книги / Теория пластичности

5.3. Частные теории

Наиболее простой является теория малых упругопластических деформаций (А.А. Ильюшин), справедливая, строго говоря, только для случая простого нагружения; в то же время следует отметить, что теория успешно применялась и применяется для процессов деформирования по траекториям, близким к лучевым. Векторы напряжений и деформаций в этом случае направлены вдоль одного луча в совмещенных пространствах Э(5) и Σ (5), так что при активной деформации

Ф(s) определяется в экспериментах на простое (одноосное) нагружение, при разгрузке используется закон Гука в приращениях, с возможным учетом наведенной анизотропии. Несмотря на упрощенность соотношения (5.17), данная теория хорошо зарекомендовала себя при решении многих практически важных задач; однако её применение требует, по крайней мере, апостериорной проверки вида траектории деформации: при существенных отклонениях последней от лучевой необходимо провести решение той же задачи с использованием более сложных теорий.

Предложенная А.А. Ильюшиным теория пластичности для траекторий малой кривизны основана на известных экспериментальных

Вторая часть соотношения (5.18) записана для приближения к стандартному виду (5.16). Область применимости теории содержится в её названии. Следует отметить, что в настоящее время теория малой кривизны является одной из наиболее широко используе-

161

мых при решении технологических задач МДТТ. В то же время замечание, приведенное выше для теории малых упругопластических деформаций, в полной мере относится и к соотношению (5.18).

Для процессов деформирования по траекториям средней кривизны В.И. Малым в 60–70-х гг. были получены соотношения теории средней кривизны, стандартная форма которых имеет вид:

где B (s, ξ) – ядро, определяемое экспериментально.

Позднее были предложены различные модификации теории средней кривизны, связанные главным образом с переходом к дифференциальной форме определяющих соотношений с введением дополнительных упрощающих гипотез. В частности, В.И. Малым

жит в соприкасающейся плоскости, получены следующие определяющие соотношения:

где λ(s) – материальная функция, определяемая экспериментально. Им получено эволюционное уравнение для угла ϑ 1 :

Сопоставляя правые части (5.16) и (5.20), нетрудно видеть, что предложенное соотношение средней кривизны удовлетворяет гипотезе компланарности, при этом

162

стоянные. Сопоставление правых частей (5.16) и (5.24) позволяет установить следующее соответствие:

тим, что здесь приведены определяющие соотношения только для

163

участков активного пластического деформирования, разгрузка описывается обычно с помощью закона Гука.

Одной из широко используемых частных теорий является теория пластичности для траекторий в виде двухзвенных ломаных (А.А. Ильюшин, В.С. Ленский, Р.А. Васин). Подобные процессы имеют место при потере устойчивости конструкций в упругопластической области, потере устойчивости процесса упругопластического деформирования. Существует несколько вариантов записи данных соотношений. Здесь приведены две наиболее распространенные формы.

На первом участке деформирования справедливы соотношения теории малых упругопластических деформаций. В точке излома, обозначаемой индексом «0», полагается, что вектор напряжений направлен вдоль 1-го участка траектории деформации, угол излома траектории обозначим через ϑ 0 , вектор напряжений – Σ0 , длина ду-

ги траектории в точке излома – s0, ∆ s = s − s0 . Тогда в конечных приращениях определяющее соотношение может быть записано в виде (Р.А. Васин):

Теория УПП является по преимуществу макрофеноменологической, основанной на механических экспериментах, причем наиболее распространенным видом испытаний является деформирование по траекториям в виде двухзвенных ломаных. Если нижним индексом «0» обозначить векторы репера Френе на первоначальном прямолинейном участке траектории, то из (5.27) непосредственно следуют соотношения для определения N1 и Р1 для второго прямолинейного участка траектории как функций длины дуги пластической

164

удобные для обработки экспериментальных данных.

В некоторых случаях удобно использовать определяющие соотношения в терминах конечных значений напряжений и деформаций (А.А. Ильюшин, В.С. Ленский):

Отметим, что из многочисленных экспериментов на двухзвенных траекториях следует, что материальные функции удовлетворяют принципу запаздывания ( ϑ 1→ 0 при ∆ s → ∞ или Σ 2 → 0 при ∆ s→ ∞ ),

с достаточной точностью – гипотезе локальной определенности. Отмечается, что сразу за точкой излома наблюдается уменьшение модуля вектора напряжений (так называемый «нырок»), после чего

сит от ϑ 0 , что позволяет сократить число потребных экспериментов.

В заключение отметим, что в рамках работы над теорией УПП А.А. Ильюшиным была предложена так называемая истокообразная форма определяющих соотношений [22, 23]:

где {α} означает набор параметров κn (s) , κn (ξ) , характеризующих

сложность траектории предшествующей деформации. По форме приведенное соотношение близко к ОС эндохронной теории пластичности, предложенной К. Валанисом (см. гл. 8), однако является более глубоким по содержанию: в отличие от последнего соотношение

165

(5.29) имеет в своей структуре параметры, характеризующие сложность траектории деформирования. Указанное соотношение до настоящего времени не получило должного применения и развития, хотя представляется весьма перспективным.

Заметим, что приведенные теории пластичности имеют ярко выраженный феноменологический макроскопический характер, сформулированы на одном масштабном уровне, в связи с чем в них не присутствуют внутренние переменные в явном виде; история воздействий учитывается за счет достаточно сложных функциональных зависимостей параметров процесса. Все они основаны на хорошо поставленных, тщательно проведенных и детально проанализированных экспериментах на сложное нагружение макрообразцов. В определенном смысле предлагаемые теории представляют собой достаточно удачную аппроксимацию результатов этих экспериментов. Физическая суть процессов пластического деформирования не фигурирует в явном виде в обосновании предлагаемых теорий, в записи основных постулатов, гипотез и собственно ОС, она «прячется» за интуицией, накопленной в течение многих лет экспериментов и тщательного анализа полученных результатов.

В то же время авторы не разделяют существующую точку зрения, что теория УПП А.А. Ильюшина не требует никаких знаний о структуре материала, что для параметров, характеризующих структуру, в ней просто нет места. В действительности эти данные присутствуют в теории неявным образом, за счет указаний о химическом составе и способах предварительной обработки образцов. Если такие данные отсутствуют в статьях и отчетах об экспериментальных исследованиях свойств материалов, необходимых для применения ОС частных теорий УПП, то использование их для решения конкретных задач не представляется возможным.

166

Вопросы для самопроверки

1.Запишите соотношение, связывающее первые инварианты тензора малых деформаций и тензора напряжений Коши, поясните их механический смысл.

2.Чем обусловлено широкое распространение векторного представления процесса деформирования?

3.Приведите выражения, определяющие векторы напряжений

идеформаций через соответствующие компоненты девиаторов напряжений и деформаций, и обратные соотношения.

4.Дайте определения траектории деформации, траектории нагружения и образа процесса деформирования.

5.Запишите соотношение для определения длины дуги траектории деформации.

6.Каким образом осуществляется построение естественного репера Френе? С какой целью он вводится?

7.Запишите соотношения для определения параметров кривизны и кручения траектории деформации.

8.Приведите определение следа запаздывания векторных свойств. Можно ли считать величину следа запаздывания постоянной материала? Если «Нет» (или «Да»), то почему?

9.Сформулируйте принцип запаздывания векторных свойств

иследствия из него.

10.Дайте формулировку постулата изотропии в частной форме. В чем состоит его значимость для построения ОС?

11.Приведите формулировки гипотезы локальной определенности, поясните её значение для формулировки конкретных соотношений теории пластичности.

12.Сформулируйте гипотезу компланарности, поясните её значение для построения конкретного вида ОС.

13.В чем преимущества формулировки гипотезы компланарности в виде уравнения (5.16) по сравнению с (5.13)?

14.Запишите соотношение теории малых упругопластических деформаций, укажите область её применимости.

167

15.Сформулируйте соотношение теории малой кривизны, определите область её применимости.

16.Запишите варианты соотношений теории средней кривизны, предложенные В.И. Малым.

17.В чем основные отличия от предшествующего ОС вариантов соотношений, предложенных С.В. Ермаковым и Дао Зуй Биком?

18.Запишите соотношения теории пластичности для двухзвенных ломаных в приращениях.

19. Приведите соотношения теории двухзвенных ломаных

втерминах векторов напряжений и деформаций.

20.Запишите ОС в истокообразной форме, предложенные А.А. Ильюшиным, сопоставьте их с соотношениями теории средней кривизны.

168

Теория необратимых процессов, несмотря на сосуществование в ней большого количества вариантов, отнюдь не является наукой противоречивой или нелогичной. Все эти варианты укладываются встройную систему и представляют собой своего рода приборы, отличающиеся друг от друга разрешающими способностями.

В.В. Новожилов, Ю.И. Кадашевич

6. НЕКОТОРЫЕ МОДИФИКАЦИИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ

6.1.Основные понятия и определения теории пластического течения

Изучаемая в университетских курсах МДТТ классическая теория пластического течения (ТПТ) базируется на понятии поверхности текучести, ассоциированном законе течения и трех основных законах упрочнения (изотропного, кинематического и комбинированного типов) (см. гл. 4). В теориях, использующих неассоциированный закон течения, наряду с поверхностью текучести вводится так называемый пластический потенциал (или диссипативная функция) (см. гл. 4). Из многочисленных экспериментальных данных известно, что ТПТ позволяет описывать процессы деформирования с достаточной для прикладных задач МДТТ точностью лишь при нагружениях, близких кпростым (деформирование по траекториям малой кривизны, см. гл. 5). Данное обстоятельство, имеющее широкое экспериментальное подтверждение, стимулировало исследования в теории пластического те-

169

чения, имеющие целью создание теории, позволяющей описывать процессы сложного нагружения без отказа от основных положений теории течения.

Созданные и создаваемые в последние десятилетия в рамках ТПТ теории сконцентрированы на построении различных законов упрочнения. При построении законов упрочнения различают одноповерхностные и многоповерхностные теории [71, 90], в рамках каждой из которых формулируются законы трансляции (переноса без изменения формы) и эволюции формы поверхности (поверхностей) течения. Собственно определяющие соотношения ТПТ в дальнейшем получают, как правило, с использованием принципа градиентальности, согласно которому бесконечно малое приращение тензора (девиатора) пластических деформаций пропорционально градиенту (в пространстве девиаторов напряжений) функции, описывающей поверхность текучести (в случае ассоциированного закона течения), или пластического потенциала (в случае неассоциированного закона течения). Иными словами, вектор бесконечно малых приращений пластической деформации направлен по нормали к соответствующей поверхности текучести в текущей точке процесса нагружения. Здесь будут рассматриваться получившие большее распространение ОС ТПТ, основанные на ассоциированном законе течения. Вероятно, основной причиной широкой популярности указанных соотношений является достаточно простой и прозрачный формализм формулировки ОС, ясное физическое обоснование основных понятий теории.

При построении модификаций ТПТ обычно сохраняются и другие гипотезы классической ТПТ. В частности, принимается линейная связь первых инвариантов тензоров напряжений и деформаций (средних напряжений и деформаций), аналогичная приведенной в гл. 5. Пластические деформации обычно полагаются изохорическими, I1 (εp ) = 0 . В рамках геометрически линейных теорий прини-

мается гипотеза об аддитивном разложении тензора (девиатора) полных деформаций на упругую и пластическую составляющие (гл. 4):

170