книги / Прикладная теория колебаний
..pdfЕсли обозначить z = xh3 , то получим уравнение
EJ
5z2 −704z +1536 = 0;
тогда
z = 2,218, |
z |
|
=138,52, |
ω = |
1,489 |
EJ . |
1 |
|
2 |
|
1 |
h2 |
m |
2.4.Вынужденные колебания систем
2.4.1.Вынужденные колебания системы
содной степенью свободы
Действие переменной во времени силы P(t) на систему можно представить в виде суммарного действия отдельных импульсов (рис. 2.16): dS = Pdt.
Если затухание не учитывать, то согласно уравнению вынужденных колебаний имеем:
у+ω2 y = |
P(t) |
. |
|
(2.26) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
m |
|
|
|
|
||||||||||||
Решение |
уравнения |
(2.26) |
Рис. 2.16. Изменение силы |
|||||||||||||
состоит из общего интеграла yобщ |
во времени нагружения |
|||||||||||||||
однородного уравнения и частно- |
||||||||||||||||
|
системы |
|||||||||||||||
го решения участ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если |
P(t) |
= F(t), то решение имеет вид |
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(t) = y |
|
cosωt + |
y0 |
|
sin ωt + F 1−cosωt |
+ F |
ωt −sin ωt + |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
0 |
ω2 |
0 |
ω3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ω2t2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
+F |
|
|
|
|
|
−1+cos ωt |
+..., |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
ω4 |
|
2 |
|
|
|
|
61
Стр. 61 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
где F0 , F0 , F0 – начальные параметры, представляющие функ-
цию F(t) в момент времени t = 0 (начальный).
Каждый предыдущий коэффициент при начальном параметре является производной от коэффициента при последующем параметре.
Рассмотрим случаи возможного изменения внешней силы во времени.
то
как
1. Внешняя сила постоянна: P(t) = P при y0 = y0 = 0. Тогда решение уравнения (2.26) примет вид
y(t) = mPω2 (1−cosωt), F0 = 0, F0 = 0.
Если статическое перемещение
y |
= |
P |
= |
P |
, |
(2.27) |
|
ω2m |
c |
||||||
ст |
|
|
|
|
y(t) = yст(1−cos ωt).
Максимальный динамический коэффициент Kдmax = 2, так
Kд = δд . Если сила P внезапно приложена в мгновение
δcт
t = t0, а затем в мгновение t = t1 снята, то можно представить устранение силы P как приложение силы P в мгновение t, тогда уравнение движения будет иметь вид
y(t) = |
P |
cosω(t −t1 ) −cosωt |
; |
||
mω2 |
|||||
|
|
|
|
после преобразований получим:
y(t) = |
2P |
sin (ωt −0,5ωt |
)sin ωt1 |
. |
(2.28) |
||
2 |
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
||
|
mω |
|
|
|
|
62
Стр. 62 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
|
Если sin (ωt −0,5ωt ) =1, то |
K |
д |
= 2sin 0,5ωt |
|
= 2sin π |
t1 |
. |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
T |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
|
кратковременном действии |
силы |
(рис. 2.17), т.е. если |
|||||||
t ≤ T |
, максимальный динамический коэффициент |
K |
д max |
≤1. |
|||||||
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.17. Решение уравнения |
Рис. 2.18. Изменение силы |
колебаний |
во времени |
2. Внешняя сила произвольно изменяется. Определим действие мгновенного импульса dS (рис. 2.18):
dS = Pdt. |
(2.29) |
В уравнении (2.28) заменим t1 на dt |
и y на dy. Учитывая, |
что sin 0,5ωdt = 0,5ωt, а sin (ωt −0,5ωdt ) = sin ωt, получаем:
dy = |
2P |
sin ωt 0,5ωdt = |
dS |
sin ωt. |
(2.30) |
2 |
mω |
||||
|
mω |
|
|
|
Если в мгновение t = u к массе будет приложен импульс P(u)du силы, то при t > u
dy = |
dS |
sin[ω(t −u)]. |
(2.31) |
|
mω |
||||
|
|
|
Полагая, что до приложения нагрузки масса находилась в покое, получим уравнение движения при произвольной возмущающей силе путем интегрирования этого выражения:
63
Стр. 63 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
y(t) = |
1 |
∫P(u)sin ω(t −u)du. |
(2.32) |
|
mω |
||||
|
t0 |
|
||
|
|
|
||
3. Внешняя сила |
периодически изменяется |
(вибрация) |
в соответствии с зависимостями:
P(t) = Psin θt, P(u) = sin θt P,
где θ – циклическая частота изменения силы. Полагая, что t0 = 0, после интегрирования получим:
|
P |
|
θ |
|
y(t) = |
|
sin θt − |
|
sin ωt . |
|
|
|||
|
m(ω2 −θ2 ) |
ω |
|
Учитывая, что mPω2 = yст, запишем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
θ |
|
||
y(t) = yст |
|
|
|
|
|
sin θt − |
|
sin ωt . |
|
|
θ |
2 |
|
ω |
|||
|
− |
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
ω |
|
|
|
|
(2.33)
(2.34)
(2.35)
Рис. 2.19. Зависимость коэффициента динамичности от соотношения θ / ω
64
Стр. 64 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Амплитудный динамический коэффициент |
|
||||||||||
|
|
Kдmax = |
|
1 |
. |
(2.36) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
θ2 |
|||||||
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
θ |
|
|
|
ω |
|
||
Следовательно, |
при |
|
→1 |
динамический |
коэффициент |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|||
возрастает, а при |
θ |
=1 |
он равен ∞, т.е. возникает резонанс. |
||||||||
ω |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Острый резонанс сглаживается с ростом величины 2ξ , где ξ – ωf
коэффициент затухания, ωf – круговая частота свободных колебаний (рис. 2.19).
