книги / Строительная механика стержневых систем. Ч. 1

Рис. 3.10

3.5. Определение усилий по линиям влияния

Правила, полученные для простой балки, справедливы для любого сооружения.

Правило 1. На сооружение действует группа сосредоточенных сил (рис. 3.11).

Рис. 3.11

Используя принцип построения линий влияния и принцип суперпозиций, получим:

31

MI h1P1 + h2 P2 + h3 P3 + ... + hn Pn hi Pi ,

QI h1P1 + h2 P2 + h3 P3 + ... + hn Pn .

Ординаты линий влияния следует брать со своими знаками. Правило 2. На сооружение действует равномерно распре-

деленная нагрузка с интенсивностью q (рис 3.12).

Рис. 3.12

Выделим в пределах действия распределенной нагрузки интенсивности q элементарный участок х . Заменим на этом участке распределенную нагрузку сосредоточенной силой q x .

Ордината линии влияния под этой силой (например л. в. MI ) hx является переменной величиной. По правилу 1 от действия этой силы MI q x hx . На участке c–d будет сумма таких произве-

d

дений, т.е. MI с q x hx . Это есть интегральная сумма, следо-

площадь линии влияния под распределенной нагрузкой. При этом площадь берется по знаку линии влияния. Значит,

QI = q(–w1 + w2 ).

32

Правило 3. На сооружение действует сосредоточенный момент (рис. 3.13).

Рис. 3.13

Разложим момент m на пару сил на участке л. в., над которой он расположен. Можно разложить на участке длиной d или c. Тогда правило 3 сведем к правилу 1. Разложим момент m

на участке d. Тогда MI md h1 (минус за счет силы md , которая

направлена вверх). Иначе, MI m hd1 .

Примечание:

а) реакция опоры положительная, если направлена вверх; б) сосредоточенная сила, действующая на сооружение,

положительная, если направлена вниз.

Получаем, что MI m (–tg ) = m tg(– ) . Угол есть

угол наклона линии влияния, над которой расположен сосредоточенный момент m, к горизонтали.

Пользуясь последним правилом, необходимо учитывать знаки момента m и угла

Внешний момент m положительный, если направлен по часовой стрелке:

33

и отрицательный, если направлен против часовой стрелки:

Знаки углов берем в соответствии с рис. 3.14.

Рис. 3.14

Разложим момент m на участке длиной c (см. рис. 3.13). Пользуясь правилом 1, получим MI mc h2 mc h1.

Выполним некоторые преобразования:

дим к тому же правилу определения усилий по линии влияния от сосредоточенного момента. По этому правилу

QI m( tg ) = m( 1l ).

В случае если на сооружение действуют различные виды нагрузки, используется принцип суперпозиций.

3.6. Частные случаи определения усилий по линиям влияния

Случай 1. Сечение находится под сосредоточенной силой (рис. 3.15). Сила P расположена над двумя ординатами линии

влияния поперечной силы в сечении I: al левой прямой и bl

правой прямой. Как и на эпюре поперечных сил, находим два значения поперечной силы в сечении QIлев и QIправ .

34

Рис. 3.15

Если сечение I считать отстоящим на бесконечно малую величину слева от силы P, то сила P будет расположена над

правой прямой, тогда QIлев P bl .

Если сечение I считать отстоящим на бесконечно малую величину вправо от силы P, то сила P будет расположена над

левой прямой, тогда QIправ P( al ) .

Случай 2. Сечение находится под сосредоточенным момен-

том (рис. 3.16).

Рис 3.16

Сосредоточенный момент m расположен и над левой прямой линии влияния изгибающего момента в сечении I, и над

35

правой. Будет два значения момента в сечении MIлев и MIправ

(как и на эпюре моментов).

Если сечение I считать на бесконечно малую величину слева от сосредоточенного момента m, то момент m будет располо-

жен над правой прямой линии влияния МI , тогда

MIлев m (–tg пр ).

Если сечение I на бесконечно малую вправо от сосредоточенного момента m, то момент m будет расположен над левой

прямой л. в. МI , тогда MIправ m tg лев.

3.7. Примеры определения усилий по линиям влияния

Найти реакции опор, изгибающий момент и поперечную силу в сечении «к» по линиям влияния.

Задача 3.2

36

Задача 3.3

RА =12 1+ 4 4 1+ 8 0 = 28 кН.

37

Мклев = 12(–2,3) + 4(– 12 0,8 0,8) + 8 tg0 = –28,88 кН м.

Mкправ = 12(–2,3) + 4(– 12 0,8 0,8) + 8 0,80,8 = –20,88 кН м. Qк = 12(–1) + 4(–0,8 1) + 8 tg(0) = –15,2 кН.

3.8. Линии влияния реакций опор и усилий составной статически определимой балки

Линии влияния реакций опор и какого-либо усилия строятся от подвижного груза P = 1. Удобно, как и в аналитическом расчете на постоянную нагрузку (см. гл. 2), использовать поэтажную схему.

Сначала необходимо перемещать груз P = 1 по той балке поэтажной схемы, которой принадлежит опора или сечение, и построить линию влияния реакции опоры или усилия в сечении в пределах этой балки (см. подразд. 3.2–3.4). Затем перемещаем груз влево и вправо от рассмотренной балки. Поскольку с вышележащей балки давление передается на нижележащие, линия влияния «продолжается». С нижележащей балки на вышележащие давление не передается, и линия влияния совпадает с осью балки, т.е. нулевая.

Рассмотрим построение линий влияния вертикальных реакций опоры B и опоры D, т.е. л. в. RB и л. в. RD (рис. 3.17. а, б).

Построим л. в. RB (см. рис. 3.17, а). Груз P = 1 – на консольной балке BC. Строим л. в. RB для консольной балки (см.

подразд. 3.2). Если груз на конце левой консоли, то RB = 1+ cl .

противоположного действия (см. подразд. 3.1), т.е. силу, направленную вниз и равную 1. В этом случае RB найдена и

равна 1+ cl . Перемещаем груз P = 1 от опоры Ш1 к опоре A.

При этом реакция Rш1 уменьшается, и как только груз P = 1 оказывается на опоре A, так реакция RШ1 = 0. Тогда давление

левую ординату. Соединяем точку с ординатой 1+ cl и нулевую,

соответствующую опоре А. Затем продолжаем прямую линии влияния на консоль балки АШ1. Далее перемещаем груз P = 1

по балке Ш2Ш3. Эта балка выше балки BC, которой принадлежит опора B. Давление с балки Ш2Ш3 через шарнир Ш2 передается на правую консоль балки BC. Пусть груз P = 1 на опоре Ш2 , тогда реакция RШ2 балки Ш2Ш3 равна 1 и направлена

вверх.

Передаем давление в виде силы, равной 1, вниз на правую консоль балки BC. В этом случае RB = – dl . При передвижении груза P = 1 вправо от опоры Ш2 к опоре Ш3 реакция RШ2 уменьшается. Как только груз P = 1 оказывается на опоре Ш3 , так RШ2 = 0, а значит, давление на балку BC нулевое и RB = 0.

Откладываем под грузом, т.е. на вертикали груза (т.е. опоры Ш3 ), ординату, равную 0. Соединяем две точки: точку с орди-

натой – dl и нулевую.

39

Рис. 3.17

Наконец груз P = 1 находится на консоли с опорой D. С этой балки давление на балку Ш2Ш3 не передается, значит, и

на балку BC давления справа нет. Под грузом (на консоли с опорой D) откладываем нулевые ординаты, получаем в пределах консоли нулевую прямую л. в. RB .

40