книги / Метод определения нагруженности упругих целиков произвольной формы

Тогда, согласно первому закону Кирхгофа и равенству

тельно общей шины (электрода сравнения).

Рассматривая поле под электродами как результат сло­

ного диэлектрическими участками между электродами, урав­ нения (1 .5 6 ) представим в виде

убеждаемся, что они изоморфны, если принять коэффициент бокового давления К= 0 . Следовательно, данная электриче­ ская модель является квазианалоговой и переходит в анало­ говую при К^О . Заметим, что рассмотренная двоякоперио­ дическая задача разрешима при ограниченном объеме электро­ проводной среды в электролитической ванне, благодаря зер­ кальному отражению поля диэлектрическими стенками по­ следней.

Для моделирования задачи иагруженяости целиков в слу­ чае одиночной полости выполним верхнюю оценку погрешно-

3 2

■стей, вносимых ограниченными размерами электролитиче­ ской ванны. Очевидно, что погрешность максимальна в плоскости расположения полостей (плоскость 2-0 ) . Для определения верхней оценки будем рассматривать модель полостей без. поддерживающих их целиков. Устремим с этой целью горизонтальные размеры широких целиков к бесконечности. Тогда краевые условия на границе модели

полости согласно выражению (1 .58) для полного поля токов имеют вид

где б п - поверхность модели полости.

Из (1 .4 1 )-(1 .4 3 ) эти условия представляют собой ана­ логовое решение задачи о растяжении, упругого изотропного пространства, содержащего плоскую в плане шель. Искомую оценку можно получить, рассматривая аналитическое решение задачи о плоской круглой в плане щели радиуса ct с центром - в начале координат.

Нормальное напряжение на границе 2 =0 вне круглой щели, находящейся под действием равномерного давления

Ро , равно /4 4 /

- при моделировании одиночной полости в электролити­ ческой ванне, линейные размеры которой вдвое больше соот­ ветствующих размеров модели полости ( р =2), возникающая относительная погрешность не превышает 7%;

—если линейные размеры ванны втрое больше размеров модели полости ( р - 3 ), эта погрешность не превышает 2%.

3 3

Заметим, что система уравнений при моделировании за­ дачи нагружещюсти упругих целиков, подкрепляющих одиноч­ ную полость, будет аналогична системе (1.57)

и в оригинале перейдем к безразмерным выражениям резуль­ тирующего поля на контактных поверхностях полости:

Равенства (1.63.) являются следствием автомодельности уравнения Лапласа. Следовательно, сохраняя равенство ве­ личин , можно утверждать, что эти’ поля, эквивалентны между собой.

Эквивалентность полных систем уравнений оригинала (1 .51)-(1 .53) и модели (1 .5 7 )-(1 .5 9 ) обеспечивается до­

полнительными условиями подобия, для определения которых необходимо найти масштабные коэффициенты /5 ,4 2 /. Так, сопоставляя выражения (1.51), (1.52) с {1 .57), (1 .5 8 ), видим, что они будут взаимозаменяемы, если ввести коэф­ фициенты подобия

В этом случае подобие сопоставляемых выражений будет выполняться’при условии

3 4

Сравнивая выражения (1.53) и (1.59), находим следую­ щие коэффициенты подобия

1 2

Последнее означает, что подобие будет выполняться при любом соотношении потенциальных и силовых характеристик оригинала и модели. Оно указывает также на неправомер­ ность использования электрогидродинамических моделей для определения нагружекности упругих целиков. Из условия по­ добия (1 .6 9 ) непосредственно следует, что физические про­ цессы в оригинале и модели подобны, если сопротивления

рассчитаны с учетом fa1? f связанной для ленточных и столбчатых целиков зависимостями

Следовательно, параметрам оригинала соответствуют вполне определенные параметры построенной квазианалотовой

3 5

модели. Заметим, что однозначность соотношений между ори­ гиналом и моделью стала возможной, благодаря наличию участков однородности сопоставляемых полей.