2.4.2. Вынужденные колебания системы с несколькими степенями свободы
Рассмотрим систему с n степенями свободы. Пусть дейст-
вует сила P(t) = Psin θt, |
а также силы инерции Ji |
(Ji |
= −mi yi ), |
|||
тогда |
|
|
|
|
|
|
yk = −m1 y1δk1 −m2 y2δk 2 −... −mn ynδkn + P(t)δkp . |
|
|
||||
Если считать, что перемещения соответствуют форме ко- |
||||||
лебаний с амплитудой А: |
|
|
|
|
|
|
|
yk |
= Ak sin θt, |
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
(1−m1δ11θ2 ) A1 −m2δ12θ2 A2 −... −mnδ1nθ2 An = ∆1p , |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−m1δ21θ2 A1 +(1−m2δ22θ2 ) A2 −... −mnδ2nθ2 An = ∆2 p , |
(2.37) |
|||||
................................................................................ |
|
|||||
|
|
|||||
−m δ θ2 A −m δ θ2 A −... +(1−m δ θ2 ) A = ∆ . |
|
|
||||
1 n1 1 2 n2 |
2 |
n nn |
n |
|
|
|
np |
|
Определяем амплитуды колебаний Аi стандартным методом решения системы уравнений. Силы инерции
65
Стр. 65 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Ji max = miθ2 Ai .
Положительные силы инерции направлены в сторону положительных перемещений.
Пример. Для балки на двух опорах (рис. 2.20, а) при рас-
пределенной нагрузке q = 2000 H/м, P(t) = 2000sin 50t H,
EJ = 4 106 H м2 определим изгибающий момент в точке приложения периодической силы.
а |
б |
Рис. 2.20. Расчетная схема балки: а – с распределенной нагрузкой; б – с сосредоточенными массами
Решение.
1. Заменяем распределенную нагрузку q двумя сосредоточенными массами (рис. 2.20, б), в соответствии с правилом, изложенным выше, получим:
m1 = m2 = m = 2qlg = 407,75 кг.
2. Определяем по формуле Мора единичные и грузовые перемещения (от амплитудной силы Р = 2000 Н):
|
|
δ |
= δ |
22 |
=1,875 10−7 м/Н, |
|
||
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
= δ |
21 |
=1,4575 10−7 м/Н, |
|
||
|
|
12 |
|
|
|
|
||
∆ |
2 p |
= 37,5 10−5 м, ∆ |
= 29,15 10−5 |
м. |
||||
|
|
|
|
|
1p |
|
|
66
Стр. 66 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
3.Вычисляем по формуле (2.13) частоты свободных коле-
баний: ω1 = 85,8 Гц, ω2 = 242,7 Гц.
4.Подставляя найденные перемещения в систему уравне-
ний (2.37) с учетом θ = 50 Гц, получим:
0,8089A1 −0,1485A2 = 29,15 10−5;
−0,1485A1 −0,8089A2 = 37,5 10−5.
Решая эту систему уравнений, определяем:
А1 = 4,61 · 10–4 м, А2 = 5,48 · 10–4 м.
5. Определяем изгибающий момент М2 в точке 2 от действия силы P(t):
M2 = M21J1 + M22 J2 + M2 p ,
где M21, M22 – момент в сечении 2 от сил P = 1, приложенных соответственно в точках 1 и 2; J1, J2 – инерционные силы, определяемые по формуле J = ωθ2 A; M2 p – момент от амплитуды силы (2000 Н).
|
|
Для нашего примера |
|
|
|
|
|
|
M |
21 = 0,25 м, M22 = 0,75 м, |
|||||||
|
|
2 p =1500 H м, J1 = 470 H, |
|
J2 = 558,6 H. Следовательно, |
||||
M |
|
|||||||
|
|
M2 =117,5 +419 |
+1500 = 2036,5 H м. |
Этот момент в 1,36 раза больше момента от статически приложенной амплитудной силы P = 2000 H.
