книги / Механика композиционных материалов
..pdfТензор упругих податливостей нулевого приближения
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
7(0) |
( l + v ) ( l — 2v) |
|
V |
|
<V/(1 — v)> |
|
|||||
|
J222? |
1— v) |
|
’ + - |
|
v |
—------------- |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
(£ /( 1 — v*)> |
|
|||||
|
|
7(0) |
_ |
|
(v /O -v )) |
|
|
|
(V.9) |
|||
|
|
" 1122 — |
<£/(1 _ V2)> |
’ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
7(0) |
|
|
|
1 |
|
|
7(0) |
: |
1 + у |
||
|
" 2211 — |
-------- |
|
|
<E/(1 — v2)) |
j |
1212 |
2Е |
|
|||
|
|
1 — V |
|
|
|
|
|
|
||||
Эффективный тензор упругих податливостей |
|
|
|
|||||||||
|
Яп |
7 (0 ) |
и |
|
_ / |
0 |
+ v ) ( l |
— 2v) |
) + |
|
||
|
/ till» |
П2222 — |
|
|
Е ( 1 - v ) |
|
|
|||||
|
|
«ппь |
п |
|
------- ' |
------------------------- |
|
|
||||
|
+ |
( т Г 7 ) * / |
|
Е |
|
|
я п22 = |
7(0) |
(V.10) |
|||
|
|
( т г ^ г ) ’ |
* 1122, |
|||||||||
|
|
я ш а= ^ |
( |
^ |
) . |
|
|
|
|
|||
в) |
Все компоненты |
композита |
изотропны. |
Плоско-напряжен- |
||||||||
*юе состояние.
Тензор упругих податливостей нулевого приближения: |
|
|||||||||
/!?1, = |
W |
’ |
= ± T |
L + |
v Т |
Г 1 |
|
|
||
/(0) |
|
(V) |
|
|
r(0) __ |
V |
|
|
(V.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/Ю) |
|
|
1 + У |
|
|
|
|
|
|
|
» 1212 |
|
|
2Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эффективный тензор упругих податливостей: |
|
|
|
|||||||
гг |
г(0) |
t i |
|
_ |
/ 1 |
У® \ |
, |
(V)*, |
. |
(V -12) |
Я Ш1 - |
<4111. Я ямя - |
|
( — £— ) |
+ |
|
|||||
я 11И= Л ? к я ш , = ^1 |
-/ ( 1-+^У |
) . |
|
|
||||||
Эффективные вязкоупругие характеристики слоистого двухкомпонентного композита
1. Простой композит.
Приняты обозначения: |
|
|
|
|
|
|
■ - . |
V |
<*з= -±=*-, |
|
|
|
|
1 + |
Рш2 |
Y |
|
|
|
|
х |
о |
________ 2х_______ |
л _ |
ах |
|
|
acoi |
2 |
а + 2ao)i + |
х |
3 |
ti>i |
* |
о |
_ |
ах + 2 ах<»1 + |
2(0i |
|
|
|
|
|
oil |
|
|
|
|
(1 — Y) (1 — Y/2), если 0 < |
| < |
у, |
||||
М 0 =
Y — i ) . если Y < I < 1 .
