книги / Российский журнал биомеханики. 2012, т. 16, 2

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

u(0) =0, P (0) = 0, C (0) = C

u(1) = 0, P (1) = P , C'(1) = 0, C'

Поскольку коэффициент близок к 1,

то множитель 1 O( ).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

7.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Асимптотическое исследование транспортных процессов в корне растения

Рассмотрим следующие граничные условия [7]. Будем считать, что концентрация внешнего раствора на входе ( x = 0), а также давления во внешней среде на входе и на выходе ( x = lx ) заданы. Полагая, что внеклеточная жидкость имеет

непосредственный контакт с внешней средой и сосудами ксилемы, а поступление жидкости и растворенных веществ во внутриклеточную среду осуществляется путем массообмена только с внеклеточной жидкостью, ставим следующие условия на внешней и внутренней границах:

P (0) = P , U(0) = 0,

dC1

= 0, C

(0) = C ,

x=0

(lx) = P2x

, U(lx ) = 0,

dC1

= 0,

dC2

= 0.

x=l

Последнее условие означает чисто конвективный унос растворенного вещества в сосуды ксилемы.

Перейдем к безразмерным переменным. В качестве характерных значений концентрации, давления, скорости и координаты выберем следующие величины:

c = C

p = c R

, v =

(c* C2e)

, l = l

klx

Введем безразмерные величины:

A =

1 v*

A =

2 v*

L l c R

l c R

* *

p *

= J

, J

= J

, D

A v c

v l

* *

2 * *

* *

k =

kv*l*

m =

mv*l*

c R

1 *

2 *

В безразмерном виде система уравнений и граничных условий примет следующий вид:

= P P

(C C ),

1 dx

= P P

C ),

2 dx

dP1

= ku

dC1

dP2

= mv,

d( Cu)

= (C C ) J

dx2

d(C2v)

(C C ) J

d2C2

dx2

x = 0:P = 0, u = 0,

dC1

= 0, C

= C

x =1:P = P ,

u = 0,

dC1

= 0,

dC2

= 0.

ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 2 (56): 59–67

Е.Н. Юдина

Аналогичная система была решена численно в работе [7]. Для этого была построена консервативно-неявная схема, которая решалась методом итераций. На каждой итерации использовался метод прогонки. Кроме того, в работе [7] были сделаны оценки, которые позволяют принять следующие выражения для коэффициентов:

A = 4	,	A = 4	,	D1	= 3,	1	= 4,	= 3,	0	=1,

1		2		J1		D2

где – малый параметр.

Получаем систему уравнений, для которой будем искать асимптотическое решение

4u = P2 P1 (C2 C1),

4v = P2 P1 (C2 C1),

		P '= ku C'						,				(1)
		1					1
					1		'
		v	=				P ,
		v	=			m	P ,
						m	2
3			(C		C ) J					3	''
	(Cu) =		(C	2	C ) J				1		C	,
	1	1		2			1		1		1

4(C2v) = 2(C2 C1) J2 C''2

со следующими граничными условиями:

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

Приведем систему уравнений (1) к системе двух уравнений, исключая из нее переменные P1, u, v, C2 . Получим следующие уравнения для внеклеточного давления

P2 и внутриклеточной концентрации C1 :

m(C1P2 ) M1C1 =

3 ''

= 1

C1 kM1x M

2 J1

(1 )C1 kM1x M

2 '=

(3)

= 2

kM1x M2

(IV )

k ''

(1 )C1

62	ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 2 (56): 59–67

Асимптотическое исследование транспортных процессов в корне растения

Ввиду того что при получении системы дважды выполнялось интегрирование, уравнения включают две произвольных константы M1 и M2 . Система уравнений (3)

представляет замкнутую систему относительно переменных C1													и P2 . Остальные
неизвестные могут быть легко получены из исходной системы (1) при известных C1														и P2 .
Граничные условия (2) в переменных C1 и P2										имеют следующий вид:
P'(0) = mM		( ), P (0) = 0,		P''(0) =		m	C		M		( ) (1 )C (0)		, C'(0) = 0,
														(4)
2	1	2		2		4		20		2		1	1
P'	(1) = mM		( ), P (1) = P		, 4P'''(1) m2M							( ) = 0, C'(1) = 0.
2		1	2	21	2						1	1

В связи с наличием в задаче малых параметров будем рассматривать асимптотическое поведение решения.

