книги / Физические основы получения информации
..pdfТаким образом, с увеличением высоты орбит необходимо меньшее число спутников для обслуживания одной и той же территории.
6.5. Орбиты спутников
Материальное тело, предоставленное самому себе (если на него не действуют никакие внешние силы), сохраняет состояние покоя или движется прямолинейно и равномерно (I закон меха ники Ньютона - закон Галилея).
На спутник действует по закону всемирного тяготения Ньютона сила гравитационного притяжения
_ GMm
где G M - геоцентрическая постоянная,
GM = 40,0• 1013 м3/с 2-
М - масса Земли (М = 6,0-1027 г); т - масса спутника; R - рас-
стояние от центра Земли до спутника.
Притяжение искривляет траекторию. Величина искривле
ния зависит от расстояния R (рис. 6.1) и скорости |
V. |
В орбитальном полете противодействуют |
два начала: |
свойство материи сохранять свое состояние (двигаться прямо линейно равномерно) и сила притяжения Земли (центростреми тельная сила).
Траектории |
твердого |
тела, |
V |
||
движущегося |
в центральном |
гра |
|
||
витационном |
поле, суть кониче |
|
|||
ские сечения. |
|
|
|
|
|
Прямой круговой конус при |
|
||||
пересечении |
с плоскостью |
обра |
|
||
зует на ней коническое сечение. |
|
||||
Если |
секущая плоскость не |
|
|||
проходит |
через |
вершину конуса, |
|
||
то сечение будет эллипсом, пара |
|
||||
болой или |
гиперболой, в зависи |
Рис. 6.1. Орбиты спутников |
|||
111
мости от того, будет ли плоскость сечения параллельна обра зующим конуса, и если будет, то только одной образующей или двум. То есть, если секущая плоскость не параллельна ни одной образующей конуса (рис. 6.2, а ), то сечение - эллипс; если она параллельна одной образующей (рис. 6.2, б), то сечение - пара бола; если двум образующим (рис. 6.2, в), то сечение - ги пербола.
Если секущая плоскость прямого конуса проходит парал лельно его основанию, то сечением будет окружность.
Рис. 6.2. Сечения конуса
Размеры эллипса (рис. 6.3) определяются полуосями а и Ь. У эллипса имеются две характерные точки - фокусы F, и F2
Примечательность фокусов состоит в том, что любая про извольная точка М эллипса характеризуется равенством
F}M + F2M = const = 2а .
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
112
Для характеристики формы эллипса используют отношение полуосей, или эксцентриситет е.
а
Уравнение эллипса в полярных координатах име ет вид
„2 Ь2
Рt1- е2 cos2ср
Парабола (рис. 6.4) является геометрическим местом то чек, равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной пря мой (директрисы). О - вершина параболы; F - фокус (OF = р); NN' - директриса; р - фокальный параметр; FM - фокальный радиус-вектор точки параболы.
Уравнение параболы имеет вид
у - а х 2 +Ъх + с
Гипербола - геомет рическое место точек, для каждой из которых раз ность расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная (рис. 6.5, а).
FXM - F2M = 2a - const.
Запишем каноническое уравнение гиперболы: 2
здесь
Ь = -\/с2 - а 2
113
Рис. 6.5. Гипербола
Угловой коэффициент асимптоты (рис. 6.5, б)
к = tg a = —
а
Уравнение асимптоты имеет вид
|
у = -Ьх |
|
а |
6.5.1. |
Круговые орбиты |
|
Запишем уравнение статиче |
|
ского равновесия спутника на кру |
|
говой орбите (рис. 6.6): |
|
Кр = К б , |
|
где Fu6 - центробежная сила инер |
|
ции, или |
|
GMm |
Рис. 6.6. Круговая |
R2 |
|
|
орбита |
8 = Лс • |
114
Отсюда скорость спутника
V =
чем больше радиус орбиты R, тем меньше эта скорость. Угловая скорость (круговая частота) движения спутника
относительно центра орбиты |
|
|
|
V |
1 [GM |
со = — = —J ------ |
||
|
R |
RV R |
Период обращения спутника |
||
Т |
со |
VGM |
|
||
Отсюда |
|
|
l l |
4п2 = const. |
|
R3 |
GM |
|
Э то тр е т и й закон Кеплера. Космическая скорость
V, = y/gR = 70,0098-6371 = 7,9 км/с.
Скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно могло стать искусственным спутником, летящим над Землей, называ ется первой космической скоростью.
6.5.2. Эллиптические орбиты
Как известно, эллипс представляет собой геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.
В одном из фокусов эллипса находится притягивающий центр (первый закон Кеплера), а второй фокус оказывается «пустым».
115
Основными параметрами эллиптической орбиты являются большая полуось
2
(га, гп - радиусы апогея и перигея), определяющая среднее рас стояние до притягивающего центра, и малая полуось Ь\
b = л1а2 - с 2
Фокусное расстояние с называют линейным эксцентриси тетом.
Ускорение характеризует бы строту изменения вектора скорости движения материальной точки. Иными словами, ускорение - это скорость изменения скорости.
Скорость - вектор, а вектор, в общем случае, может изменяться по величине и направлению (рис. 6.7).
Изменение скорости V по величине характеризуется тан
генциальным (касательным), или переносным, ускорением Л , а
изменение V по направлению - нормальным (или центростре
мительным) ускорением |
j n |
либо поворотным, или центростре |
мительным ( уцс), ускорением. |
||
Вектор ускорения |
j |
= j x + j n лежит в плоскости траекто |
рии и направлен в сторону вогнутости траектории.
Для определения выражений ускорений движущейся ма териальной точки рассмотрим ее в положениях 1 и 2, разДелен* ных временным промежутком At (рис. 6.8).
Ух AV |
2 |
V2 |
Рис. 6.8. Параметры движения
116
Изменение вектора скорости материальной точки
v2 - v ] = a v
представим в виде суммы двух приращений: AV = AVn + AVT.
Составляющая ускорения движения материальной точки
|
. |
AV |
|
|
|
|
Л = |
At |
|
|
|
|
AVn |
VcoAt |
„ |
|
|
Jn = — ^ = ------- = Kco . |
|
||||
|
At |
At |
|
|
|
При движении материальной точки |
|
||||
по окружности нормальное ускорение |
|
|
|||
J , - y » |
V2 |
|
|
|
|
= T |
|
|
|
||
называют центростремительным. |
|
Vv= Viо |
|||
Центростремительное ускорение |
- |
||||
|
|||||
частный случай нормального (поворотно |
Рис. 6.9. Вектор у„ |
||||
го) ускорения. |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Поворотное ускорение легко определяется по линейной |
|||||
скорости конца вектора V переносной скорости при вращении |
|||||
его с со (рис. 6.9). |
|
|
|
|
|
6.5.3. |
Расчет орбиты спутника |
||||
Рассмотрим плоское движение материального тела массой т в полярных координатах (рис. 6.10).
Координаты точки С определяются следующими выра жениями:
а, = а „ , + Д а ; R, = Л,_, + ДR
Приращения полярных координат материальной точки С за время At можно представить уравнениями:
117
|
|
|
* |
|
• л |
•• |
|
|
|
|
|
Да = аД/ + а ----- ; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
22 |
(6.1) |
|
|
|
Ar = RAt + R ^ —. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Линейная |
скорость |
V точ |
||||
|
|
ки С имеет радиальную состав |
||||||
|
|
ляющую |
R |
и |
трансверсальную |
|||
|
|
R d , |
направленные |
соответст |
||||
|
|
венно по полярному радиусу- |
||||||
|
|
вектору |
R |
и |
перпендикулярно |
|||
|
|
к нему |
в |
сторону |
возрастания |
|||
|
|
угла а . |
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.10. Параметры движения |
Ускорение точки |
С опре |
||||||
деляется |
векторной |
суммой ли |
||||||
|
спутника |
нейных скоростей концов векто |
||||||
|
|
|||||||
ров R и |
R a и имеет радиальную составляющую |
и трансвер |
||||||
сальную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vr = R - R d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Va = 2 Rd + R d . |
|
|
|
|
|
||
Основное уравнение динамики материальной точки С |
||||||||
массой т |
- второй закон Ньютона |
|
|
|
|
|
|
|
|
mV = F , |
|
|
|
|
|
|
|
где F - |
вектор внешней силы, в проекциях на подвижные на |
|||||||
правления выражается функциями. |
|
|
|
|
|
|
||
|
m (R -R d 2) = - F rp- |
|
|
|
(6.2) |
|||
|
m(2Rd + R a) = 0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
где Frp - сила гравитационного притяжения, |
|
|
|
|||||
|
„ |
GMm |
|
|
|
|
|
|
118
Первое уравнение системы (6.2) можно представить в виде
|
R = R d2 - g , |
(6.3) |
|||
где g - ускорение силы поля тяготения в точке С, |
|
||||
|
|
|
|
GM |
|
|
|
8 ~ |
R2 |
|
|
Второе уравнение системы (6.2) запишем относительно |
|||||
углового ускорения: |
|
|
|
|
|
|
|
.. |
- 2 Rd |
(6.4) |
|
|
|
а = |
|
* • |
|
или представим в виде |
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
- |
-± (R 2d) = 0 . |
(6.5) |
||
|
г |
dt |
|
|
|
Действительно, после дифференцированйя (6.5) по време |
|||||
ни, получим |
|
|
|
|
|
|
- (IRRct + R2а ) = 2Rd + Rd . |
|
|||
|
Г |
|
|
|
|
Из (6.5) имеем |
|
|
|
|
|
или |
|
R2d = const |
(6.6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Л2<х = Л2(0 )а (0 ). |
(6.7) |
|||
Алгоритм решения получен. |
|
||||
Заметим: |
|
|
|
|
|
1. Из выражения (6.5) |
|
|
|
||
|
mR2d = М |
= L - const - |
|
||
это закон сохранения момента импульса спутника. |
|||||
2. |
Из рис. 6.10 |
следует, что R2а / 2 |
выражает площад |
||
прямоугольного треугольника ОАС, равного по площади тре угольнику ОВС. Это выражение определяет скорость изменения площади. Отсюда, на основании выражения (6.6), вытекает второй закон Кеплера: радиус-вектор R спутника ом етает за равные промеж утки времени равные площади.
119
6.5.4. Расчет параметров орбиты спутника
Найдем математическую связь скорости ометания площа ди, периода обращения и параметров эллипса с начальными ус
ловиями: К(0), R(0) или V,R и sin(F,/)*
Полная энергия материального тела С определяется сум мой кинетической и потенциальной энергий:
„ |
„ „ mV2 GM |
(6.8) |
Е |
= ЕК+ Е п = -------------— т = const, |
2R
иявляется постоянной отрицательной величиной. В этом легко убедиться при рассмотрении движения материального тела по круговой орбите. Действительно, в этом предельном для эллип тической траектории случае, с учетом равенства ускорений
|
|
V2 |
GM |
|
(6.9) |
|
|
R ~ |
R2 ’ |
|
|
имеем |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
т |
GM |
GM |
т |
mGM |
Л |
Е |
~R~ |
------R |
2R |
< 0. |
|
~2 |
|
|
|||
Таким образом, поделив (6.8) на т / 2 |
и обозначив полу |
||||
ченную при этом постоянную в правой части С ,, запишем |
|||||
|
V2 = -С, + Cj_ |
|
(6.10) |
||
где постоянная |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С, = ^ ^ r ~ V 2(0), |
(6.11) |
|||
|
|
R(0) |
|
||
|
|
С2 = 2GM. |
|
|
|
Умножая равенство (6.10) на R2, будем иметь |
|||||
|
V2R2 = -С ,Я 2 + С2Я . |
(6.12) |
|||
Модуль радиуса-вектора спутника определяется выра жением
120