книги / Математическая логика и теория алгоритмов. Анализ алгоритмов

Таким образом, имеем подстановку: 5) z, x, y и перенос zx.

Такимобразом,получаемподстановку:6)y, x, z ипереносyx. Получаем все 6 вариантов (перестановки 3! = 6) перестановок xyz и 6 возможных переносов с одного стержня на другой

(размещения без повторений 3 · 2 = 6).

2.3.1. Анализ подстановок переменных в рекурсивном алгоритме решения задачи о Ханойской башне при n = 1

Исходное состояние изображено на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Исходное состояние для n =1

Для решения задачи нужен всего один шаг (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Целевое состояние для n =1

42

Проанализируем изменение порядка переменных для n = 1. Первый вызов:

с другими значениями переменных – вторая скобка:

Поскольку получаем –1, то этот вызов заканчивается. Перестановки переменных при этом выглядят следующим образом

(рис. 2.13).

Далее выполняется единственный перенос (2.38): x,z :

xx , zz .

43

2.3.2. Анализ подстановок переменных в рекурсивном алгоритме решения задачи о Ханойской башне при n = 2

Исходное состояние для n = 2 изображено на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Исходное для n = 2

Первый шаг-перенос подбашни n–1 = 1 (рис. 2.17).

Рис. 2.17. Первый шаг для n =2 – перенос подбашни, состоящей всего из одного диска

Второй шаг – перенос самого большого диска (рис. 2.18).

Рис. 2.18. Перенос большого диска для n =2

Третий и последний шаг – перенос подбашни из одного диска (рис. 2.19).

Рис. 2.19. Целевое состояние для n =2

46

Анализируем перестановки переменных:

Поскольку дошли до –1, то выходим (ибо begin if n > 0) и возвращаемся.

Исходя из вышеописанного, в дальнейшем можно ограничиваться «доведением до 0», не доходя до –1. Итак, первый пе-

ренос: 0 xx , zy , то есть «подбашня» перенесена: 2–1–0–(–1).

Идём обратно (с x, z, y).

Выполняется xx , zz ,затемвыполняется«перелом» 1, yy , zz , xx :

47

Изменение порядка переменных изображено на рис. 2.20.

Рис. 2.20. Изменение порядка переменных при n =2 и выполнение вызова 1, yy , zz , xx

Поэтому осуществляется перенос 0 xy , zz . Далее опять,

как и при n = 1, получится –1, поэтому алгоритм закончит работу. Итак, получили 2–1–0 (перенос 1) –1 (перенос 2) –1 (перенос 3 после «перелома»). Дерево решения для n = 2 изображено

на рис. 2.21.

Рис. 2.21. Дерево решения для n =2

48

2.3.3. Анализ подстановок переменных в рекурсивном алгоритме решения задачи о Ханойской башне при n = 3

Начинаем: