книги / Методы вычислительной математики

Возможен иной вариант записи разностного аналога второй производной

(см. рис. 10.1, б):

θ′′ ≈ (θi++1 − 2θi+1 + θi+−1 ) h2.

xx j 1 j j 1

Теперь разностный аналог дифференциального уравнения имеет вид

Полученную запись можно рассматривать как линейное алгебраическое уравнение относительно трех неизвестных узловых значений искомой функции

θij+−11 , θij+1 и θij++11 , записанное для каждого внутреннего узла (i + 1)-го временного

слоя. Общее число таких уравнений равно n – 1. Добавление двух граничных условий (10.17) замыкает систему n + 1 линейного алгебраического уравнения относительно n + 1 узлового значения искомой функции1.

10.4.1. Аппроксимация уравнения разностной схемой

Краевая задача в общем случае записывется в форме

Здесь в качестве аргумента x выступает вектор x = t, x1, x2 ,…, xn . Область

G + ∂G покрывается сеткой Ω, состоящей из множества граничных ∂Ω и множества внутренних Ω − ∂Ω узлов. Задача (10.19) заменяется разностным аналогом

Близость разностной схемы к задаче (10.19) определяется величинами погрешностей аппроксимации

ψh = Ahu − fh , x Ω − ∂Ω,

1 В отличие от схемы (10.16) разностный аналог (10.18), приводящий к необходимости решения системы алгебраических уравнений, носит название неявного.

231

νh = Rhu − ϕh , x ∂Ω,

получаемых после подстановок точного решения в разностные аналоги дифференциального оператора и краевых условий. Очевидно, что чем меньше величина погрешностей аппроксимации, тем точнее разностная схема аппроксимирует исходную задачу. Разностная схема (10.20) аппроксимирует задачу (10.19), если

Погрешность аппроксимации имеет порядок p, если

ψh = O(h p ), νh = O(h p ).

Пример 10.1. Оценить порядок погрешности аппроксимации уравнения (10.2) разностной схемой (10.16).

Для оценки порядка погрешности аппроксимации

ψij = [θ(ti+1, x j )− θ(ti , x j )]τ − η[θ(ti , x j+1 )− 2θ(ti , x j )+ θ(ti , x j−1 )]h2

уравнения (10.2) разностной схемой (10.16) разложения функции θ(t, x) в ряды Тейлора возле точки (ti , x j )

θ(ti+1, xj ) = θ(ti , xj )+ θ′t (ti , xj )τ + θ′tt′(ti , xj )τ2 2 + O(τ3 ),

θ(ti , x j+1 )= θ(ti , x j )+ θ′x (ti , x j )h + θ′xx′ (ti , x j )h2 2 + θ′xxx′′ (ti , x j )h3 6 +

+ θxxxxiv (ti , x j )h4 24 + θvxxxxx (ti , x j )h5 120 + O(h6 ),

θ(ti , x j−1 )= θ(ti , x j )− θ′x (ti , x j )h + θ′xx′ (ti , x j )h2 2 − θ′xxx′′ (ti , x j )h3 6 +

+ θivxxxx (ti , x j )h4 24 − θvxxxxx (ti , x j )h5 120 + O(h6 )

подставляются в формулу разностного аналога:

ψij = [θ′t (ti , x j )τ + θ′tt′(ti , x j )τ2 2]τ + O(τ2 )−

−η[θ′′xx (ti , x j )h2 + θivxxxx (ti , x j )h4 12]h2 + O(h4 )=

Выражение в первых скобках соответствует дифференциальному уравнению (10.2) и обращается в нуль. Оставшиеся слагаемые

ψij = [θ′′tt (ti , x j )τ2 − ηθivxxxx (ti , x j )h2 12]+ O(τ2 ,h4 )= O(τ,h2 )

232

определяют величину погрешности аппроксимации, имеющую для рассматриваемой разностной схемы первый порядок относительно шага по времени и второй относительно шага по координате. Очевидно, что это утверждение имеет место при малых шагах интегрирования τ и h, а также ограниченных значениях второй производной θ′tt′(ti , x j ) по времени и четвертой производной

θivxxxx (ti , x j ) по координате. Дополнительно преобразование

θ′′tt = (θ′t )′t = (ηθ′′xx )′t = η(θ′t )″xx = η(ηθ′′xx )″xx = η2θivxxxx

позволяет уточнить оценку погрешности

ψij = (ητ − h2 6)ηθivxxxx (ti , x j )2 + O(τ2 ,h4 ).

Если установить между шагами интегрирования соотношение τ = h2 6η, в последнем выражении сохранятся лишь слагаемые

ψij = O(τ2 ,h4 ),

имеющие второй порядок малости по τ и четвертый – по h.

При использовании начальных условий (10.3) и граничных условий (10.4) погрешность аппроксимации отсутствует, поскольку узловые значения искомой функции в начальный момент и в граничных точках задаются точно. При использовании граничного условия второго рода (10.5) производная по координате также заменяется разностным аналогом, например,

λ(θin − θin−1 )h = −q(ti ) .

