книги / Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке. Статистическая обработка и планирование эксперимента

2.4. МАТРИЦЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ПРИ БОЛЬШОМ ЧИСЛЕ ФАКТОРОВ

При k = 2 построение матриц полного факторного эксперимента не вызывает затруднений, так как все возможные сочетания уровней факторов легко найти простым перебором. При увеличении числа факторов количество возможных сочетаний уровней быстро возрастает, поэтому возникает необходимость в некоторых приемах построения матриц.

Первый прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце (х1) знаки чередуются поочередно, во втором чередуются через два, в третьем – через четыре, в четвертом – через восемь и так далее по степеням двойки (табл. 8).

Второй прием основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана сначала при значении нового фактора на верхнем уровне, а затем на нижнем.

41

2.5. ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

При большом числе факторов (k > 3) проведение полного факторного эксперимента связано с большим числом опытов, значительно превосходящим число коэффициентов линейной модели. Если при получении модели можно ограничиться линейным приближением, т.е. получить адекватную модель в виде полинома

y = b0 + b1x1 + b2x2 + …. + bnxn,

то число опытов можно резко сократить в результате использования дробного факторного эксперимента.

Так, например, в полном факторном эксперименте типа 22 при линейном приближении коэффициент регрессии b12 можно принять равным нулю, а столбец х1 х2 матрицы использовать для третьего фактора. В этом случае линейная модель будет выражаться уравнением

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3.

Для определения коэффициентов этого уравнения достаточно провести четыре опыта вместо восьми в полном факторном эксперименте типа 23. План эксперимента, предусматривающий реализацию половины опытов полного факторного эксперимента, называют полурепликой. При увеличении числа факторов (k > 3) возможно применение реплик большей дробности. Дробной репликой называют план эксперимента, являющийся частью плана полного факторного эксперимента. Дробные реплики обозначают выражением 2k–p, где р – число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия. При р = 1 получают полуреплику, при р = 2 получают 1/4 реплики и так далее по степеням двойки. Матрица планирования приведена в табл. 9.

42

Часто приходится решать задачи, в которых эффекты взаимодействия хоть и малы по сравнению с линейными эффектами, но все же не равны нулю, поэтому важно рассмотреть вопрос о разрешающей способности дробных реплик с тем, чтобы показать, когда и какие эффекты определяются совместно. Введем понятие генерирующих соотношений, при помощи которых задаются дробные реплики.

Например, планирование типа 23–1 может быть представлено двумя разными полурепликами, каждая из которых задается одним из следующих генерирующих соотношений:

x3 = x1 x2 , x3 = −x1 x2 .

Обозначим элементы первого столбца матрицы планирования символом I (все они равны единице). Найдем соотношения, определяющие элементы первого столбца для каждой из полуреплик. Умножая правые и левые части написанных выше соотношений на х3, получим

так как всегда xi2 = I.

Определяющим контрастом называются соотношения, задающие элементы первого столбца. Две рассматриваемые полуреплики будут иметь определяющие контрасты

I = x1 x2 x3 , I = −x1 x2 x3 .

Зная определяющий контраст, можно найти соотношения, задающие совместные оценки. Для этого необходимо помножить независимые переменные х1, х2 и х3 на определяющий контраст. В нашем случае совместные оценки будут задаваться соотношениями

Это значит, что коэффициенты регрессии двух полуреплик будут оценками

43

В табл. 7 была приведена матрица планирования с генерирующим соотношением x3 = x1x2 . Матрица планирования с генерирующим соотношением x3 = −x1x2 приведена в табл. 10.

2.6. СВОЙСТВА МАТРИЦ ПОЛНОГО И ДРОБНОГО ФАКТОРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Для матриц таких экспериментов характерны следующие свойства:

– свойства симметричности относительно центра эксперимента – алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю;

N

∑ xi, j = 0, j =1

где j – номер опыта; i – номер фактора; N – число опытов в матрице;

– свойства нормировки – сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

N

∑ xi, j 2 = N;

j=1

–свойство ортогональности – сумма построчных произведений элементов любых двух столбцов равна нулю:

N

∑ xi, j xl , j = 0, j =1

где i, l – номера факторов, причем i ≠ l.

44

Ортогональность является одним из наиболее важных свойств матрицы. Ортогональность матрицы позволяет оценить все коэффициенты уравнения регрессии независимо друг от друга, т.е. величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты. Если тот или иной коэффициент регрессии окажется незначимым, то его можно отбросить, не пересчитывая остальных;

– свойство рототабельности − точки в матрице планирования подбирают так, что математическая модель, полученная по результатам полного или дробного факторных экспериментов, способна предсказать значения параметра оптимизации с одинаковой точностью в любых направлениях на равных расстояниях от центра эксперимента. Это очень важное свойство матрицы, так как, начиная эксперимент, исследователь не знает, в каком направлении предстоит двигаться в поисках оптимума.

2.7. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА БОКСА – УИЛСОНА

Рассмотрим метод Бокса – Уилсона на примере исследования модифицирования чистого алюминия молибденом. В качестве параметра оптимизации y выбрали число зерен алюминия в 1 см3, определяющееся с помощью металлографических исследований. Изучение научнотехнической литературы показало, что на параметр оптимизации существенное влияние оказывают следующие факторы:

х1 – количество введенного в алюминий молибдена, %; х2 – температура перегрева, °С; х3 – время нагрева, мин;

х4 – фактор качественный, принимающий два значения: быстрое охлаждение в графитовомтигле и медленное охлаждение вшамотномтигле.

Составим таблицу с выбранными интервалами варьирования и уровнями факторов (табл. 11).

Была реализована полуреплика 24–1. Матрица планирования и результаты опытов приведены в табл. 12. Опыты не дублировали.

