книги / Надёжность технических систем
..pdfслучайной величины, или, короче, плотность распределения слу чайной величины)
■f-(x) = |
d F(z) |
|
dx > |
X |
|
Fix) = J |
{(x ) d(x) |
Величины, определяющие характер распределения случайной величины, называются параметрами законов распределения.
Математическое ожидание (среднее значение случайной ве личины)
|
Mix) = J |
xf(x)dx , |
~ |
Их- |
|
М(Х)=-п 1 - статистическое определение. |
||
|
Дисперсия |
|
|
аО |
MCx)l2/lx)dx , |
|
Dix) = f i X - |
DCz) = |
Ц ех г - М(х)У |
|
п - 1 |
||
|
||
Дисперсия среднего значения |
З ем (х )2 = - ^ (х)
П
-13 -
2.2.Невосстанавливаемые элементы и системы
Технические системы, их подсистемы и элементы систем мо гут работать в режиме, когда восстановление со стороны ремонтно го персонала возможно, и в режиме, когда это невозможно либо нецелесообразно. Поэтому для восстанавливаемых и для невосстанавливаемых элементов и систем применяются различные показате ли надежности и различные методы расчета надежности.
|
Показатели надежности невосстанавливаемых объектов |
|||||||||
I. Вероятность |
безотказной работы объекта |
Р(Ь) |
выражает |
|||||||
вероятность того, что невосстанавливаемый объект не откажет |
||||||||||
к моменту времени t . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
Fit) |
- функция наработки на отказ, то PC6) ~f~F(t). |
||||||||
PCi) |
обладает |
следующими свойствами: |
|
|
|
|||||
а) Р(0) —f |
(предполагается, что до начала работы из |
|||||||||
делие является безусловно работоспособным); |
|
|
||||||||
б) |
|
—0 |
(предполагается, |
что объект |
не мо |
|||||
жет сохранить свою работоспособность неограниченно долго); |
||||||||||
в) если |
^ |
, то PCtj) £ |
P |
C |
(вероятность безот |
|||||
казной работы - функция невозрастающая). |
|
|
|
|||||||
Статистически определить |
P(t) |
по результатам испытаний |
||||||||
можно с помощью следующей формулы: |
|
n et) |
|
|
||||||
|
|
PU) = |
n e t) |
= |
/ - |
|
|
|||
|
|
Af(0) |
n(0) |
' |
|
|||||
где Nit) |
- число |
исправных объектов |
в момент времени t ; |
пСО - число отказавших объектов к моменту времени t
2.Вероятность безотказной работы объекта в интервале вре
мени от if до tj>:
P U i)
) = p a t )
N ( t t )
P u 1 tt i) =
NLtf)
3. Вероятность отказа Gt(t) выражает вероятность того, чт невосстанавливаемый объект откажет к моменту времени t
а ш = F it ) = 1 - p e t ) ,
a w - ш г
4.Вероятность отказа в интервале времени от if до Ьг>
actf,t2)= 1 - pctf , tz) ,
|
х / / |
i s |
|
flltf) ~ П(i f ) |
|
N(Lj) |
|
|
W |
~ |
н и ,) |
= ( - № ,) |
|
|
5. |
Плотность распределения отказов jL(b) определяет ве |
||||
роятность возникновения отказа в момент времени Ь : |
||||||
|
f i t ) - |
dF(t) |
_ с/а (6) _ |
|
d |
|
|
= ~di------ di----- Т Г РШ |
|||||
Статистическая оценка £ (i) производится |
за интервал времени |
|||||
i t |
, так как функция |
JUD является дифференциальной, |
||||
|
? |
_ n(l+&t)-n(t) |
N tt)-N iti-дЬ) |
|||
|
Ч1*&£) |
|
МО)At |
|
МО)и |
|
%(£) |
можно рассматривать как среднее число отказов в единицу |
|||||
времени непосредственно после момента |
t |
, приходящееся на |
||||
один элемент из всех объектов, поставленных на испытания. |
||||||
В связи с этим / (I) |
на практике обычно называют частотой отка |
|||||
зов. |
|
|
|
|
|
|
6.Интенсивность отказов ЛШ определяет вероятность воз
никновения отказа в момент времени t |
с учетом числа объек |
тов, работоспособных к моменту времени |
t : |
|
I W |
J( l> ~ I - F U ) |
ПО ) |
**Lu-/ можно рассматривать как среднее число отказов в еди ницу времени непосредственно после момента t , приходящееся на один элемент, из всех объектов, продолжающих работать к этому
моменту t |
Отсюда видно, что |
Л(О |
характеризует надеж |
|||
ность объекта в момент I |
более полно, чем |
f( t ) |
, этим и |
|||
объясняется более широкое применение на практике этого показа |
||||||
теля. |
Среднее время наработки на отказ Т |
|
||||
7. |
определяется как |
|||||
математическое ожидание времени до отказа: |
|
|
||||
|
Т = f b H U d t |
= |
?PCt)dt , |
|
|
|
|
о |
|
о |
|
|
|
|
1 |
|
т ) |
и |
|
|
|
т - Ж о Г |
|
£ |
|
|
|
8. |
Дисперсия наработки до |
отказа |
Dt |
Средняя наработ |
ка до отказа является точечной оценкой и не говорит ничего о характере распределения времени до отказа. Две совершенно раз
личные функции |
Pf(l) и |
Р^Ш |
(рис. |
2.1) |
могут характери |
|||
зоваться одинаковыми значениями средней наработки на отказ |
||||||||
Tj |
= |
Т2 |
Чтобы различать такие случаи наряду с показате |
|||||
лем |
Т |
, используется показатель |
Dt - дисперсия наработки |
|||||
до отказа или его корень квадратный |
- среднеквадратическое |
|||||||
отклонение наработки до отказа |
|
|
|
|||||
Dt=6*=f(t-T)£ Ct)dt |
|
|
|
|
||||
Дисперсия характеризует величину |
|
|
|
|||||
разброса наработки относительно |
|
|
t |
|||||
среднего |
значения |
|
|
* |
|
|||
TTI |
t |
NCO) |
TV |
|
|
Рис. |
2.1 |
|
|
|
|
|
|||||
Dt |
Ш ) S ? ( n |
|
|
|
|
|||
где |
ТС |
- время до |
отказа |
I -го |
объекта. |
|
||
|
ПРИМЕР 2.1. Пусть на испытания было поставлено 35 объектов. |
|||||||
Количество отказавших объектов подсчитывали каждые 2 часа. В |
||||||||
результате получился |
следующий ряд значений: |
|
и |
|
|
2 |
|
4 |
|
6 |
8 |
|
10 |
|
12 |
|
14 |
16 |
|
|
18 |
|
20 |
nCU) |
|
0 |
|
3 |
|
3 |
5 |
|
8 |
|
7 |
|
6 |
|
2 |
|
I |
|
О |
|
Определим |
F СИ) |
- интегральную функцию распределения |
|
|||||||||||||||||
наработки до отказа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U |
|
|
2 |
|
4 |
|
6 |
8 |
|
10 |
|
12 |
|
14 |
16 |
|
|
18 |
20 |
|
F CU) |
|
0 |
3/35 |
6/35 |
11/35 19/35 |
26/3532/35 34/35 |
35/35 О |
|||||||||||||
Вероятность отказа |
ЦСЮ = FCU) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
tl |
|
2 |
4 |
|
|
6 |
|
8 |
|
10 |
12 |
14 |
16 |
|
18 |
20 |
|
|||
QCU) |
|
0 |
0,086 |
0,172 |
0,314 |
0,534 |
0,743 |
0,914 0,971 |
1,00 |
1,00 |
||||||||||
Вероятность |
безотказной работы |
PCtL)= I - F ( t l) |
|
: |
|
|
|
|||||||||||||
U |
2 |
|
А |
|
6 |
8 |
|
10 |
|
12 |
|
14 |
16 |
|
18 |
20 |
|
|||
PCU) |
I 0,914 0,828 0,686 0,466 0,257 |
0,086 |
0,029 |
|
О |
|
О |
|
||||||||||||
Вероятность безотказной работы на интервале от 4 до 12 ча |
||||||||||||||||||||
сов |
|
|
|
|
|
|
|
|
РШ) |
|
0,257 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Р а |
w = |
<-£(!» |
|
|
0,15. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
РСЧ) |
|
0,91к |
= |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вероятность отказа на интервале от 4 до 12 часов |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
QC4,12) |
= |
/- Р(4,11) |
= |
1 |
- |
0,15 = 0,72 |
|
|
|
|
|
||||||||
тт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7//.I |
|
|
|
|
|
|
|
||
Плотность распределения отказов |
rCU)=—^-,^ A,--- |
|
|
|
||||||||||||||||
U |
2 |
|
4 |
6 |
8 |
|
|
10 |
12 |
|
14 |
16 |
|
|
18 |
20 |
|
|||
JCU) |
о |
_ 3 _ |
_ 3 _ _5______ 8_ |
__ 7_____6_____ 2_ |
_ 1 _ |
о |
|
|||||||||||||
|
|
35-2 |
35-2 35*2 |
35-2 |
35-2 |
35-2 ,,35*2 |
35*2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j . . . , |
An(l+At) |
|
|
л |
|
|
|
|||||
Интенсивность отказов |
NCO* Nit*At) |
|
. . |
|
|
|||||||||||||||
л Си) =1 ------j--------•д cj • |
|
|
||||||||||||||||||
U |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
8 |
|
|
|
10 |
|
|
ЛСШ
(35+32)2 |
(32+29)2 |
(29+24)2 |
(24+16)2 |
_U___ |
12 |
14 |
|
16 |
18 |
20 |
Л(Ш |
7 |
6 |
|
2 |
I |
0 |
|
(16+19)2 |
(-9+3 |
)2 |
( _ M ) 2 |
( - Ш ) 2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
^Среднее время наработки на отказ Т :
Т = (2.3 + 4-3 + 6-5 + 8-8 + 10.7 + 12-6 + 14-2 + 16-1)/35 * 8,52.
Дисперсия |
|
Ъ = (б.бг^З + 4,522 -3 + |
+ 0,5в?*8 + 1,482-7 + З ^ - б + |
+ 5,482-2 + 7,482)/35 * 12,193. |
|
et |
= V 12,193 = 3,49. |
2.3. Законы распределения случайных величин, используемые в теории надежности
Использовать надежностные характеристики объекта, заданные в виде таблицы, весьма неудобно. Поэтому по результатам экспе римента подбирают аналитическую формулу, которая наиболее удач но подходит в данном случае, и определяют коэффициенты этой формулы. Наиболее типичные формулы называются законами распре деления случайных величин. Рассмотрим наиболее распространенные законы.
Показательное (экспоненциальное) распределение
Показательное распределение характерно тем, что интенсивность
отказов постоянна, Л я const |
. Отсюда |
|
Р Ш |
- |
г л ь , |
act) |
- |
1 - е Г м , |
1СО = Л е‘ Л1
Примерный вид соответствующих кривых следующий:
PNRPU
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Показательное распределение применяется на практике очень |
||||||||||||||
широко. Некоторые данные об интенсивности отказов компонентов |
|||||||||||||||
вычислительных систем приведены в приложении I. |
|
|
|
||||||||||||
|
ПРИМЕР 2.2. Пусть по результатам испытаний получена следую |
||||||||||||||
щая таблица: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U |
|
0 |
2 |
|
4 |
6 |
|
8 |
10 |
|
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
А/(U) |
1000 |
905 |
818 |
741 |
670 |
606 |
549 |
497 |
449 |
407 |
368 |
||||
|
Проведя расчеты |
Лi |
, видим, |
что Л^ s* |
0,05 и не |
зависит |
|||||||||
от |
t i |
Следовательно, |
можно |
сделать вывод, что |
закон распре |
||||||||||
деления надежности данного объекта является экспоненциальным, |
|||||||||||||||
при |
этом |
Л = 0,05. |
Тогда |
Т =-у- = 20. Найдем |
P(t) |
и |
Q(£) |
||||||||
за 30 часов: |
|
|
|
|
|
** |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Р(ЗО) |
= е -°*05,30= 0,223, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
QC30) |
= I - |
|
р (30) |
= |
0,777, |
|
|
|
|
|
|
|||
и за 100 часов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Р(Ю0) |
= е ~5 = 0,067, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
QU00) = I - |
|
Р (100) = |
0,9933. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Усеченное нормальное распределение |
|
|
||||||||||
|
При нормальном (гауссовом) распределении случайной величи |
||||||||||||||
ны ось абсцисс имеет протяженность от - |