Для оценки погрешности аппроксимации граничного условия используется разложение функции θ(t, x) в ряд Тейлора вблизи точки xn :

θ(ti , xn−1 ) = θ(ti , xn )− θ′x (ti , xn )h + O(h2 ).

Поскольку согласно условию (10.5) имеет место соотношение

λθ′x (ti , xn ) = −q(ti ) ,

погрешность аппроксимации граничного условия разностным аналогом

νin = λ[θ(ti , xn )− θ(ti , xn−1 )]h + q(ti ) = [λθ′x (ti , xn )+ q(ti )]+ O(h) = O(h)

имеет первый порядок (ниже порядка аппроксимации самого дифференциального уравнения). В результате погрешность аппроксимации задачи (10.2) с граничным условием (10.5) приведенными разностными аналогами будет иметь первый порядок. Для повышения порядка аппроксимации следует воспользоваться разложением решения в ряд Тейлора,

233

θ(ti , xn−1 ) = θ(ti , xn )− θ′x (ti , xn )h + θ′xx′ (ti , xn )h2 2 + O(h3 ).

Подстановка в этот ряд формул (10.2) и (10.5) приводит к соотношению

θ(ti , xn−1 ) = θ(ti , xn )+ q(ti )hλ + θ′t (ti , xn )h2 2η + O(h3 ),

из которого следует явный разностный аналог граничного условия (10.5):

θin−1 = θin + qi hλ + h2 (θin+1 − θin )2ητ,

имеющий второй порядок погрешности аппроксимации. Неявная схема для граничного условия (10.5) имеет вид

λ(θi+1 − θi+−1 ) h = −qi+1h − λh(θi+1 − θi ) 2τη.

n n 1 n n

10.4.2. Устойчивость разностной схемы

Понятие устойчивости предполагает получение оценки развития возмущения, внесенного на каком-либо этапе расчетов, с увеличением числа шагов интегрирования1.

Разностная схема (10.20) устойчива, если ε > 0 δ(ε), не зависящее от шага h, что при f1 − f2 < δ(ε) и ϕ1 − ϕ2 < δ(ε) имеет место u1 −u2 < ε.

При численном интегрировании многомерных дифференциальных уравнений шаги по разным переменным могут быть различными. В этом случае устойчивость называется безусловной, если приведенное определение устойчивости имеет место для любых малых шагов. Устойчивость считается условной, если шаги по разным координатам должны удовлетворять дополнительным соотношениям.

Непрерывная зависимость решения дифференциального уравнения от функции f называется устойчивостью по правой части. Непрерывная зависимость решения дифференциального уравнения от ϕ называется устойчивостью по краевым условиям. Устойчивость по краевому условию t = t0 называется ус-

тойчивостью по начальным данным.

1 Согласно [33] «... схема численно неустойчива, если приводит к возникновению хаотических решений, не имеющих отношения к решению дифференциального уравнения. Такое поведение подчеркивает различие между точными конечно-разностными аналогами для производных и точным аналогом дифференциального уравнения».

234

В дальнейшем рассматриваются, как правило, двухслойные по времени разностные схемы, поскольку дифференциальные уравнения n-го порядка могут быть заменены системой n уравнений первого порядка, каждое из которых требует для аппроксимации только два временных слоя (два близких момента времени). В дальнейшем для упрощения записей разностных выражений используются следующие обозначения:

– символ (острие стрелки вверх) соответствует значению функции на следующем временном слое, u j ≡ uij+1 – численное значение функции

вкоординатном узле xj, временном слое ti + 1;

–символ (острие стрелки вниз) соответствует значению функции на пре-

щем временном слое, то есть u j ≡ uij .

Двухслойная разностная схема называется равномерно устойчивой по начальным данным, если она равномерно устойчива по аргументу t,

u1 (t)− u2 (t) ≤ K u1 (t0 )− u2 (t0 ) t (0,T ].

Здесь обозначено: K > 0 – постоянная, не зависящая от величин t и h, u1 (t, x) и u2 (t, x) – решения задачи (10.20) с разными начальными условиями и

одной и той же правой частью.

Теорема 10.1 (признак равномерной устойчивости).

Если Ahu1 = Ahu2 , то для равномерной устойчивости по начальным данным достаточно, чтобы при всех значениях i выполнялось соотношение

Доказательство. В силу допущения теоремы Ahu1 = Ahu2 возмущение правой части уравнения (10.20) отсутствует. Формула теоремы означает, что при

раз. Учитывая, что имеет место неравенство 1 + Cτ ≤ eCτ , можно оценить величину погрешности за произвольное число m = (t − t0 )τ шагов по времени,

δu ≤ eCτ … eCτ δu0 = eCmτ δu0 = eC(t−t0 ) δu0 ≤ eC(T −t0 ) δu0 .

m

235

Тогда t (t0 ,T ], при использовании обозначения K = eC (T −t0 ) имеет место δu ≤ K δu0 , то есть выполняется определение равномерной устойчивости. Что

и требовалось доказать.

Теорема 10.2 (признак устойчивости по правой части).

Двухслойная разностная схема устойчива по правой части, если она устой-

Доказательство. Пусть u~ – решение разностного уравнения (10.20) с возмущенной правой частью,

~ = ~

Ahu f .

Поскольку возмущения начальных данных нет, u(0, x)= u~(0, x).

Для доказательства строится последовательность вспомогательных функций vk , k = 0,m следующим образом (рис. 10.2): пусть функция v0(t, x) совпадает с невозмущенным решением u(t, x) задачи (10.20).

v0 ≡ u

v

v1 v2

v3

Рис. 10.2. Схема построения последовательности функций vk

Функция v1(t, x) (рис. 10.2) представляет собой решение разностного уравнения

236

в котором правая часть возмущена только на сегменте [t0 ,t1 ] с начальным условием v1(t0 , x) = v0 (t0 , x). Функция v2(t, x) – решение разностного уравнения

при возмущенной правой части на сегменте [t0 ,t2 ], причем в качестве начального условия принимается v2 (t1, x) = v1(t1, x), поскольку имеет место равенство

Последняя функция этой последовательности совпадает с решением задачи (10.20) с правой частью, возмущенной на всем отрезке интегрирования:

( ) = ~( ) [ ]

vm t, x u t, x , t 0,T .

Рассматриваются две функции: vl(t, x) и vl + 1(t, x) на сегменте [tl ,tl+1 ]. В силу построения значения этих функций в точке tl совпадают, vl+1 (tl )= vl (tl ), и, в соответствии с условием теоремы, имеет место соотношение

vl+1 (tl+1 )− vl (tl+1 ) ≤ στ fl+1 − fl = στ fl+1 − f .

При t > tl+1 правые части разностных схем Ahvl = fl и Ahvl+1 = fl+1 совпадают, fl = fl+1 = f ; значения функций vl+1 (tl+1, x) и vl (tl+1, x) различны. Это можно трактовать как различие в начальных данных для краевой задачи. Согласно признаку равномерной устойчивости имеет место оценка

237

vl+1 (tm )− vl (tm ) ≤ K vl+1 (tl+1 ) − vl (tl+1 ) ≤ στK fl+1 − f .

Отсюда следует:

то есть определение устойчивости разностного решения по правой части. Что и требовалось доказать.

Необходимо подчеркнуть, что устойчивость по правой части не может рассматриваться независимо от устойчивости по начальным данным.

Принцип максимума

Рассматриваются условия для конструктивной оценки устойчивости разностных схем. Для проведения анализа используются алгебраические уравнения неявной разностной схемы дифференциального уравнения теплопроводности:

θj−1 (−ηh2 )+ θj (1 τ+ 2η h2 )+θj+1 (−ηh2 )= θj τ.

Это соотношение условно можно записать в виде

238

где для рассматриваемого случая p принимает одно значение, равное j, а индекс k пробегает значения j – 1, j, j + 1. Коэффициенты αk и βp равны соот-

ветственно

α j−1 = (− ηh2 ), α j = (1τ + 2ηh2 ), α j+1 = (− ηh2 ), βj =1τ;

правая часть f j = 0. В дальнейшем используется обозначение

αmax = max αk .

k

Для рассматриваемого разностного уравнения αmax =1τ + 2ηh2 .

Теорема 10.3 (принцип максимума). Разностная схема равномерно устойчива по начальным данным, если

Разностная схема устойчива по правой части, если имеет место неравенство (10.23) и выполнено условие

Доказательство. Вносится возмущение δθ в решение рассматриваемой задачи теплопроводности на произвольном временном слое, при этом возмущение правой части отсутствует. Выражение (10.22), записанное относительно возмущения на следующем временном слое

∑αk δθk = ∑βpδθp ,

можно представить в форме

αmaxδθmax = ∑βpδθp − ∑αk δθk .

Слагаемые последнего выражения оцениваются по модулю,

Полученное неравенство справедливо для всех внутренних узлов разност-

ной сетки, в том числе и для того узла, в котором погрешность δθ достигает наибольшего значения. С использованием чебышёвской нормы

δθ = max δθk

k

предыдущее выражение преобразуется к виду

239

Неравенство может быть усилено заменой всех величин δθk , δθp наи-

большими значениями по всем узлам сетки Ω с использованием определения чебышёвской нормы,

αmax δθ ≤ δθ∑ βp + δθ ∑ αk ,

позволяет преобразовать полученное неравенство к виду

Отсюда следует условие равномерной устойчивости по начальным данным,

δθ ≤ δθ ≤ (1+Cτ)δθ, C ≥ 0 .

Множитель 1 + Cτ обычно включается в условие (10.23),

Это позволяет в некотором смысле характеризовать степень устойчивости разностной схемы.

Для доказательства второго утверждения вносится возмущение в правую часть уравнения (10.20), при этом погрешность начальных данных теперь отсутствует. Выражение (10.22) для погрешности имеет вид

∑αk δθk = δf j .

k

Это выражение удобно записать в форме

αmaxδθmax = δf j − ∑αk δθk

k≠max

240