книги / Моделирование процессов деформирования и разрушения композитов. Основы математической теории закритической деформации разупрочняющихся сред
.pdf5. Оценка устойчивости процесса закритической деформации
Поскольку квазистатический процесс деформирования является следствием движения материальных частиц, то устойчивость понимается в данном случае, естественно, как устойчивость бесконечно медленного движения [32]. Будем основываться на определении устойчивости движе ния А.М. Ляпунова с учетом особенностей его использования в механике деформируемого твердого тела [18, 32].
Если по любой паре положительных сколь угодно малых чисел a Y и а 2 можно найти такие положительные числа Pj и р2, что при всяких возмущениях в данный момент времени параметров нагружения 5и° (г) и
85,°(г), удовлетворяющих условиям
(33)
вызванные этими мгновенными возмущениями отклонения параметров движения 5му(г) и 8е,у(г) в настоящий и любой последующий моменты
времени таковы, что
(34)
то невозмущенный процесс деформирования является устойчивым, в про тивном случае — неустойчивым.
Определение устойчивого состояния равновесия базируется на ана лизе поведения системы при фиксированных внешних параметрах и явля ется частью рассмотренного определения устойчивого процесса деформи рования при непрерывном и медленном изменении параметров нагруже ния. Один из путей отыскания момента потери устойчивости указывают теоремы Лагранжа — Дирихле и Ляпунова [18]. Рассматривая малые от клонения от основного состояния, можно судить о характере равновесия по знаку приращения полной потенциальной энергии механической системы.
Пусть в некоторой зоне С10 деформируемого тела Q имеет место ра зупрочнение материала в процессе деформирования. Для оценки устойчи вости закритической деформации, сопровождающейся равновесным рос том дефектов, воспользуемся энергетическим подходом механики разру
шения [44], приводящим к неравенству |
|
ААе <AW + AAf , |
(35) |
устанавливающему связь приращений работы внешних сил &Ае, энергии упругой деформации AW и работы разрушения ДЛу при виртуальном
приращении закритических деформаций.
Приращение работы внешних сил связано, как уже было сказано, с перемещениями 5и точек границы деформируемого тела, обусловленными уменьшением его жесткости в процессе разрушения. Выражение для вы числения работы внешних сил на основе рассмотренных граничных условий контактного типа можно представить в виде
Для области Q с границей I с учетом того, что условия (9) могут быть получены из условий (10) и наоборот, неравенство (35) представим в виде
(37)
При записи последнего неравенства принято, что связь малых при ращений напряжений и малых приращений деформаций может быть пред ставлена дифференциально линейными соотношениями (24). Коэффициен тами пропорциональности на стадии упрочнения являются компоненты тензора С , а на закритической стадии деформирования компоненты тен зора модулей разупрочнения D , взятые со знаком минус.
Как известно, работа внешних сил на статически им соответствую щих перемещениях равна удвоенной упругой энергии тела. Покажем спра ведливость аналогичного уравнения, включающего виртуальные переме щения и деформации. Умножим уравнение равновесия в предположении для простоты отсутствия массовых сил на 5м,, проинтегрируем по объему и используем формулы Гаусса — Остроградского и Коши:
J <т,уу5м,<Ю= J (ауЬщ) .d&- J а,у5ы,у<Ю =
=J<ЗуПjbiijdL -J0(У5ёijdn = 0.
£a
Всвязи с этим неравенство (37) сводится к виду
JRijbUjbUjdL + |
^DjjMnbZmnbZjjCKl. |
(38) |
Таким образом, условие устойчивости закритической деформации в ослабленной зоне £2„ деформируемого тела О. с условиями на границе в виде (9) имеет вид (38) и эквивалентно неравенству (32), полученному при рассмотрении расширенного постулата устойчивости.
Отметим, что при анализе устойчивости необходимо исключить ди намические вариации смещений в области разупрочнения [38]. Использо вание других полей смещений означало бы экстраполяцию соотношений, описывающих закритическое деформирование, на условия, в которых они могут быть заведомо неприменимы.
Рассмотрим другой способ вывода условий устойчивости, приводя щий, как будет показано, к эквивалентным результатам и основывающийся на анализе функционала полной энергии деформируемой системы, опреде ленного с учетом ненулевой жесткости нагружающей системы. Для этого уместно использовать схему погружения деформируемого тела Q в об ласть Q ', обеспечивающую по своим свойствам требуемые условия на границе Q , тем самым моделируя взаимодействие двух указанных систем.
Выражение для нахождения полной энергии деформируемого тела имеет вид
(39)
С учетом граничных условий (9) работа внешних сил определяется по формуле
£
Таким образом,
9-I
э= J J OydSydn + - J (RyUjUi - 2S°u,)dL,
no z
n z
ЬгЭ = JC'ljmn(z, x= lJSe^SeydQ + JR ^ u ^ d L .
При возможном отклонении от равновесного положения первая ва риация от полной энергии должна быть равна нулю: 8Э= 0. Об устойчиво сти равновесного состояния можно судить по знаку второй вариации от полной энергии [18]. Если исходное состояние устойчиво, то вторая вариация положительна: 82Э > 0.
Получим условие локальной устойчивости закритического деформи рования материальной точки нагруженного тела. Для этого мысленно уда лим из тела элементарный параллелепипед объемом d£l в окрестности рассматриваемой точки. Если на гранях получившейся полости приложить напряжения (штрих для отличия от напряжений в общепринятом смыс
ле), это вызовет ее деформации s ;y. Установим связь между введенными таким образом напряжениями и деформациями:
(41)
Тензор V(r) может быть назван тензором жесткости нагружающей системы в точке и характеризует деформационные свойства всего тела, а также нагружающего устройства, которое обеспечивает заданные переме щения или усилия на границе.
С использованием введенного тензора работа внешних сил при вир туальном приращении закритической деформации в области Q0 с границей Е0 может быть представлена выражением
Сравнивая последнее равенство с формулой для вычисления приращения работы деформации
но к главным осям, частные производные в (46) заменить отношением аб солютных величин, dx заменить на Ах и принять, что каждая компонента тензора S должна быть положительна (условие достаточное, но не являю щееся необходимым для выполнения (44)).
Устойчивость состояния свидетельствует об отсутствии его бифурка ции, что само по себе не исключает возможность бифуркации процесса де формирования [32]. В общем случае не исключены ситуации, когда со стояние единственно, но неоднозначно продолжение процесса. В связи с этим, утверждение об устойчивости процесса закритической деформации требует в дополнение к полученным условиям устойчивости состояний ма териала доказательства также и их достаточности для отсутствия бифурка ции процесса, что эквивалентно требованию единственности решения краевой задачи, сформулированной относительно малых приращений внутренних и внешних параметров. Этот вопрос будет рассмотрен далее.
Условия нагружения тела £2 с границей 2 = 2 5 + 2 и определим с помощью граничных условий контактного типа в форме
(daytij +R9duj)|Is = dS; , |
(49) |
|
(du, +Q,jdajk4 \ u = |
• |
(50> |
Характеристики жесткости i^ (u ,r) и податливости Q, (S,r) нагружающей системы удовлетворяют следующим условиям:
Ve |
^ 0, Qijejei > 0, RjkQjg = 5;у. |
(51) |
Номинально, без учета деформации или сопротивления тела, задаваемые приращения усилий и перемещений на границе связаны соотношениями
dS° = Rjjduj, d u ^ Q y d S j, |
(52) |
из которых вместе с (51) следует взаимная обратность уравнений (49) и (50), что в общем случае позволяет использовать граничные условия одно го вида для всей поверхности. В связи с этим, из (47}-{50) следуют соот ношения
J |
dSJdUjdL = J (dcijd&jj - dXjdu^dQ + |
J R^dUjdu^dL, |
(53) |
J |
dS,du°di: = j(dG IJd£lj- d X idul)ctn+ |
^ Q y d S jd S ^ , |
(54) |
2sIii |
О |
|
|
где dSi = Лт,уЛу|г
Уравнения (53) и (54) аналогичны уравнению виртуальных работ [33] и, как и условие устойчивости (32), являются основой доказательства основных теорем механики неупругого деформирования тел с граничными условиями контактного типа.
Теорема 2. Пусть для ограниченного поверхностью 2 тела £2, со держащего область £2Сс £2 (2 g £20), выполняются неравенства
£2- £2e. Cljmn(e,x = 0^/шЛу > О»
ругопластического упрочняющегося тела (.Q0 = 0) с граничными условия
ми в форме (49) и (50).
Если, согласно различным решениям краевой задачи, в каждой точке области С10 имеет место активное нагружение (% = 1), то при выполнении условия устойчивости закритической деформации (56) равенство (58) не возможно, что свидетельствует о наличии связанного с исходным предпо ложением противоречия.
Однако возможен вариант, когда в некоторой области Г2' с П0 со гласно одному из решений, например, первому, имеет место упругая раз грузка. Принимая во внимание, что в этом случае
“a jy |
_ г., dz® |
da® |
= С , d z ^ e |
^ijmnu^mrty |
uuij |
^ijmnut,mn » |
для любой точки из указанной области запишем
d^jdz'ij = Cijmd z ® c k f - I d v f d z f - C,jmnd z ^ d z f p + d v f d z f
Следовательно,
da'ijdzlj - C'tJmn(z,x = Ijdz'^dz’j =
= [Сцтн - Qjmn(e, X = |
- d a f d z f p > 0. |
Знак последнего неравенства определяется направленностью векто ров d a ^ и d e ^ p соответственно внутрь поверхности нагружения и по внешней нормали к ней и тем фактом, что рассматриваемый материал, как было оговорено, обладает мягкой характеристикой.
Поэтому, обращаясь к (58), запишем
J < W e ,x = |
Rijduldu'dL < 0, |
О |
I |
придя и в этом случае к противоречию с условием (56). Теорема доказана.
После вывода условия устойчивости, выполнение которого означает отсутствие бифуркации процесса закритической деформации, о чем свиде тельствует доказанная теорема единственности, требует уточнения вопрос определения самого критического напряженного состояния. Традиционно используемые критерии разрушения, основанные на сравнении значения некоторой функции компонент тензора напряжений или деформаций с ее предельным значением, обычно не включают в себя жесткость нагружаю щей системы и соответствуют нулевой жесткости. В этом случае подобные критерии могут быть использованы для оценки критического напряженно