о. |
до +о. . Поскольку |
|||||||||||||
время I |
не может быть отрицательной величиной, в теории на |
||||||||||||||
дежности используется усеченное нормальное распределение. |
|
||||||||||||||
|
Усеченным нормальным распределением случайной величины на |
зывается распределение, получаемое из нормального при |
ограниче |
|
нии интервала возможных значений этой величины. |
|
|
Основными параметрами для нормального распределения являет |
||
ся 7* - среднее значение наработки на отказ и |
- |
среднеквад |
ратическое отклонение |
|
|
р ш ч - ф ( ^ ) ,
где Ф(и) - нормированная функция нормального распределения. Значения Ф(и) приведены в приложении 2. При этом Ф(-и) =
=I - Ф ( и )
Значения 9(и) |
приведены в приложении 2. При |
этом в(-и) = 6 (и) , |
|||||
|
|
я / П - |
_ |
|
ВС") |
|
|
|
|
|
P(t) |
f |
- Ф(и) |
|
|
Примерный вид соответствующих кривых представлен на рис. 2.3. |
|||||||
Нормальное распределение может исполь |
|
||||||
зоваться при исследовании надежности |
|
|
|||||
объектов, отказы которых обусловлены |
|
|
|||||
действием какого-то одного доминирую |
|
|
|||||
щего фактора. |
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.3. Пусть параметры нор |
|
|
|||||
мального распределения Т = 100 ч, |
|
|
|
||||
<з\ = 1000 г 1 |
. Найти |
Р (70), |
Q (70), |
|
|||
Л (70), P(I30), Q (130), л (130). |
|
= Ф (0,95) =0,829, |
|||||
Р (70) = I - |
Ф (?°-IQ0) = |
I - Ф ( |
- 0,95) |
||||
|
|
31,6 |
|
|
|
|
|
й (70) = I - |
|
Р (70) |
= 0,171, |
|
|
|
|
Л (70) = |
|
(70) |
= о.зоб, |
|
|
||
Р |
0,829 |
|
|
|
|
||
P (I30) = I |
- |
Ф (130- 100) |
_ х _ |
ф (0,95) |
= 0,171, |
||
|
|
|
31,6 |
|
|
|
|
а(1зо) = I - Р( 130) » 0,829,
л(130) = gjP.951 . 0,254 . I 485.
Р(130) 0,171
Распределение Вейбулла
Основными параметрами распределения Вейбулла являются Лд - масштаб кривой по оой абсцисс и <4 - острота и асимметрия рас
пределения. Обычно берут I < |
«С |
< |
2. |
Pit) = |
e ~ CJl° i)tL, |
||
FU) = a it) = |
1 |
- e~U o i) * , |
f(t) = аСЛ0ъ* ’ 1e~(Jt° t)eL
При oL= I распределение Вейбулла переходит в экспоненциаль ное. Примерный вид соответствующих кривых дан на рис. 2.4.
t
|
|
|
|
|
Рис. 2.4 |
|
|
С законом |
Вейбулла хорошо согласуется время безотказной работы |
||||||
качественных полупроводниковых приборов. |
|
||||||
ПРИМЕР |
2.4. Пусть |
Лд = 0,05, еб |
= |
1,5. Определить Р (10), |
|||
а (10), |
л |
(10)," р (100), |
а (100). |
|
Л (100). |
||
|
|
Рио) |
= |
e - W O ’’’* - |
0.701, |
||
|
|
QUO) |
= |
f - |
0,702 = |
0,298, |
Я СЮ) = 1,5 0,05 •Ю°'* = 0,237.
РОоо) = e~co,os' m ) ’ = 0,0000139,
QC/OO) = 0,9999361,
Я(ЮО) = 1,5- 0,05-100°,S= 0,75.
Гамма-распределение
Гамма-распределение имеет те хе параметры, что и распре деление Вейбулла, d, и Л0. Форма кривых Р(t) , f( l) и * 2 ^ также аналогична форме кривых при распределении Вейбулла.
ftt) = |
я ^ ь * ' 1 |
е -л ь |
|
Г(сС) |
|
Г (GL)— гамма-функция, для которой имеются соответствующие таблицы. Однако гамма-распределение чаще всего описывает распре деление времени безотказной работы резервированных изделий,
при этом параметр oi равен суммарному количеству объектов, поэтому чаще всего оС - целое число. При целом оС
ГСоО |
= ’ (ы |
- |
О ! |
|
Тогда |
|
|
|
|
PCD = еГх° ь 5 ^ |
— |
f |
||
|
£=0 |
t.' |
|
|
лсо~- |
4 i |
d ' 1 |
|
|
№ |
о , |
i ) L |
|
|
и - Oiiz |
|
|
|
|
|
L90 |
|
|
|