Внешнее решение будем искать в следующем виде:

P (x) = P0(x) 2P1

(x),

(5)

C (x) = C0 (x).

При написании соотношений (5) принято допущение о структуре решения

вблизи точек x = 0 и x =1, правомерность которого будет обоснована ниже.

Подставим

решение

(5) в

систему (3).

Воспользуемся

тем

фактом, что

в исследуемой задаче в силу обезразмеривания выполнено соотношение 1J2 = 2J1,

что значительно упрощает выкладки. Окончательно получаем:

P =

( E kM

)x E M

2(E x E ),

(6)

k m

C1 = E01x E02,

где E01, E02, E11, E12

– подлежащие определению константы.

Теперь

построим

решение

вблизи

границ

x = 0

и x =1.

Проведём

анализ

граничных условий, чтобы определить, как ведут себя производные.

Рассмотрим сначала граничные условия при x =1. Имеем

'''

m2M1

P (1) = mM

( ) = O(1),

(1) =

(7)

Найдем

толщину

пограничного

слоя

вблизи

x =1. Исходя

из

первого

соотношения в (7) ищем решение в виде

1 x

P2 = P21 P2

, где

= ( ) 1.

Из второго соотношения в условии (7) получаем, что = 2 .

Как видно из оценки, во втором уравнении системы (3) не остаётся членов,

содержащих C1 , что позволяет найти

из этого уравнения,

а затем, используя это

решение, найти C1 из первого уравнения системы (3).

Сделаем замену переменных =

1 x

P21 P2

(x)

x =

P2(x) =

. Из второго

уравнения системы (3) получаем:

1 (IV)

P2 = 0.

ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 2 (56): 59–67

Е.Н. Юдина

Решение этого уравнения имеет вид

x m k

P2 = 0e

2 x 3,

где 0, 1, 2, 3 – константы, подлежащие

определению.

Коэффициент 1 = 0

находим из условия сращивания с внешним решением [2] для

P2 из (6). С учётом

граничного условия P2(1) = P21 имеем следующее решение в пограничном слое вблизи

x =1:

1 .

P2 = P21 2(1 x) 2 0

(1 x)/ 2

m k

(8)

Из граничных условий (7) имеем:

(

(m k)3/2.

(9)

m k

Аналогично в пограничном слое вблизи x = 0 решение ищем в виде

x P2 = P2 ,

где = 2.

С учетом граничного условия P2(0) = 0 получаем

P2 = 2x 2 0 e

x/ 2

1 ,

m k

(10)

где 0, 2

– константы, подлежащие определению.

Из остальных граничных условий (7) при x = 0 следует:

(

= C

m k

(1 )C (0).

(11)

m k

0 m

Из

сращивания

(10)

с внешним решением для P2 из (6)

на границе

x = 0

получаем:

2 =

E01 kM1 ,

m k

0 = E02 M2 J1 ,

0 = E12.

Из сращивания (8) с внешним решением для P2 из (6) на границе x =1 имеем:

2 =	m	E01 kM1 ,

	m k
P21 2 =	m		E02 M2	J1	,

				1
	m k
	0 =		E11 E12.

64	ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 2 (56): 59–67

Асимптотическое исследование транспортных процессов в корне растения

Используя полученные выше соотношения, а также соотношения (9) и (11), находим

= P

= P ,

= P

= P ,

21 k m k

C20

C (0) 2

P21

= 0,

m k

E = 2

P21m

E =

P21m

k m

m k

P .

= P

= C

(1 )C (0) 2

m k

Выпишем равномерно пригодное решение [2] для P2 :

P m

P2(x) = P21x 2

e m

k(x 1)/

1 .

