3 1 10 4 , поэтому итерационный процесс необходимо продолжить.

Вопросы для самоконтроля

1.Какие процессы называются равновесными?

2.Моделирование простейших систем первого порядка.

3.Моделирование динамических систем.

4.Дифференциальное уравнение неразрывности, его физический смысл.

5.Дифференциальное уравнение переноса энергии, его физический смысл.

6.Дифференциальное уравнение движения вязкого теплоносителя, его физический смысл.

110