книги / Методы измерений в волоконной оптике

Случайные погрешности

Если каждое из n измерений физической величины проделать N раз, то непрерывный диапазон возможных значений величины х разбивается на некоторое количество интервалов. При N → ∞ распределение измерений стремится к непрерывной симметричной колоколообразной кри-

вой, называемой предельным распределением.

График предельного распределения определяет непрерывную гладкую функцию f(x), представленную на рис. 4.1. Доля измерений, которые попадают в любой малый интервал dx (от x до x+dx ), равна площади на графике f(x)dx. Доля измерений, которые попадают в конечный интервал между х = а и х = b, равна площади под кривой, ограниченной на оси Ох отрезком ab (рис. 4.1). Но эта площадь вычисляется с помощью определенного интеграла от f(x). Таким образом, мы получили

важный результат: значение интеграла ∫b f (x) dx равно доле измерений,

a

попадающих в интервал от x = a до x = b. Таким образом, значение интеграла есть вероятность того, что результат любого единичного измерения попадет в интервал [a; b]. Тогда f(x)dx – вероятность того, что любое единичное измерение приведет к результату, лежащему в интервале от x до x + dx, то есть внутри dx.

Рис. 4.1. График предельного распределения

Условие нормировки предельного распределения

в пределах изменения измеряемой величины от −∞ до +∞ равна 1. Гео-

91

метрически это означает, что площадь под всей кривой предельного распределения равна 1.

В нормировочном интеграле стоят бесконечные (в математическом смысле) пределы. Применительно к нашему случаю это означает, что мы не знаем действительной величины конечных пределов измеряемой переменной х и поэтому берем «с запасом», кроме того, сама функция распределения f (x) → 0 достаточно быстро у границ диапазона разброса измеренных значений величины х. Функция предельного распределения f(x) предсказывает, как были бы распределены результаты после очень многих измерений величины х с помощью данной измерительной аппаратуры.

Зная математическое выражение функции f(x), можно рассчитать ряд важных величин:

а) среднее значение величины

−∞

В этом случае измеренные значения распределяются по колоколообразной кривой, центр которой совпадает с истинным значением Х физической величины х (рис. 4.2). В математике функция, график которой имеет форму колоколообразной кривой, на-

Рис. 4.2. Функция Гаусса зывается функцией Гаусса или функцией нормального распределения. Вид

этой функции:

где σ – параметр распределения, который называется параметром ширины или шириной. График функции представлен на рис. 4.3.

92

Сделаем замену переменных: z = (x – X) / σ и условие нормировки преобразуем к виду

В результате получился известный интеграл математической физи-

ки – интеграл Пуассона

−∞

Теперь условие нормировки преобразуем к виду

−∞

Окончательно нормированная функция Гаусса, или нормированная функция нормального распределения случайных величин, – результатов измерений физической величины х – имеет вид

где два нижних индекса у f являются параметрами распределения и оз-

начают следующее: Х – центр функции; σ – ширина распределения.

График функции представлен на рис. 4.4. Здесь кривая с σ1 имеет более острый пик, что соответствует более точным измерениям, которые «собраны» возле истинного значения Х; кривая с σ2 > σ1 имеет более пологий вид, это соответствует измерениям, проведенным с меньшей точностью. Площади под обеими кривыми равны 1, что следует из условия нормировки, поэтому высота кривых разная.

Рис. 4.4. Нормированная функция Гаусса при разной ширине распределения

94

Говорят, что результаты измерений х распределены нормально, если их предельное распределение описывается нормированной функцией Гаусса с центром на истинном значении Х, а на результаты оказывали влияние только случайные ошибки.

Если известно предельное распределение для очень большого числа измерений – значения Х и σ функции Гаусса, то можно вычислить x :

Сделаем замену переменных у = х – Х и исходный интеграл разобьем на два интеграла:

Первый интеграл равен нулю, так как подынтегральная функция нечетная, второй интеграл нам уже встречался ранее при нормировке функции распределения. Сделаем еще одну замену переменных z = y / σ, после чего получим интеграл Пуассона

Окончательно получим

Таким образом, если результаты измерений получены в соответствии с распределением Гаусса, то в случае очень большого числа измерений среднее арифметическое x равно истинному значению Х, которое соответствует центру функции Гаусса.

Вычислим стандартное отклонение, зная вид функции Гаусса:

Здесь мы воспользовались полученным результатом x = X . Для вычисления интеграла сделаем замену переменных z = (x – X) / σ, тогда

95

Получился еще один известный интеграл математической физики

Окончательно получаем

Таким образом, параметр ширины σ функции Гаусса fX ,σ(x) есть

просто стандартное отклонение, которое мы получили бы в результате очень многих измерений.

Вычислим вероятность P(σ) того, что результат единичного измерения (если результаты измерений распределены нормально) окажется в пределах одного стандартного отклонения σ от истинного значения Х: X – σ ≤ x ≤ X + σ. Обозначим P(σ) = P(X – σ ≤ x ≤ X + σ), тогда

Величина интеграла равна площади фигуры S на рис. 4.5. Для вычисления интеграла сделаем подстановку z = (x–X) / σ, тогда в новых переменных получим

Рис. 4.5. К определению вероятности

Обобщим рассмотрение. Будем искать вероятность P(tσ) того, что единичный результат будет лежать в пределах X – t σ ≤ x ≤ X + t σ, где t – любое положительное число. Тогда после аналогичных преобразований получим

96

Это стандартный интеграл математической физики называется ин-

тегралом (функцией) ошибок и обозначается как erf (t).