6. Определяем суммарный изгибающий момент M2Σ от
действия силы P(t) и статической нагрузки, приложенной в точках 1 и 2. Для нашего примера динамический момент Мд = 4000 Н· м, следовательно, M2Σ = 6036,5 H м. Если θ = ω,
то Аk = ∞.
Динамические коэффициенты по силовым и кинематическим характеристикам не едины (в межрезонансных областях):
67
Стр. 67 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
по моментам Kдmax = 1,36, а по перемещениям (для сечения 2)
A
Kд∆ = ∆ 2 = 1,46.
ip
Примеры решения задач по динамике конструкций СДМ приведены в прил. 1, 2.
3.РАСЧЕТЫ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
3.1.Расчет продольных колебаний конструкций
Как правило, ограничиваются расчетом первых двух-трех частот и форм колебаний. Для этого часто применяют приближенные методы расчета.
При расчете частот собственных продольных колебаний применяют следующие допущения:
а) реальная конструкция заменяется дискретной моделью из сосредоточенных масс, соединенных (n – 1) упругими свя-
зями; |
|
б) упругие связи полагают невесомыми. |
|
Для определения |
первых |
2–3 частот колебаний достаточно |
|
представить реальную |
конструк- |
цию в виде: |
|
– 3-массовой системы,
– 3–5-массовой системы. Для примера рассмотрим
3-массовую систему (рис. 3.1), в которой приведенные массы m1, m2, m3 соединены жесткостями с1, с2. Под продольной жесткостью понимается деформация. Она вычисляется по формуле
68
Стр. 68 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
|
σF |
|
|
εEL |
|
|
∆l |
EF |
|
|
EF . |
|
|||
с = |
= |
= |
|
l |
|
= |
(3.1) |
||||||||
∆l |
∆l |
|
|
|
∆l |
||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c = |
E1F1 |
; |
|
c |
= |
E2 F2 |
, |
(3.2) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
l1 |
|
2 |
|
|
l2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где l1, l2 – расстояния между центрами масc m1 и m2, m2 и m3. Если участок конструкции неоднороден, то рассчитывают
приведенную продольную жесткость участка lΣ, определяемую из зависимости
1 = 1 + 1 . cΣ c1 c2
При переходе от реальной конструкции к расчетной схеме необходимо обязательно учитывать изменение отдельных масс и жесткостей в зависимости от времени и температуры конструкции.
3.1.1. Определение частот колебаний
При свободных колебаниях в продольном направлении реализуются перемещения масс от положения равновесия х1, х2, х3 с круговой частотой ω. При этом положительное смещение направлено вниз. Рассмотрим последовательно равновесие всех масс под действием приложенных сил.
Согласно закону перемещения
xi = Ai sin(ωt +ϕ)
система уравнений при свободных колебаниях 3-массовой конструкции примет вид:
m1x1 = −c1x1 +c1x2 , |
|
|
|
m2 x2 = c1x1 −c1x2 +c2 x3 |
−c2 x2 |
, |
(3.3) |
m3 x3 = c2 x2 −c2 x3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69 |
Стр. 69 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Решение такой системы при совершении свободных колебаний будем искать в следующем виде:
x1 = A1 sin(ωt +ϕ), |
|
||
x2 |
= A2 sin(ωt +ϕ), |
(3.4) |
|
x |
= A |
sin(ωt +ϕ). |
|
3 |
3 |
|
|
При подстановке этих решений исходные дифференциальные уравнения превращаются в тождества. Например, первое уравнение после группировки подобных членов примет вид
(−ω2m1 +c1 ) A1 −c1 A2 sin(ωt +ϕ) = 0.
Окончательный вид системы уравнений:
2 |
0, |
|
|
|
(c1 −m1ω ) A1 −c1 A2 = |
|
|
|
|
−c1 A1 +(c1 +c2 −m2ω2 ) A2 −c2 A3 |
= 0, |
(3.5) |
||
−c2 A2 +(c2 −m3ω2 ) A3 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Мы получили систему трех |
алгебраических |
уравнений |
||
с четырьмя неизвестными ( A1, A2 , |
A3 , ω). |
В качестве четверто- |
го условия используем условие существования колебаний, когда амплитуда Ai ≠ 0, а это математически означает, что сис-
тема не должна иметь нулевого решения, т.е. определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных амплитудаx Ai , должен быть равен нулю.
Таким образом,
|
(c −m ω2 ) |
|
−c |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−c |
(c +c |
2 |
−m ω2 ) |
−c |
2 |
= 0. |
(3.6) |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
0 |
−c |
|
(c −m ω2 ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
70
Стр. 70 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |