книги / Статистические исследования контроля качества в автоматизированных системах

−∞

Статистической оценкой математического ожидания является выборочное среднее арифметическое значение случайной величины – сумма значений рассматриваемой величины, полученных по результатам испытания выборки, деленная на ее объём:

где mi – частота появления xi.

Математическое ожидание (среднее арифметическое значение) случайной величины называют часто центром рассеяния или центром группирования случайной величины. Математическое ожидание является оценкой истинного значения измеряемой величины.

Медианой случайной величины (Ме) называется значение, для которого

Р(х < Ме) = Р(х > Ме),

то есть вероятность появления случайной величины, меньшей, чем медиана, или большей, чем медиана, одинакова (рис. 3.7).

f(x)

x

Ме

Рис. 3.7. Геометрическая медиана

32

Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам:

В случае симметричного одномодульного распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой:

Ме = Мх = Мо.

Ввиду того, что величина Х является случайной, фактические значения ее будут лежать как правее, так и левее среднего значения.

Для нахождения медианы (значения признака у средней единицы ранжированного ряда) используют ряд накопленных частот. Медианным является интервал, в котором накопленная численность единиц совокупности составляет более половины их общего числа (накопленная относительная численность более 50 %).

а затем по накопленным частотам определяется либо сама медиана (для дискретных рядов), либо медианный интервал (для интервальных рядов), в котором путем простой интерполяции рассчитывается значение медианы по формуле

где x0 – нижняя граница медианного интервала; h – величина меди-

анного интервала; m – порядковый номер медианы; mMe−1 – на-

2

копленная частота до медианного интервала; mMe – частота медианного интервала.

33

Медиану используют вместо средней арифметической, когда крайние варианты ранжированного ряда (наименьшая и наибольшая) по сравнению с остальными оказываются чрезмерно большими или чрезмерно малыми.

Мерой рассеяния случайной величины Х около ее среднего значения x служит стандартное (или среднее квадратическое) отклонение σ:

Когда оценка стандартного отклонения осуществляется на основе статистических данных, ее называют выборочным средним квадратическим отклонением, обозначают буквой S и определяют по формуле

n

(xi − x )2

С целью экономии времени и уменьшения ошибок при подсчетах S, когда n велико, а хi – большие или нецелые числа, следует использовать тождество:

При этом для определения σ по данным непосредственных измерений (формула (3.12)) погрешность определения среднего

34

квадратического, обозначаемого в этом случае буквой S, зависит от общего количества N измерений изучаемого признака и в отдельных случаях весьма значительно. Учитывая это обстоятельство, для предотвращения возможного появления брака целесообразно при использовании формулы ω ≈ 6 σ (поле рассеяния, определяемое кривой Гаусса) принять соотношение:

σ = kσ S,

где kσ − коэффициент, учитывающий погрешность определения среднего квадратического (табл. 3.1); S – среднее квадратическое,

Для характеристики разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания используют вторую меру рассеяния – дисперсию (означает рассеивание). Ее значение возрастает с увеличением рассеяния результатов наблюдения.

Дисперсия определяется по формулам (3.13)…(3.15):

i=1

где хi− дискретная случайная величина. Для непрерывной случайной величины хi дисперсия определяется по формуле

−∞

35

Дисперсия эмпирических данных вычисляется по формуле

n

(xi − x )2

Пример 3.2. Проведем расчёт средней арифметической, моды и медианы по данным интервального ряда (сгруппированным данным) согласно табл. 3.2.

Для расчёта средней арифметической используем середины интервалов в качестве значений признаков, что несколько исказит результат, поскольку априори полагаем, что внутри групп распределение равномерное.

Допущение: исходя из того, что для открытых интервалов расчёт, строго говоря, не возможен, в этом случае берут величины предыдущих (последующих) интервалов, либо для расчета в качестве средней арифметической используют моду или медиану.

Решение. Рассчитаем среднюю арифметическую величину:

x = 10 20 + 30 40 + 50 35 + 70 30 + 90 25 = 50. 150

Для расчёта моды по табл. 3.2 определяем, что второй интервал является модальным (мода находится в интервале от 20 до 40). Далее применяется формула (3.5):

36

Для расчёта медианы определяем накопленную частоту, которая превышает половину суммы накопленных частот (в нашем случае – 75) и находится в третьем интервале, то есть имеет значение между 40 и 60. Для точного расчёта применяется формула (3.9):

=671,14 = 25,91;

σ= 1,175 · 25,91 = 30,44; Dx = 926,59.

3.5.РАСЧЁТ МЕР ПОЛОЖЕНИЯ И РАССЕЯНИЯ КРИВОЙ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОГРАММЕ «STATISTICA 8»

Приведем расчёты мер положения и рассеяния случайной величины в программном продукте «STATISTICA 8», используя в качестве изучаемого признака (xi) размер детали (приложение 1 «Исходные данные»).

На первом этапе работы с программой необходимо сформировать (загрузить) исходные данные (101 значение) и отсортировать их в порядке возрастания (рис. 3.8). Для этого необходимо использовать либо открытую по умолчанию электронную таблицу («Spreadsheet»), либо создать новую, выбрав в основном меню «File» пункт «New» (вкладка «Spreadsheet»).

37