книги / Механика композитных материалов. 1982, т. 18, 2

Принимая 7 = г/(а + 1р), r)=i|jp и сравнивая (12) и (13), находим

ность. Его распространение на отрицательные у легко выполнить с уче­

где е 0= -g-H е т = 1 при т ^ 1 . Ряд по k для h удовлетворяет уравнению

(6) и является абсолютно сходящимся во всей плоскости Оху, за исклю­ чением точек x = ka (k = 0 , ± 1, ± 2,...), при условии объединения слагае­ мых с одинаковыми положительными и отрицательными индексами k

при его суммировании. Точки x = ka являются полюсами функции gb т. е.

есть внешнее периодическое по х и ограниченное при |#|->-оо решение уравнения (6). Исходя из (15), получаем следующую искомую систему линейно независимых решений:

С помощью полученной системы (16) составляем еще одно решение урав­

нения (6):

оо

Решение (17) в сумме с (10) будет использовано ниже для представ­ ления ф[ (х,у) в (9). Но прежде чем переходить к решению поставлен­

где Ip — модифицированная цилиндрическая функция первого рода. Для представления в виде ряда Фурье по переменной <р на окружности р запишем выражение для | п в форме

Здесь принято во внимание неравенство |е| < 1 .

Обозначим через Wn)(p) коэффициенты Фурье суммы по k в выраже­ нии для In (19). Тогда

Поэтому между &s<n)(p,v) и 6_5<n'(p,v) имеет место соотношение &s(n)(p,v) = 6_3<n)(p,v). Интегрирование же по <р в правой части первого равенства (21) заменим контурным интегралом вдоль окружности ра­ диусом р в комплексной плоскости z=x + iy:

( 22)

Таким образом, задача свелась к вычислению контурного интеграла от рациональной дроби. Корни знаменателя равны

± k a ± ~J k2a2—p2(l+ v 2)

Z\,2m) =

1 +tv

3. Хорошун Л. П. Методы теории случайных функций в задачах о макроскопиче­ ских свойствах микронеоднородных сред. — Прикл. механика, 1978, т. 14, № 2, с. 3—17.

волокнистой среде. — Механика полимеров, 1979, № 1, с. 146—149.

7.Головчан В. Т., Никитюк Н. И. К решению задачи о сдвиге волокнистой компо­ зиционной среды. — Прикл. механика, 1981, т. 17, № 2, с. 29—35.

8.Бейтмен Г., Эрдейн А. Таблицы интегральных преобразований. М., 1969.

Т.1. 343 с.

9.Смирнов В. И. Курс высшей математики. М., 1969. Т. 3, ч. 2. 672 с.

10.Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1977. 415 с.

11.Хант Е. Б. Напряжения в волокне, находящемся в анизотропной матрице, и упругие постоянные материалы с анизотропными волокнами. — Изв. АН СССР. Меха­ ника твердого тела, 1977, № 1, с. 120—130.

УДК 539.3.001:678.067

И. В. Грушецкий, М. #. Микельсон,, В. П. Тамуж

ИЗМЕНЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ ОДНОНАПРАВЛЕННОГО ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИТА ВСЛЕДСТВИЕ ДРОБЛЕНИЯ ВОЛОКОН

Изменение упругих характеристик изотропного материала вследствие возникновения в нем дискообразных трещин изучено в ряде работ [1—3]. При этом получено достаточно хорошее соответствие между фактически наблюдаемым изменением модуля упругости в результате возникновения повреждений под нагрузкой и теоретически рассчитанным значением из­ менения жесткости [4]. Для анизотропных материалов аналогичный рас­ чет изменения жесткости более затруднителен из-за сложности решения задачи о раскрытии трещин в анизотропной среде. Однако для дискооб­ разной трещины в трансверсально изотропной среде в случае, если нор­ маль к поверхности трещины совпадает с осью симметрии среды, реше­ ние получается в аналитическом виде [5]. Поэтому расчет изменения жесткости такого материала может быть проведен достаточно просто.

Типичным конструктивным трансверсально-изотропным материалом являются однонаправленные композиты. При растяжении такого компо­ зита перед окончательным разрушением в нем накапливается значитель­ ное число разрывов волокон, что приводит к изменению жесткости мате­ риала. Анализ изменения модуля упругости однонаправленного компо­ зита вследствие разрыва волокон дан в статье [6], где результат получен сравнительно громоздкими вычислениями.

В настоящей статье выводятся зависимости для определения измене­ ния модуля упругости и модуля сдвига трансверсально-изотропного ма­ териала в результате возникновения в нем дискообразных микротрещин, причем каждый разрыв волокна отождествляется с появлением микро­ трещины, и дано сопоставление с экспериментальными данными для алюмоборопластика.

Рассмотрим описание изменений жесткости однонаправленного ком­ позита, возникших вследствие деформации разрывов волокон. Композит заменяется однонаправленным трансверсально-изотропным материалом, усреднение характеристики жесткости которого определяется согласно формулам теории армирования [7]. Оценим в таком материале радиус дискообразной трещины, эквивалентной разрыву волокна в композите. Пусть модуль упругости матрицы, волокна и композита в направлении армирования равны соответственно £ м, £ в, Ек. Радиус волокна обозна­ чим г и коэффициент армирования р. Если считать £ м<с£в, то £к~р£в- Тогда «размазывая» свойства композита по площади повреждений зоны радиуса а и приравнивая усилия, получим

Поврежденность композита характеризуем числом разрывов волокон в единице объема. Учитывая, что дробление волокон на части меньше так называемой «неэффективной длины» мало вероятно, удобно считать отрезки волокон длиной б за структурный элемент материала, который может быть в разрушенном или неразрушенном состоянии. Число этих

структурных элементов и, следовательно, максимально возможное коли­

чество разрывов в объеме композита равно N, и если разрушено к /о kN

структурных элементов, то поврежденность ■P=](jovr' ^ Дальнеишем вво"

дим аналогично изотропному случаю безразмерный параметр

100 лбУц

Для определения снижения упругих характеристик однонаправлен­ ного композита при растяжении в направлении армирования рассматри­ ваем его как трансверсально-изотропную среду и предполагаем, что в нем образовались дискообразные трещины радиуса а, расположенные перпендикулярно растягивающему напряжению. Интегральное смещение краев трещины под действием напряжения о согласно [5J

Постоянные mi,2 и «1,2 связаны с упругими характеристиками материала

Здесь Vjj — коэффициенты Пуассона; йц — модули сдвига; Ei — мо­ дули упругости. Ось 3 совпадает по направлению с осью монотропии. Просуммировав вклад от всех трещин, получаем, что отношение модуля Е3 поврежденного материала к модулю Е3 неповрежденного равно:

Е3 Е3

__________( m i - m 2)__________

(7)

( l + m () ( l + m 2) (У«1 — Ун2)

В случае изотропного материала выражение для %существенно проще и согласно [2]