книги / Некоторые обобщения теории расчета колебаний с учетом демпфирования
..pdfРассматривая вынужденные колебания, мы должны положить
|
; |
d t * ° |
ИЛИ |
f c sUj |
|
|
||
Тогда из .уравнения .( 17 |
) |
найдем |
выражение для |
синуса сдвига |
||||
а из. уравнения |
( |
18 ) |
- |
для |
частоты: |
|
|
|
sa |
~ / |
- |
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
2а р 1 |
|
|
|
|
иди |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если учесть, |
что |
амплитуда колебаний груза |
<2= |
, то |
||||
последние формулы могут быть переписаны т а к : |
|
|
||||||
$intp= - |
Р га& |
|
|
(го) |
||||
Р |
|
2ар* |
т ? - и |
|
|
(2 !) |
||
|
|
г |
в |
|
|
|||
Пользуясь уравнениями (20 ) и (21 ) , можно построить амплитудно-
частотную резонансную кривую CL-j |
(j?) |
||
Свободные |
колебания. |
|
|
В случае |
свободных колебаний уравнение колебаний получим из ( 5 ), |
||
положив в-нем нулю член |
gya o sw t |
, т .е . |
|
с£гх |
р гХ = |
-р*£ <P(ZJ |
(22) |
т V- |
Ы£
Далее сохранив общую канву решения уравнения ( 22 *), аналогичную рассмотренной выше процедуре решения уравнения ( 5 ), окончательно получим
Ш * £ f e V < x j s o , z * z |
t2 5 ) |
|
р |
* d a f € P W M s r d r |
( 2 b ) |
d t ' р |
|
|
Учитывая |
( 13 |
) и ( |
Ц ), уравнения ( |
23 |
) |
и ( |
2 4 |
) запи |
шутся в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7$ ' |
~гп%е** |
|
|
|
|
(es) |
|
|
|
|
|
|
|
|
I » ) |
Учитывая, что |
a * / f a , уравнения ( 2 5 |
) |
и ( |
2 6 |
) |
могут быть |
||
перписаны в виде |
|
|
|
|
|
|
||
$ - ~ Ф |
ю |
& * p . Z p £ |
(г в) |
Интегрируя дифференциальное уравнение ( 2 7 |
), найдем |
или
(29)
Пользуясь формулой (29) и зная декремент колебаний,
можно построить |
огибающую кривую виброграммы свободных колеба |
||
ний. |
|
|
|
В том случае, когда в колебательной системе с одной степенью |
|||
свободы подвеской будет служить |
вместо упругого стержня витая |
||
' пружина, тогда основная |
канва расчета сохранится, а окончатель |
||
ные уравнения (3 |
) , ( 13) |
- (19) |
и др.. могут быть записаны,исхо |
дя из следующих известных зависимостей. |
|||
Вертикальное перемешение JC |
должно быть заменено на растя |
||
жение (сжатие) пружины Л : |
|
|
|
|
X - 2 л л # 3Р |
_ 2 л п Р гТ _ |
2 n n f? 2ifa. , |
(jg j |
||
|
&7p |
|
&Z |
~ |
г |
|
где |
P - радиус |
витка пружины, |
|
Z -радиус проволоки,из которой |
||
свита пружина; |
п |
-число витков; ^ - амплитуда максимальной |
||||
деформации сдвига |
в сечении витка пружины ; |
G- модуль упруго |
||||
сти |
сдвига; 7р |
-полярный момент инерции сечения витка пружи |
||||
ны. Тогда уравнение ( 3 ) применительно к рассматриваемому слу чаю примет вид
§ 3*г +с У * 6 |
= °°s |
» |
<31^ |
||||
где |
- |
&7/з |
|
|
|
|
|
|
|
2 лп Я $ |
|
|
|
|
|
Или, поделив уравнение ( |
31 |
) на ^ |
» получим |
|
|
||
|
+ Р*(у\ * £ Ф Ш ) = £$,COScot t |
|
(32) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
р г - |
J k lp p |
■ |
еп - |
|
|
|
|
|
2 л п к у . |
' |
* |
а |
|
|
|
Учитывая (30), |
Ф(Л) |
может быть |
выражено формулой |
|
|||
а Ф М |
= |
± $ £ |
|
|
|
|
|
|
= ± |
|
{ * ? 2COSZ-COS'T) , |
|
(35) |
||
где / а - максимальная деформация сдвига на краю сечения витка проволоки пружины.
В отличие от циклического Деформирования растяжение-сжа тие материала стержневой подвески, где напряжение по всему се чению было одинаковое и поэтому при сокрашенкой площади при рассмотрении энергетического баланса мы фактически рассматрива ли как бы стержень единичного поперечного сечения и потому получали соотношения (13), (14).
В нашем случае, при неравномерном распределении деформации сдвига в витке, усредненную деформацию сдвига /е в сечении,вы
раженную через деформацию сдвига на краю сечения |
витка уаУ мож |
||||||
но найти из соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
л - |
|
/ |
W |
= |
W |
- |
и |
Следовательно, в соответствии |
с |
(33) |
и (34) |
в случае пружинной |
|||
подвески |
|
|
|
|
|
|
|
jS ( X ) i £ n x d z = - |
|
|
s " |
|
|
|
|
/ £ ЪГА)сктс(г = |
|
|
|
|
|
• |
|
Учитывая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
у . М |
' |
|
|
|
|
|
|
2 яп # г |
|
|
|
|
|
|
последние |
выражения могут быть записаны |
в |
виде |
|
|||
j>£9>(A)sOizdz = - |
; |
|
|
У £^(A)ooszdz= |
• |
|
|
Тогда,заменяя в формулах (27) и (28) |
а на / |
, последние |
|
могут быть записаны в виде |
|
|
|
& = -P & J , ; |
|
(3 S ) |
|
a t |
г л |
|
|
|
|
|
(36) |
т .е . мы пришли к формулам типа (27) и (28), решение которых было приведено выше. Аналогичным путем могут быть получены формулы типа (20) и (21) для расчета вынужденных колебании:
ж = - £ & |
|
-13- |
|
|
/ |
- ib -soSim p |
|||
d t |
г л |
|
гр |
|
|
|
|
~ ^ |
COSV ' |
Полагая при установившихся вынужденных колебаниях |
||||
d v Л |
|
|
|
|
g g -О, находим. |
|
|
|
|
|
SCn <р |
|
|
|
f |
$ |
f |
e |
cosf- |
Учитывая, |
что |
CtfSр - ± [/7 - s£n*tp 3 получим оконча |
||
тельную формулу для расчета амплитудно-частотной резонансной кри вой:
f = / “ / < £ t jTEr /(£?;*-Агр*£г
2 /р
которую построим для следующего примера:
Пружина радиусом /?=30мм навита из проволоки круглого сечения
диаметром аС=8 т , число |
витков п =6, подвешенный груз Q =20Н |
|
представляет собой диск с |
эффективным диаметром |
=1.24 10“^м. |
Расчетная собственная частота колебаний груза Р=124 /с . Принимаем, декремент колебаний, учитывающий сопротивление среды, пропорцио нальное частоте:
Коэффициент пропорциональности |
ьС |
находим по графику lT-p , |
||||
перестроенному из |
графика сГ -р |
/ 3 f |
, где р |
-безраз |
||
мерная |
величина |
^ |
|
|
|
|
|
|
Р ~ ТГ~ |
|
|
|
|
Зпесь |
Р - характерный линейный размер, |
в нашем случае |
||||
V - |
скорость звука в среде, |
в нашем случае-в воде. |
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
/Р - t946 tO~*p
Диаметру проволоки d аймм соответствует значение допускаемого напряжения /Т J =450 НЛо- , что соответствует X =4.77 10“ м. Из условия равенства нулю подкоренного выражения в расчетной формуле найдем
Цт*/е*
Подставляя все известные значения в исходную формулу, построим амплитудно-частотную кривую продольных колебаний диска (рис.£ ).
Рис.2. Амплитудно-частотная резонансная кривая пролольных колебаний груза на пружине.
Колебания механических систем с одной степенью свободы в условиях неоднородного напряженного состояния "пружины"*
В случае колебания системы с одной степенью свободы, пред-
ставляюшей собой консольную балку с грузом на конце, где "пружи ной" является стержень, материал которого будет подвергаться весьма неравномерным циклическим деформациям как по длине балки, так и по ее поперечному сечению, дифференциальное уравнение вынужденных колебаний такой системы запишется в виде
|
|
* С [ w + £ P fW jJ - s fr c o s c v t, |
(3 7 ) |
|
где |
W - |
вертикальное перемещение груза |
; |
|
|
р.?£1 - |
иэгкбная жесткость консольной |
балки; |
|
£- длина балки;
/7 - жесткость поперечного сечения балки. Уравнение ( 37 ) может быть переписано в виде
+р ' [ М '+ б 9(Ш )] = COS c o t , ( 38)
где рЕ - квадрат круговой частоты собственных колебаний груза ; £$>*)- вертикальное перемещение конца балки (в месте распо
ложения груза) за счет факторов сопротивления,проявляемых через логарифмический декремент:
= ±[J-dxfM <dx]x e \ |
(Зв) |
Ms - иэгибанлдГ момент,обусловленный "силами сопротивления" при водящими к демпфирования колебаний груза () J0 ~ координата , направленная по оси балки.
Исходя из зависимости
(3 = |
{ (* 2C0ST-C0S3z)J } С40) |
имея при этом в виду, что в случае изгиба консольной, служащей в нашем случае пружиной колебательной системы, уравнение упругой
линии балки может быть представлено в |
виде |
|
|
||
f ( x ) * а (~ j^Ts *^ J c o s z * a tfr x jc a s z |
, |
М П |
|||
где а - максимальный прогиб |
на конце |
консоли |
при |
действии там |
|
СИЛЫ Р |
|
|
|
|
|
а = 2 |
£ * |
'* |
|
|
|
3 |
£ J |
|
|
|
|
tffx)- # 3+2ег
Исходя из известной зависимости
;
? » ? = |
d % tx )y |
f |
a x ’ y > |
уравнение ( 40 ) может быть переписано в виде
* = с[ Ц ч '± h i(^ v )a ( i * te x t - c o s
|
a M y * M s » |
c |
(*г) |
|
где |
M y -"упругий" изгибающий момент |
|||
|
||||
иM i - изгибающий "момент трения"
Ms = £ j [ ±g-&( *^т}а |
2cosveas*z)J , (*s) |
где в соответствии с ( ^7 )
Тогда, очевидно, выражение для |
£ 9 (W) на основании ( 39 j |
может быть записано так : |
|
&i>(w) - *§$& [(**/(-Р+(‘)**]х ‘е
* ( j*2cosz- т гг) . |
/44) |
Пользуясь изложенным выше математическим |
формализмом,в основу |
которого положено нахождение решения уравнения ( 38 ) методами разложения по степеням малого параметра и опуская промежуточные операции, решение задачи применительно к нашему случаю продол жим, начиная с рассмотрения уравнения, подученного в результате приравнивания членов разложения решения уравнения ( 37 ) с целью
получения выражения для перемещения |
W %содержащих малый пара |
||
метр |
первой степени, т .е . |
речь идет об уравнении |
|
|
ZpAiSinz -2paB ,cosz t р г |
) - |
|
|
=Уcosв -рг9гну |
|
(45) |
С целью определения Aj и Bj рассмотрим уравнения гармони |
|||
ческого |
баланса. С этой целью умножим последнее уравнение первый |
||
раз на |
i( ( X ) tin z d x d т |
, |
а второй раз - на |
tp(X)C0Stdxdz и интегралы от полученных выражений по всей длине за один цикл колебаний приравниваем нулю.
Заметим, что в принципе необходимо провести интегрирование по объему, но коль скоро балка постоянного сечей"и.п,то площадь войдет во всех членах уравнения множителем, который сократится. Итак,следуе^записать интегралы указанных выражений
/ f2pAiSin т-tyaB/COST+р7( |
+u,j - |
|
|
° |
«SC* |
|
|
|
-yeas#+p*<P(U')Jp(xjst»zdxdz -О \ |
(И ) |
|
fJ [-2 p A ,sin z - fyaB'CGSZ |
t U,J- |
|
|||
- |
+p* fyb vjJp fcyca sT t/std z , |
(*Т) |
|||
Учитывая отсутствие, главной |
гармоники |
в функции и , , |
вследствие |
||
чего |
|
|
|
|
|
|
f ( |
* u,Js<s>Tdz*0 |
|
||
|
f ( |
+ |
C 0 szd i:* d |
(Щ |
|
|
|
||||
а также учитывая» что
e e
из уравнений |
( 46 |
) и (47 ) находим |
|
|
|
|
p 4 j |
* |
/S |
<p |
/iio\ |
1 |
r(iV)</>(X)SMtC(xdz - 24 |
||||
A = |
J |
e |
|
~ |
> |
|
|
|
|
|
|
Q |
P*$f |
${Wj<p{X)COSTabcdT -$ € x $ c a sp |
(SO) |
||
|
|
ZaP * g - € |
|
|
|
|
|
|
|
‘ |
|
Или‘■учитывая, что
€
6 V(w/4>fX)s&iTc(xdr -
(1 * 2 * S T -w * t)s H T d r ] *
" ~ 2 * 4 * |
( # ) |
|