График функции P(tσ) изображен на рис. 4.6, из которого следует, что с увеличением t вероятность P(tσ) быстро стремится к 100 %. При t = 1 P(tσ) = 68 %. Это означает, что вероятность того, что результат единичного измерения окажется в пределах одного стандартного отклонения от истинного значения Х: X – σ ≤ x ≤ X + σ, составляет 68 %.

Рис. 4.6. Функция ошибок

Для результатов измерений, которые распределены нормально, вводится еще одно понятие – вероятная ошибка: P(tσ) = 50 % при зна-

чении t = 0,674.

На практике число измерений ограничено (n ≈ 10). Интервал x − ∆ x ≤ x ≤ x + ∆ x , в который с определенной вероятностью α попадает истинное значение Х (или х0), называется доверительным интервалом,

а вероятность α называется доверительной вероятностью или надежностью.

При недостаточно большом числе измерений распределение случайных величин имеет несколько иной, отличный от гауссовского, характер. В этом случае вместо коэффициента t вводится коэффициент Стьюдента tα,n, зависящий от числа проведенных измерений n и от величины надежности α

tα ,n = ∆xслуч / ∆S,

97

n

где ∆S = ∑(xi − x)2 n(n −1) – среднеквадратичная погрешность всей

i=1

серии измерений.

Распределение Стьюдента было введено в 1908 г. английским математиком и химиком В. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом Student – студент. Значения tα,n табулированы.

При n → ∞ ∆S → σx , то есть переходит в стандартное отклонение среднего, а tα ,n → t .

Естественно, что при заданной надежности α доверительный интервал 2∆x = 2tα ,n ∆S при малом числе измерений n должен быть шире,

чем в случае нормального распределения. Например, в случае распределения Гаусса при Р = 95,4 % значение t = 2, тогда как распределение Стьюдента при α = 95 % дает: tα,n = 2,78 при n = 5; tα,n = 2,26 при n = 10; tα,n = 2,09 при n = 20.

Если результаты измерений описываются нормальным распределением fX ,σ (x) и нам известны параметры X и α, то вероятность получе-

ния результата вблизи x1 в малом интервале dx1, то есть от x1 до x1 + dx1, есть (рис. 4.7)

или

P(x1 ) ≈ σ1 е−( x1 − X )2 2σ2 .

Рис. 4.7. Геометрическая интерпретация вероятности

98

Вероятность получения второго результата x2 есть

P(x2 ) ≈ σ1 е−( x2 − X )2 2σ2

На практике обычно имеется конечное число N измеренных значений какой-либо величины х, и мы не знаем предельного распределения. Чтобы найти наилучшие оценки для X и α, основываясь на этих имеющихся N измеренных x: x1, x2, …, xN, необходимо решить обратнуюзадачу.

Введем статистический принцип максимального правдоподобия.

Вероятность возможности получения всей совокупности N независимых измерений равна произведению отдельных вероятностей для каждого отсчета x1, x2, …, xN. (Вероятность одновременной реализации нескольких независимых событий равна произведению вероятностей каждого события в отдельности.) Таким образом, можно записать

В соответствии с принципом максимального правдоподобия для данных N значений x1, x2, …, xN наилучшими оценками X и σ будут такие, для которых значения величин x1, x2, …, xN наиболее вероятны, то есть PX ,σ (x1,..., xN ) = max. Это возможно, если сумма в показателе экс-

поненты достигает min, то есть наилучшая оценка для Х будет при

N

∑ xi − NX = 0 .

i=1

N

Наилучшая оценка X = x = ∑ xi N , то есть X = x . Эта оценка для

i=1

Хравна среднему значению имеющихся N измерений: x1, x2, …, xN.

Найдем наилучшую оценку для σ из условия ∂ PX ,σ ∂σ = 0 . Введем

99

Откуда σ2 = R / N или, если вернуться к начальным переменным,

Полученная оценка σ – ширины предельного распределения – есть стандартное отклонение N единичных измеренных значений x1, x2, …, xN. Наилучшая оценка

Большинство физических величин невозможно измерить непосредственно с помощью приборов, поэтому их определяют в два этапа:

1)измеряют величины, которые могут быть непосредственно измерены в экспериментах, то есть проводят прямые измерения;

2)с использованием результатов прямых измерений по формуле вычисляют искомую косвенную величину.

Оценку погрешностей косвенных измерений также проводят в два этапа:

1)оценивают погрешности прямых измерений;

2)эти погрешности «распространяют» на погрешность рассчитываемой косвенной величины.

Рассмотрим правила расчета погрешности косвенного измерения q по известным погрешностям прямых измерений x и y. Пусть между величиной q, которую мы определяем, и переменными х и у имеется функциональная зависимость: q = q(x, y). Предполагаем, что на первом этапе работы измерены величины х и у, после чего подсчитаны соответствующие погрешности ∆ x и ∆у. Теперь, на втором этапе работы, не-

обходимо вычислить наилучшую оценку величины q и определить, как

где εq = ∆qq . Требуется найти q; ∆ q; εq .

100