1 .3 . Переход к аналоговой модели

Для перехода модели от квазианалоговой к аналоговой при значении коэффициента бокового давления \С.ФО с уче­ том того, что V : =2( 1-% ) Si представим правые части уравнения (1.54) в виде

Решение уравнений (3,51) с правой частью вида (1 ,7 4 ) осуществляется электроаналоговым путем.

Перепишем равенство (1.71) в виде

(1 .7 5 )

и для решения уравнений (1.75) используем следующий ите­ рационный процесс, осуществляемый электроаналоговым путем

3 6

Докажем сходимость всех составляющих итерационного

соотношения (1 .7 6 ) к соответствующим величинам в урав­ нениях ( 1 .7 5 ), т.е. 9Jlli , тогда и

W- • Будем опираться на очевидное положение: чем больше податливость' целика, тем меньше нагрузка при про­ чих равных условиях, воспринимается им- и, наоборот, чем меньше податливость целика, тем больше воспринимаемая им нагрузка.

величиной податливости, значения.которой находятся в про­

ливости целиков, .получим ограниченные сверху и снизу по­ следовательности

3 7

Г л а в а 2

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАЗРАБОТКА МЕТОДА

2.1. Методика проведения эксперимента

После установления подобия между построенной упругой и аналогичной ей электрической моделями можно приступить к- проведению эксперимента.

1. Исходя из постановки задачи, определяют тип исполь­ зуемой электрической модели и экспериментальной установ­ ки, с помощью которой она реализуется.

2. В соответствий с найденными коэффициентами и кри­ териями подобия производят расчет параметров модели.

3 . Изготавливают модель упругой системы, г модель рассматриваемой области полупространства (полу­

плоскости) и модели целиков с учетом граничных условий и определенных ранее параметров.

4 . Производят тарировку модели, включающую опре­ деление удельной электропроводности рабочей среды и на­ пряженности однородного электрического поля.

5 . Снимают показания регистрирующих приборов.

6 . Производят обработку результатов измерений. Рассмотрим операции, производимые в процессе экспе­

римента. Для рещения ;задачи о нагруженности целиков необ­ ходимо использовать электрические модели с распределенными параметрами - модели со сплошной приводящей средой. При решении плоской задачи в качестве рабочей среды можно взять электропроводную бумагу, фольгу или электролит

3 9

плоской электролитической ванны; при решении соответст­ вующей трехмерной задачи —стопу электропроводной бумаги, другую твердую проводящую среду (например, с добавкой угольного порошка или сажи) либо электролит объемной ван­ ны. Выбор рабочей среды обусловлен ее электрическими параметрами и величиной допустимой погрешности при за­ дании граничных, условий.

Электропроводная бумага, фольга и твердая проводящая среда обладают электронной проводимостью, что позволит проводить эксперимент как :на‘ постоянном, так и ;на перемен­ ном токе. Применение электролита с ионной проводимостью ограничено переменным .током, при измерениях на котором возникают некоторые трудности. Поэтому при изготовлении плоской модели удобна среда с электронной проводимостью. Хотя электропроводная бумага и обладает значительной .не­ однородностью электрического сопротивления по сравнению с фольгой, легкость изготовления и простота задания гра­

ничных условий делают ее незаменимой при решении плоской задачи. Применение моделей из твердых проводящих сред при решении объемной задачи нецелесообразно ввиду труд­ ностей изготовления и достижения достаточной однородности.

Элёктроаналоговое устройство для решения задачи о на— груженности упругих целиков произвольной формы должно быть простым по конструкции, вместе с тем позволяющим быстро и легко измерять необходимые электрические величины м о ­ дели и иметь достаточное количество переменных сопротивглений для изготовления модели.

При расчете параметров модели прежде всего выбираетсягеометрический масштаб. Для обеспечения'однородности . электрического поля на "бесконечности", т.е. вне области влияний диэлектрических участков границы размеры прово­ дящей среды находятся из условия

где LM , НМ -• горизонтальные и вертикальные размеры^ модели; Ам — ширина модели широкого опорного целика; gM — протяженность модели выработки; С1м —харак­

терный размер электрода.

40