Таблица 12

Для определения дисперсии параметра оптимизации было проведено три опыта при нахождении факторов на основных уровнях (графитовый тигель). Полученные значения параметра оптимизации yu, его среднее значение yср, отклонения значений параметра оптимизации от его среднего значения (yu − yср) и квадрата этих отклонений приведены в табл. 13.

3

∑( yu − yср)2 = 8.

n=1

Коэффициенты модели определяют по формулам

После вычислений получим

b0 = 83,1; b1 = 20,0; b2 = 11,9; b3 = – 5,1; b4 = – 9,4.

46

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид

y = 83,1 + 20x1 + 11,9x2 – 5,1x3 – 9,4x4.

Согласно полученной модели параметр оптимизации возрастает с увеличением значений факторов х1, х2 и уменьшением значений факторов х3 и х4. Наибольшее влияние на параметр оптимизации оказывает фактор х1.

2.8. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ОТСУТСТВИИ ДУБЛИРОВАНИЯ ОПЫТОВ

Обработку результатов в этом случае производят по следующей схеме.

1. Для вычисления дисперсии Sy2 воспроизводимости эксперимен-

та выполняют несколько параллельных опытов в нулевой точке (в центре плана). При постановке опытов в нулевой точке все факторы находятся на нулевых уровнях. По результатам опытов в центре плана вычисляют дисперсию воспроизводимости эксперимента по формуле

n0 −1

где n0 – число параллельных опытов в нулевой точке; yu – значение параметра оптимизации в u-м опыте; yср – среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n0 параллельных опытах.

2. Проверяют статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии. Проверку значимости коэффициентов можно производить двумя способами:

−сравнением абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом;

−с помощью t-критерия.

Среднюю квадратичную ошибку в определении коэффициентов регрессии определяют по формуле (первый способ)

47

где S2(bi) – дисперсия i-го коэффициента регрессии; N – число строк или опытов в матрице планирования. Из этой формулы следует, что дисперсии всех коэффициентов равны. Доверительный интервал коэффициентов регрессии ∆b i = ±t S(bi).

Значение t-критерия, входящего в эту формулу, находят по таблице для принятого уровня значимости и числа степеней свободы f, которое определяют по выражению f = n0 − 1. Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

При 5%-ном уровне значимости и числе степеней свободы f = n0 –1 = 2 табличное значение критерия t = 2,9. Следовательно,

∆ bi = ±2,059.

Значения t при 5%-ном уровне значимости приведены в табл. 14.

Все коэффициенты регрессии по абсолютной величине больше доверительного интервала, поэтому их можно признать статистически значимыми.

При проверке значимости коэффициентов вторым способом вычисляют tp-критерий по выражению

и сравнивают его с табличным tт. Коэффициент значим, если tp > tт. Критерий Стьюдента t вычисляют для каждого коэффициента регрессии. Статистически незначимые коэффициенты могут быть исключены из уравнения.

48

где yj – значение параметра оптимизации в j-м опыте; ycpj – значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий j-го опыта; f – число степеней свободы, которое для линейной модели определяется по выражению f = N – (k + 1), где k – число факторов.

4. Проверяют гипотезу адекватности модели по F-критерию Фишера, используя формулу

Применительно к нашему примеру

Если Fp < Fт для принятого уровня значимости и соответствующих степеней свободы, то модель считают адекватной. При Fp > Fт гипотеза адекватности отвергается. В этом случае для получения адекватной модели принимают одно из следующих решений:

–переходят к планированию второго или более высокого порядка;

–уменьшают интервалы варьирования и ставят полный эксперимент, повторяя эти действия до получения адекватной линейной модели.

49

Табличное значение Fт-критерия при 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя 3 и знаменателя 2 равно 19,2, значит Fp < Fт. Следовательно, модель адекватна. Полученное уравнение можно использовать для крутого восхождения по поверхности отклика.

Если линейная модель адекватна, то переходят к методу крутого восхождения. Следует помнить, что крутое восхождение эффективно тогда, когда все коэффициенты при факторах значимы. Незначимость некоторых коэффициентов может получиться вследствие неудачно выбранных интервалов варьирования; включения факторов, не влияющих на параметр оптимизации; большой ошибки опыта.

Если принята первая гипотеза, то изменяют интервалы варьирования по незначимым факторам и ставят новую серию опытов. Если принята вторая, то не влияющие факторы стабилизируют и исключают из опытов. Если принята третья гипотеза, то увеличивают число параллельных опытов. Увеличение числа этих опытов приводит к уменьшению дисперсии коэффициентов и величины доверительного интервала, в результате все или часть коэффициентов могут оказаться значимыми.

Возможен случай, когда все коэффициенты, кроме b0, незначимы, а модель адекватна. Такая ситуация чаще всего возникает из-за слишком узких интервалов варьирования или вследствие большой ошибки опыта.

Вэтом случае возможны два решения:

−расширение интервалов варьирования;

−повышение точности эксперимента путем улучшения методики проведения опытов и увеличения числа параллельных опытов.

2.9. КРУТОЕ ВОСХОЖДЕНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ОТКЛИКА

Если изменять факторы пропорционально их коэффициентам с учетом знака, то движение к оптимуму будет осуществляться по самому крутому пути. Этот процесс движения к области оптимума называют крутым восхождением. Технику расчета крутого восхождения рассмотрим на примере задачи с одним фактором.

Предположим, что кривая 1 (рис. 15) представляет собой неизвестную функцию отклика. В результате реализации плана эксперимента с центром в точке О получено уравнение регрессии y = b0 + b1x1, адекватно описывающее функцию отклика в области значений факторов от –1 до +1. Значение коэффициента регрессии b1 равно тангенсу угла между линией регрессии и осью данного фактора. Если шаг движения

50