(VI.1)
(VI.2)
(VI .3)
2 |
(| — Y)--- j j d — 2Y). если 0 < |
| < Y . |
|
|
|||
/.№ ) = |
|
|
|
|
|
|
|
— - — [- t - H - i ) _ J = i . + ! L = r ] , „ |
v < i < 1 . |
||||||
|
•— V L |
|
|
|
|
|
|
а) Компоненты |
эффективного тензора-оператора ядер |
релакса |
|||||
ции, отнесенные к К\. |
|
|
|
|
|||
“1111 ~ “ 2222 |
|
4 (1 - f 2OL>I) — 2а (1 — 4(00 + |
а (а + 2aa)i) - f 9ах |
||||
|
|
|
|
|
+ |
||
. |
3 |
^ |
а [(2 — 2(0! — а — 2acoi) — Зх]а ~ |
|
|
||
Н------ а х и ----------------------1------------------------ — £ э ., |
|
||||||
|
2 |
|
|
4 (а + 2aa)i + х) |
|
|
|
|
|
|
1+2(0! |
« О + * ■ £ |
- . |
|
|
|
^зззз — |
|
|
||||
|
Y (а + 2a(0i + |
х) |
|
|
|||
|
|
|
Y |
|
|
||
^1122 — |
4 (1 — (Oi) (1 — а) + |
а (а + 2a(0i) + 9ах |
- аха)я - |
||||
|
|
|
|
|
|||
а [(2 — 2(0! — а — 2а(р!) — Зх]2 |
£Pi4 |
(VI.4) |
|
4 (а + 2a(0i + х) |
|||
|
|
|
|
и |
— X |
_ |
2—2(I>1 — а —2CWBI' |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
“ 1133 — “ 2233 |
— -------------------------------- Н |
|
|
|
||||||||||
|
|
+ |
а (1 + 2ш0 [Зх— (2— 2(0! — а — 2a0i)] |
- |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
а + 200)! + х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
v |
|
|
3 |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am2 = Y Y K |
+ axwa), |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
^1313 = Л2323 = |
|
(1 ---g p j. |
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
Локальные операторы релаксации: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
-^131 — N 232 = |
N S11 = |
N 322 = |
— |
^ 1 |
озхУа |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
— |
i ( |
|
|
2 —2о)г —а —2атх — Зх |
ip .) /. (i). |
(VI.5> |
|||||||||
|
|
|
|
|
а 4- 2ао)! 4- х |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
-т( |
|
|
|
14-2й)х |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
\(а + 2аШ1 + х) |
бР‘) ^ |
® ' |
|
|
||||||||
в) |
Компоненты |
эффективного |
тензора-оператора |
ядер ползучес |
|||||||||||||
|
ти, умноженные на К\: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
и |
— Н |
— |
■ |
|
|
1+ |
2(01 |
|
• |
|
1 |
- |
|
|||
|
"1111 — “ 2222 |
— |
9у (ах 4- 2axo)i 4- 2o)i) |
+ |
|
6y0i |
ГЭ. + |
|
|||||||||
|
|
|
|
_____ ах (1 4~ 2ci)t)2_____ |
|
» |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i8y0i (ах 4~ 2ах0! 4- 2o)i) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Я явяя — ■ |
|
|
|
^3(1 — 2а 4- Зах) 4- (1 + |
2coi) (1 4- а)2 4- |
||||||||||||
|
9 (ах 4- 2axo)i 4- 2o)i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ |
2а ■(ах 4- 2ахсо1 4- За)! — ха)х 4- х)2 |
|
j р |
(VI.6) |
|||||||||||
|
|
Х©1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_________ 1 4~ 201_______ |
1 |
+ ах (1 4~ 20 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1122 |
9у (ах 4- 2ax0i 4- 2©i) |
|
|
201 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
#1133 — #2233 |
----------- !------------fed), —2 4- а : 4- 2а0! - |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
9 (ах 4- 2ax0i 4- 2©i) |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
-----— (1 4- 2(0^ (ах 4- 2ах©! 4- За)! 4- х — xcoj)] gPl, |
|
|||||||||||||||
|
|
©I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
н 1: |
= # „ |
|
|
601 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
Локальные операторы ползучести: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
M llll — Мо. |
|
•1 + |
у (ах 4- 2ax0i 4- |
20i) |
+ |
4 г £ е . + |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2у |
|
|
||||||
+ |
ах(1 |
+ |
2coi) g p< |
|
|
|
|
|
2у (ах + |
2ахшх - f 2cO] |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
1 |
/ |
|
0)! |
|
|
|
|
|
‘■"И" |
2ахсо: 2а>х |
£ р, + |
|
||||
|
|
„ ах + |
|
|
||||
+ ■ |
ах (1 |
+ |
2wi) |
|
g.P.) |
h |
(i). |
(VI.7) |
|
|
|
2coi) |
|||||
2 (ах + 2аха>1 |
|
|
||||||
|
ах - f |
2ахсох - f |
[ х — |
XCOj + © ! — |
|
|||
|
2coi |
|
|
|
||||
—(х+2ах+ гах©!+ Зс^ —xcojgPl] f2(g)
Mi, =M l22i = M2112 = M 2121
2. Композит с двумя вязкоупругими компонентами ские операторы).