(12)

Теперь, используя решение (12) для

P2 ,

найдём решение для

C1 . Для этого

подставим полученное решение в первое уравнение системы (3):

P21

x/ 2

(1 x)/ 2

m k

1 C1

m k

P21

x/ 2

(1 x)/ 2 C1 =

m k

(13)

= 3C1'' 1 C1 2 1P21 m k 2x 1C20 J1.

Рассмотрим следующее решение уравнения (13):

C1 =	C20		J1	о(1).	(14)

Следующее приближение не ищем, так как решение (14) удовлетворяет граничным условиям для C1 . Таким образом допущение (5) о структуре внешнего решения оправдано.

Отсюда найдем M2 :

M		= C		1	C		J1	2P	m k	.
	2		20			20
							1	21	k

Получаем решение для u , v , P1 , C2 :

u =

P21

x/ 2

(x 1)/ 2

P21(m k)

2 2

P21

m k

P P

v =

m k

e m

k (x 1)/

2 2

m k

(15)

P = P x C

m k

e m

k (x 1)/

1 21

m k

C2 = C20 2 2 P21m k x.

ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 2 (56): 59–67

Е.Н. Юдина

Анализ асимптотического решения (12), (14), (15) показывает, что структура функций в пограничных слоях определяется безразмерными коэффициентами гидравлических сопротивлений m и k . Все параметры модели входят в асимптотическое решение: таким образом, модель не переопределена.

СРАВНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЙ

Результаты сравнения представлены для следующих значений параметров, соответствующих оценкам, данным в статье [7]:

1 = 2;

2 = 0,052; J1 =1;

J2 = 0,026; k = 0,44; m =1; =1;

= 0,1.

Рис. Сравнение распределений внутриклеточного давления (а) и внутриклеточной скорости (б) (сплошная линия – численное решение, пунктирная – асимптотическое)

На рисунке приведены результаты численного расчета и асимптотического анализа для внутриклеточного давления P1 и внутриклеточной скорости u . Из графиков видно, что решения отличаются между собой не более, чем на . Результаты для внеклеточного давления P2 , внеклеточной скорости v , внутриклеточной и внеклеточной концентраций C1 и C2 не приводятся, так как численное и асимптотическое решения совпадают с графической точностью.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Найдено асимптотическое решение одномерной стационарной задачи о радиальном транспорте воды и растворенного в ней химического компонента в корне в предположении отсутствия барьера для перемещения внеклеточной жидкой фазы. Продемонстрирована высокая степень совпадения численного и асимптотического решений, что свидетельствует о корректности асимптотического подхода и подтверждает пригодность используемого численного метода для рассматриваемой задачи.

66	ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 2 (56): 59–67

Асимптотическое исследование транспортных процессов в корне растения

БЛАГОДАРНОСТИ

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 11-01-00774. Автор выражает благодарность А.В. Аксенову за внимание к работе.

	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Логвенков С.А., Штейн	А.А. Компартментальная модель поглощения воды корнями	растения
с учетом процессов на	клеточном уровне // Российский журнал биомеханики. – 2008.	– Т. 12,

№ 4 (42). – С. 18–32.

2.Найфе А.Х. Методы возмущений. – М.: Наука, 1986. – 454 с.

3.Штейн А.А., Юдина Е.Н. Математическая модель растущей растительной ткани как трехфазной деформируемой среды // Российский журнал биомеханики. – 2011. – Т. 15, № 1 (51). – С. 42–51.

4.Юдина Е.Н. Численное и аналитическое исследование радиального массопереноса в корне растения // Труды конференции-конкурса молодых ученых, 14–16 октября 2009 г. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2010. – С. 350–356.

5.Murphy R. Some compartmental models of the root: steady-state behavior // J. Theor. Biol. – 2000. – Vol. 207. – P. 557–576.

6.Stein A.A., Logvenkov S.A., Chalyuk A.T. Mathematical modeling of the plant root as a water-pumping cellular system // Mathematical Modelling & Computing in Biology and Medicine / ed. V. Capasso. – Bologna: Soc. Ed. Esculapio, 2003. – P. 206–212.

7.Stein A.A., Logvenkov S.A., Yudina E.N. Continual modeling of water uptake by plant roots // 6th Plant Biomechanics Conference, November 16–21, 2009. – Cayenne, 2009. – P. 140–147.

ASYMPTOTIC ANALYSIS OF TRANSPORT PROCESSES

IN THE PLANT ROOT

E.N. Yudina (Moscow, Russia)

The one-dimensional stationary problem of the radial transport of water and a chemical component dissolved in it across the root is solved using asymptotical analysis based on a continuum mathematical model. The model represents the plant tissue as a solid framework filled with a two-phase liquid (extracellular and intracellular). Both phases contain a solute. The case of the absence of a barrier impermeable to the extracellular fluid phase (Casparian bands) is considered. Comparison of the numerical and asymptotic solutions demonstrates a high degree of coincidence, which confirms the applicability of the numerical method used to this problem.

Key words: asymptotical methods, mathematical models, transport processes, multiphase media.

Получено 19 апреля 2012

ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 2 (56): 59–67

ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 2 (56): 68–73

УДК 576.54, 532.135, 576.526

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УСИЛИЯ ПРИ СПЕЦИАЛЬНОЙ СИЛОВОЙ ПОДГОТОВКЕ НА ТРЕНАЖЕРАХ

Н.А. Дьяченко, Т.М. Замотин

Национальный государственный университет физической культуры, спорта и здоровья им. П.Ф. Лесгафта, Россия, 191121, Санкт-Петербург, ул. Набережная реки Мойки, 106

Аннотация. Рассматривается характер изменения усилия в системе «спортсмен – тренажер» при ступенчатом изменении внешнего отягощения (перемещаемой массы). Получены зависимости «отягощение – усилие», определены граничные значения отягощения и граничное количество повторений при специальной силовой подготовке, эти данные позволили получить характеристические кривые «усилие – отягощение» для разных видов спорта.

Ключевые слова: граничное отягощение, граничное количество повторений, ступенчатое изменение внешнего отягощения, характеристические кривые, специальная силовая подготовка, параметры усилия.

ВВЕДЕНИЕ

Характерной особенностью современных систем тренировки на этапе высшего спортивного мастерства является направленное развитие специальной силы, т.е. силы, которая по своим параметрам существенно приближена к параметрам усилия в основном соревновательном упражнении [11, 12].

Особенно широкое применение тренажеры получили в силовой и специальной силовой подготовке. Проявление специальной силы в разных видах спорта определяется величиной максимальной силы и временем ее развития [4, 5, 7]. Условно все виды спорта по характеру развития усилия можно разделить на три группы:

ударный вариант развития усилия;

оптимальный вариант развития усилия;

медленный (вялый) тип развития усилия [10, 13, 14].

Первый вариант характеризуется жесткой регламентацией времени развития усилия (спринт, прыжки в длину), во втором варианте время развития усилия может изменяться в небольшом диапазоне (гимнастика, фигурное катание), в третьем случае время развития усилия может изменяться в достаточно широком диапазоне (керлинг, тяжелая атлетика) (рис. 1).

Изменение скорости во время развития усилия обусловлено величиной суммарного импульса силы, действующего на перемещаемую систему. В общем виде

теорема об изменении количества движения выглядит как S mV2 mV1, где S –

импульс силы, m – перемещаемая масса, V1 – начальная скорость, V2 – конечная скорость (после воздействия примененного импульса силы) [1, 3, 8]. Следовательно,

Замотин Т.М., аспирант кафедры биомеханики, Санкт-Петербург

Определение параметров усилия в специальной силовой подготовке на тренажерах

для увеличения V2 необходимо увеличить импульс силы S . Поскольку импульс силы – это интеграл от силы по времени, он определяется площадью под кривой развития усилия. Для увеличения этой площади существует два способа:

увеличение времени приложения усилия;

увеличение максимального значения усилия.

Первый способ неприемлем для первого и частично для второго варианта развития усилий, следовательно, увеличение скорости движения возможно только за счет увеличения максимального значения силы (рис. 2) [6].

Третий вариант развития усилия применяется в спорте редко, увеличение эффективности приложенных усилий зависит в этом случае только от максимального значения усилия. В процессе развития специальной силы одним из основных средств являются отягощения. Вместе с тем в тренировочном процессе не регистрируются параметры развития усилия, т.е. планирование силовой тренировки происходит на основе эмпирического подхода к величинам отягощений и числу их повторений

[2, 8, 9, 15].

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Для оценки характера развития усилия применялась разработанная в процессе проведения спецкурса «Тренажеры в физической культуре и спорте» методика регистрации инерциальной составляющей усилия. В подвижной части тренажера был закреплен датчик акселерометра, позволяющий регистрировать ускорение перемещаемой массы (рис. 3).

Рис. 1. Типы развития усилия в спорте: Fmax – максимальное значение силы; tmax – время достижения максимального усилия; tmov – полное время проявления силы

Рис. 2. Способы увеличения импульса силы за счет увеличения времени развития усилия (1) и увеличения максимального значения силы (2)

ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 2 (56): 68–73

Н.А. Дьяченко, Т.М. Замотин

Рис. 3. Датчик-акселерометр

Рис. 4. Зависимость «усилие – отягощение» в тяге двумя руками (двуглавая мышца плеча, дельтовидная мышца, широчайшая мышца спины)

С помощью специальной компьютерной программы рассчитывалось значение максимального усилия, время его проявления и время достижения максимума усилия при ступенчатом увеличении отягощения (стека) по доступному диапазону нагрузок с дискретностью 10 кг. Датчик-акселерометр и программа обработки акселерограмм разработаны на кафедре биомеханики Национального государственного университета физической культуры, спорта и здоровья им. П.Ф. Лесгафта, г. Санкт-Петербург. В качестве испытуемых были приглашены гребцы высокой квалификации, исследование проводилось на тренажере «нижний тяговый блок», оценивалась тяга двумя руками. Записывалась электромиограмма мышц, обеспечивающих это движение (двуглавая мышца плеча, дельтовидная мышца, широчайшая мышца спины). Запись электромиограмм осуществлялась с использованием поверхностных биполярных электродов и электромиомонитора, изготовленных ЗАО ОКБ «Ритм», г. Таганрог.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Характер изменения усилия отражен на рис. 4. Рисунок показывает, что максимальное значение усилия зарегистрировано при отягощении 60 кг. Поскольку в спортивной деятельности мы оперируем усилием, а не отягощением, понятно, что это отягощение является наиболее эффективным для развития специальной силы у данного спортсмена. Значение отягощения, при котором усилие максимально, является граничным в системе специальной силовой подготовки.

70	ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 2 (56): 68–73

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.53 Mб1Роль фаворитизма в социальном процессе..pdf
#
12.11.202314.09 Mб0Российская экономика современные тенденции и процессы развития..pdf
#
19.11.202329.08 Mб8Российские установки лопастных насосов для добычи нефти и их применение..pdf
#
12.11.20236.17 Mб7Российские фторполимеры..pdf
#
12.11.202313.17 Mб1Российский журнал биомеханики. 2012, т. 16, 1.pdf
#
12.11.20237.45 Mб0Российский журнал биомеханики. 2012, т. 16, 2.pdf
#
12.11.2023616.54 Кб3Российский индекс научного цитирования (РИНЦ) вопросы и ответы..pdf
#
12.11.20237.94 Mб2Российский порядок Вектор перемен..pdf
#
12.11.202310.29 Mб0Российское предпринимательство. 2011, 4, ч. 1.pdf
#
12.11.202311.64 Mб1Роторные насосы..pdf
#
12.11.20237.43 Mб5Рудничная автоматика..pdf