книги / Применение теории вероятностей в расчётах систем электроснабжения

кретной величины нагрузки F (Р) изображена на рис. 19 и представляет собой ступенчатую линию с одинаковыми скач­ ками, равными <?т= б,2о = езо= 4о = 0,25, в точках Pi = 10 кВт; />2 = 20 кВт; Р3 = 30 кВт; P.i = 40 кВт.

2.3.2. БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Если вероятности п возможных значений дискретной СВ определяются выражением вида [3]

ет,п= c„mem(1—е ) (2.20)

то дискретная СВ подчиняется биномиальному закону распре­ деления. Формула (2.20) идентична выражению (1.17) в мо­ дели «случайное событие». Это объясняется тем, что в моде­ ли «случайная величина» используется модель «случайное со­ бытие», в которой каждому событию ставится в соответствие дискретная СВ. График биномиального закона распределения вероятностей в_ зависимости от значения вероятности е появ­ ления дискретной СВ представлен на рис. 20, а. б. в. Сели вершину ординат графика соединить прямыми, то получится многоугольник распределения. Числовые характеристики би­ номиального закона распределения вероятностей дискретной

и вычислить числовые характеристики суммарной нагрузки

31

60 кВ-А) определяется вероятностью возникновения СС, за­ ключающихся в одновременной работе 0, 1, 2, 3 и 4 свароч­ ных машин. Вероятность работы каждой сварочной машины одинакова и равна 0,1. Поэтому вероятности работы 0, 1, 2, 3 и 4 сварочных машин или появления нагрузок величи­ ной 0, 15, 30, 45 и 60 кВ-А вычисляем по выражению (2.20):

ставлен на рнс. 21, а соответствующая этому графику функ­ ция распределения F (S) — на рис. 22.

5 С= £ S,6, = 0-0,'6561 + 15-0,2916+30-0,0486+ 45-0,0036 +

+ 60-0,0001=6 кВ-А;

S o = V 2 5/6/ = (‘О2-0,6561 + 152-о,2916 + 302-0,0486 +

/**1

+ 452 • 0,0036 + 602 • 0,0001)1/2 = 10,8 кВ • А;

33

a [S ] = j/D [S ] = y iO ,8 2— 62 = 8,9 кВ -A.

Кроме рассмотренных законов распределения дискретных СВ в табл. 2.2. дополнительно приведены законы, которые нашли применение в теории и практике расчетов СЭС.

,Т а б л и ц а 2.2.

Законы распределения дискретной СВ

2.4. ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

2.4.1. Закон равномерной плотности

Если возможные значения непрерывной СВ имеют одина­ ковые (равные) вероятности и леоюат в пределах определен­ ного диапазона у. —В—А, то такая СВ описывается зако­ ном равномерной плотности распределения. Аналитическое выражение плотности распределения f(x) имеет вид [3]

представляет линейную функцию распределения. Числовые характеристики равномерного закона распределения вычисля­

Закон равномерной плотности распределения характеризу­

ется постоянной плотностью х‘ 1= (2уЗ(т[л*])-1. С уменьшением стандарта о[дс] график f(x) с параметрами А, В и х~1=»

*= (2уЗа[л])-1 (линия 1 на рис. 23) вытягивается но вертика­

,ность распределения превращается в прямую линию 3 (см. рис. 23), которая представляет собой дельта-фуикцню 6(х—хс) с плотностью х 1—оо. Функции распределения F(x),

35

соответствующие плотностям распределения 1, 2, 3 (см. рис. 23), изображены на рис. 24.

Таким образом, числовые характеристики равномерного закона распределения определяются граничными значениями А и В н величиной диапазона х изменения непрерывной СВ.

п[Р]=х/2уЗ= 120/2-1,73 = 34,68 кВт.

Плотность распределения вероятностей нагрузки постоян­

на:

ИР) -«-■■= (2УЗ(т[Я])-' = ^ 1 - =0,0083 кВт-1.

Функцию распределе­ ния Р(Р) строим соглас­ но выражению (2.22).;

30

ведена через две точки: А=30 кВт и В= 150 кВт. Проверкой правильности вычисления и построения может .служить зна­ чение /Г(Р )= 0,5 при Р = Р С= 90 кВт:

2.4.2.Нормальный закон

Впрактических приложениях широкое применение полу­ чил нормальный закон распределения. Плотность распреде­

ления f(x) нормального закона определяется двумя парамет­ рами: средним значением л*с, и средним квадратичным откло­ нением (стандартом) cr[.v]. Аналитическое выражение f(x) имеет вид [3]

/(дг) = (У 2 я ф ]Г ‘Х W

О

чений х на стандарт а[х]:

О

(2.28)

Тогда выражение (2.27) принимает вид

где ср*(П) — плотность распределения стандартного нор­ мального закона с нулевым средним значением Л'с = 0 и еди­ ничным стандартом а[л']=1. Плотность ф*(П) вычисляется по таблицам функции [3]

Кривая стандартного нормального распределения представле­ на на рис. 28. При а-=л*с пли П = 0 кривые ф*(П) имеют мак­ симум, который определяется стандартом O[.Y]:

37

5

при а|л']-^0 плотность распределения* вырождается в дельтафункцию (прямая 3 на рис. 29):

1т1_(УЙо[л-])->е>ф|;----- (2.32)

При aj.v]—>оо плотность распределения f(x) сливается с осью абсцисс. Функция распределения F (х) нормального закона описывается выражением вида [3]

на рис. 30). Функция стандарт­ ного нормального распределе­ ния с хс = 0 и получается подстановкой выражения

(2.28) в (2.33):

38

определяется согласно рис. 12 разностью функций распреде­

пределение ординат графика. Построить плотность и функ­ цию распределения, если числовые характеристики графика

Аналогичные расчеты дают следующие значения плотностей:

39

2.4.3.Усеченный нормальный закон

Впрактических задачах электроснабжения на возможные значения СВ накладываются ограничения. Например, орди­ наты графиков нагрузок ЭП имеют конечные значения и не могут быть беспредельными. В этом случае применяют усе­ ченный нормальный закон, аналитическое выражение плот­ ности распределения которого имеет вид [3]

Коэффициент усечения Сус определяется выражением

(2.37)

где А и В — соответственно наименьшее и наибольшее зна­ чения непрерывной СВ.

40