книги / Прикладной статистический анализ в горном деле (Многомерная математическая статистика)

времени. Но значение функции может зависеть и от некоторого другого физического параметра. Например, от координат в пространстве или расстояния между пикетами в примере с профильной линией.

Случайной называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, причём априори неизвестно, какой. Если аргументами случайной функции (СФ) являются координаты пространства, её именуют случайным полем, а если время, то функция называется случайным процессом. А если время фиксируется через равные целочисленные промежутки, то СФ называют случайной последовательностью, или временным (с ударением на последний слог) рядом. Случайный процесс именуют также стохастическим процессом, под которым понимается статистическое явление, развивающееся во времени согласно законам теории вероятностей.

Временной ряд – это случайная, или недетерминированная, функция х независимой переменной t. Временной ряд (или ряд динамики) представляет собой собранный в разные моменты времени статистический материал о значении каких-либо параметров (в простейшем случае одного) исследуемого процесса. Во временном ряду для каждого отсчёта должно быть указано время измерения или номер измерения по порядку. В отличие от случайного детерминированным (неслучайным) принято именовать процесс, который принимает заданное значение с вероятностью, равной единице. Его значения могут точно определяться какой-либо математической функцией от момента времени t.

Таким образом, случайная функция является общим понятием случайной величины, меняющей свой вид при повторных опытах в пространстве или во времени. СФ может быть функцией как одной, так и нескольких переменных.

При исследованиях в реальных условиях многие измеряемые значения исследуемых признаков могут быть описаны только статистически. Поскольку точки измерений имеют опре-

161

делённую последовательность их расположения в пространстве, обычный аппарат статистической обработки случайной величины не может раскрыть закономерности изменения признака в пространстве.

6.1.2. Случайная функция и её реализации

Итак, случайная функция – такая функция, которая в результате эксперимента принимает тот или иной конкретный вид, причем заранее неизвестно, какой именно. Конкретный вид, который принимает случайная функция в результате эксперимента, называют реализацией случайной функции (рис. 6.1). На рисунке показано распределение бороздовых проб по стенке выемочного штрека на одном из рудников, отрабатывающих Верхнекамское месторождение калийных солей. Пункты бороздового опробования расположены через 50 м друг от друга. Пробы в каждом пункте отбирались в четыре приёма, условно в одной точке. После отбора первой пробы осталась пустая борозда на стенке выработки. Во втором приёме проба отбиралась рядом с первой, но с её правой стороны, а в третьем приёме – слева от первой пробы, в четвёртом – слева от третьей. График изменения значения хлористого калия в первом приёме отображает ряд 4. Совокупность правых проб представляет ряд 3, первых левых – ряд 5, вторых левых – ряд 2. Значения полезного компонента в пробах одного пункта бороздового опробования не совпадают. Тому есть много причин: неравномерность распределения полезного компонента (прерывистое, гнездовое или иное), погрешности отбора проб, погрешности химического анализа и др.

Каждый ряд можно представить как графическое изображение некоторой случайной функции. В табл. 6.1 представлены четыре реализации случайной функции. Аргумент этой функции – расстояние – есть величина неслучайная. В общем случае случайная функция включает множество реализаций, в литературе встречается наименование «ансамбль реализаций».

162

Таким образом, случайная функция совмещает в себе черты случайной величины в каждом сечении и случайной функции в ансамбле реализаций.

Поскольку случайная функция может иметь бесконечное множество сечений и в каждом сечении она представляет собой случайную величину, то её (случайную функцию) можно рассматривать как бесконечномерный случайный вектор. В силу непредсказуемости поведения, показать случайную функцию в общем виде на графике не представляется возможным. Можно лишь записать её конкретный вид, т.е. её реализацию, полученную в результате проведения опыта.

6.1.3. Некоторые вероятностные статистические характеристики случайных функций

Вероятностные характеристики сечения случайного процесса определяются так же, как и для случайных величин. Рассмотрим случайную функцию X(t). Одной из основных характеристик СФ является её длина n. Под длиной СФ (временного ряда) обычно понимается период времени, прошедший от первого наблюдения до последнего. Иногда под длиной временного ряда также понимают количество его элементов. Элементами (членами) временного ряда являются показатели уровней (значений) ряда и периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки) или моменты времени (даты). Уровни ряда обычно обозначаются yt, а соответствующие им моменты времени – t. Для каждого сечения случайного процесса можно рассчитать математическое ожида-

ние mx(ti), дисперсию Dx(ti), стандарт σx(ti).

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция mx(t) = M[X(t)], которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции. По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции [53].

Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция Dx(t), значения которой для каждого t равно

164

дисперсии соответствующего сечения случайной функции: Dx(t) = D[X(t)]. Дисперсия случайной функции при каждом значении аргумента характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего [53].

Поскольку Dx(t) есть неотрицательная функция, извлекая из нее квадратный корень, получим функцию σx(t) – среднее квадратическое отклонение (стандарт) случайной функции:

Некоторые из этих статистик для приведенного примера представлены в табл. 6.1. В каждом сечении, кратном 50 м, вычислены математическое ожидание mx(ti) и дисперсия Dx(ti). По значениям математического ожидания в каждом сечении построен график средних по множеству реализаций (см. рис. 6.1, ряд 1).

Геометрически математическое ожидание случайной функции можно истолковать как усреднённую кривую, в окрестности которой расположены все реализации; при фиксированном значении аргумента математическое ожидание есть среднее значение сечения (средняя ордината), вокруг которого расположены его возможные значения (ординаты).

Математический аппарат анализа временных и пространственных рядов одинаков. Основное отличие состоит в том, что пространственные ряды могут быть двумерными или многомерными. Примером реализации временных рядов могут служить результаты высокоточного нивелирования по маркам резервуаров, которые измеряются через равные промежутки времени. Случайные функции пространства (двумерных рядов) именуют случайными полями. Эти функции приводят в соответствие каждой точке пространства некоторую случайную величину. Примером реализаций случайных полей являются планы содержаний сильвинитового пласта в пределах панели. Значение аргумента СФ может определяться дискретно или непрерывно (табл. 6.2). К первому типу можно отнести отбор бороздовых проб по выработке через каждые 50 м. Пример непрерывного

165

типа СФ – профилировка рельсовых путей станцией даёт информацию непрерывного характера.

Таблица 6.2 Типы случайных процессов по методу отбора информации

166

На рис. 6.2 заметно, что размах границ интервала Mx ± 3σ изменяется от сечения к сечению. Меняются математическое ожидание и дисперсия, асимметрия и эксцесс. От сечения к сечению могут изменяться не только какие-либо параметры закона распределения, но и тип распределения.

Для решения горно-геологических и других пространственных задач, в которых используется совместно последовательный ряд сечений случайной функции, необходимо рассматривать совместные законы распределения для нескольких её сечений.

6.1.4. Типы случайных функций по характеру изменения

их статистических характеристик

Исследуя случайные функции и их реализации в различных областях науки, можно получить и другие графики. В зависимости от вида случайного процесса различают:

1.Стационарный случайный процесс – вероятностные ха-

рактеристики которого не зависят от времени, т.е. wх(х1, t1) =

=wх(х2, t2) =…wх(хn, tn). В противном случае процесс считается нестационарным (рис. 6.3).

2.Нормальный случайный процесс – совместная плотность вероятности сечений t1 … tn – нормальная.

3.Марковский случайный процесс (процесс без последст-

вия) – состояние, каждый момент времени которого зависит только от состояния в предшествующий момент и не зависит от ранних состояний. Марковская цепь – последовательность сечений марковского случайного процесса.

4.Случайный процесс типа белого шума – каждый момент состояния не зависит от предшествующих.

Существуют и другие случайные процессы, описание которых можно найти в специальной литературе [8; 16; 62; 68; 73].

167

стик временного ряда зависит от числа наблюдений во временном ряду, но эта зависимость не является прямо пропорциональной.

Рис. 6.4. Корреляционная структура случайной функции: а – высокая автокорреляция; б – низкая автокорреляция

Корреляционной функцией (КФ) Kp(x, x ) называют неслучайную функцию двух аргументов x, x , значения которой равны корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции [13; 31; 53]:

Корреляционная функция служит мерой связи между сечениями СФ. С увеличением расстояния между сечениями пада-

ет взаимосвязь, в связи с чем значение K p x, x уменьшается. При равных расстояниях между сечениями КФ больше для той

совпадают (x = x ), корреляционная функция обращается в дисперсию СФ:

Kp(x, x ) = Dp(x).

Сравнивать корреляционные функции переменных с разными размерностями удобно по нормированной корреляционной (или автокорреляционной) функции, которую также именуют коррелограммой:

169

kp (x, x ) K p x, x / { p x · p x }. (6.3)

При x = x корреляционная функция Kp x, x = 1. С ростом интервала dx, kp x, x уменьшается до нуля.

В математической статистике степень тесноты связи между двумя переменными x1 и x2 определяется коэффициентом парной корреляции (формула (6.4)). Выражения для расчётов коэффициентов парной корреляции и автокорреляционной функции идентичны по сути. Можно сказать, что корреляционная функция Kp(x, x ) отражает степень тесноты связи между значениями поля в точках x и x . Если принять разность dx = ( x – x) = l, где l – длина интервала между соседними значениями, то корреляционную функцию можно записать Kp(x, x )= Kp(l). Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого же ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Выражение для вычисления коэффициента автокорреляции принимает вид

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t1 первого порядка. Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями t и t2 и определяется по формуле

170