Приняты обозначения: |
|
|
1 |
- _ |
1 |
gip— ;• о - . &2р |
1 + P(t)2 |
|
L+ Рй)1 |
|
|
Вф, a) = gip + |
0£гр, |
|
Вп (а) = |
+ ап2, |
|
К (а) Е= (Ох + асо2,
(канониче
(vi.8)
(VI.9)
А (р, а) = [В (р, а)]-1 = ^ 1 ^ ,
е ip+ ав 2р
A „ ( a ) = [ Вя (а)]— |
xti-f- ая2 * |
(VI.10) |
1 |
|
|
Вв(а)=[Л.(а)]-1а |
1 |
|
|
CL>I -f- ao)2 |
|
а- ’- у V
л = ( 1. ° < l < V.
Y<i<1. 0<|<Y.
III
“_J%. 0<g< Y. l"2.YCi< 1.
U 22. Y « I < l. |
1“ а, |
1 |
0 < | < Y , |
1 - Y hit). |
|
/з (I) = |
|
— 7 / 1 (6). |
: i < i . |
(VI.11)
(VI.12)
(VI. 13)
а) Компоненты эффективного тензора-оператора ядер релак сации, отнесенные к К\у:
Кггг = Кш = Т * |
[2- f ) [ * (2- <*) - |
^ - ] 2 ~ |
---- ^-В(2, ах) + А д Д а х ) + А (1 |
+ ах), |
|
£ 3 3 3 |
3 = ^ (2 , A ) , |
(VI.14> |
А11М = А Л (2, А ) [5 |
(2, « ) - А - ] г - А |
В(2, ах) — |
----Аш(ах) + А (1 + ах),
'*1133 — "2233 ■
ЛШ2 = “ Л Дах),
^1313 — ^2323 — '2у2 Ч А
б) Локальные операторы релаксации:
#пз = #ззз = Т |
{ Т ^ (2' Т ) [3^ (2. “) - (1 + «)1 я - Зя + l) /,(!).• |
A U — A^QJ |
: N 322 ~ |
|
- [ |
А |
Ю |
т |
" - ']'•<«• |
<V,|5) |
|||
в) |
Компоненты |
эффективного |
тензора |
оператора |
ядер ползу |
||||
чести, умноженные на К\\ |
|
|
|
|
|
|
|||
#1111= #2222 = |
— |
[1 + а х - В (2, ах) ] - 1 |
Ва (ах), |
||||||
|
|
9у |
|
|
|
|
6Y |
|
|
#8833 = |
YB (2, А ) |
+ л . [! + ах - 5 (2, ах) ] - 1[1 + а - 35 (2, а)]*, |
|||||||
|
# Х1М= - А [1 + ах - |
5 (2, ах) ] - 1- |
А -В ш(ах), |
(VI.16) |
|||||
#1133= #3333 = А [1 |
+ ах — 5 (2, ах)]- 1 [ 1 + а |
- 3 5 (2, а)], |
|||||||
|
|
|
■ ^1212 |
= |
~ — В а ( а х ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ьу |
|
|
|
|
Н ш з — Н 2323 = ~ B n |
j • |
г) Локальные операторы ползучести:
Ainu = М2222==| 1”Ь~г ©Лщ(о&х) ~Ь
I2у
+^ - ( 1 - g ) [1 + ^ - В ( 2 , а й )]"1) / 2® ,
|
Мц2=М21= |——Вш(ах)<о + |
|
||||||
|
^ |
— |
( |
k |
~ |
X- |
|
|
+ ^ - (1 —i)[l |
+ ах—В(2, ах)]—1j |
/2(|), |
|
|||||
М113з = |
М2233 = |
|---- £ -+ |
+ |
_ |
^ |
+ |
а Х ~ |
|
|
—5(2, ах)]- 1[1 + а —ЗВ(2, а)]|/г (g), |
(VI.17) |
||||||
^ 1 2 1 2 — |
1221 = |
2112 = |
'^7 2121 — |
|
---------- ^ |
“ Вш |
|
|