книги / Механика сплошной среды

ю тся

парам етрам и

р,

т. е. процесс,

за м кн уты й

по

е//,

м о ж е т

бы ть

не з а м к н у т по

р,

и потом у А^фА. Е сли

п р е д п о л о ж и ть,

что

при

r = co n st

р = э(£?> и

w*dt = ad9^\

то получим

a=2G9^e\

ad&w^0.

Р ассм отрим

за м кн уты й

по

деф орм ациям

процесс

МТРТМ

(рис.

19.3),

в ы хо д я щ и й на

йэт в

точке

Т за

пределы

п о верхности

ЗГ =

0

и

п отом у д а ю щ и й

приращ ение

пластической

э

деф орм ации

d9^\ Д л я

п ря м ого

МТР и о б р а тного РТМ

путей

од и н а ко во ,

с1э меняет зн а к

на

об ратны й,

и

потом у

А =

J (о М1—

o TM) d 9 - \ ~

\

{°тр—o PT) d s .

(19.21)

мт

ТР

П о с к о л ь к у

T P = d d T бесконечно

мал,

то

и изм енение Отр— Ор т будет

бесконечно м алы м , и

потом у

второе

слагаем ое

в

(19 .21)

м о ж е т

бы ть

отброш ено . Н а

МТ у п р у га я деф орм ация

обозначена э ^ ) ,

на

обратном

—

их

разность

и потом у

й э ™ й э = й э {р) j

с 1 э = й э ^

М Т ,

мт

мт

причем

cte(D) за ви си т

то л ько

от

ёэт

и

то ч ки Т на

& ~ = 0 ,

но

не

от

то ч ки

М. С ледовательно,

д л я

л ю б о го

вектора

М Т

в н у тр и

# " = 0

M T d a ^ O ;

(19 .22)

но

это

возм ож но

то л ько

при

усл о ви и ,

если

им еет

н а п р а в л е ­

ние, совпадаю щ ее с но р м а л ью

к £Г в точке

Т, т. е.

da<P> =

D g ra d < ^ (э) d X ^ D ^ y d X,

(19 .23)

где

D —

некоторы й

ф ун кц и о н а л процесса

ОА\ и

то ч к и

Т

(л ю б о й

на

& ~ ),

X

—

парам етр,

v —

е д и ничны й

вектор

н орм ал и

в

точке

э = этк

поверхности # ~ = 0 ,

v = a*v*,

v * v * = l

(& = 1 ,

2,

. . . , 5 ).

С оотнош ение

(19.23)

назы вается ассоциированным

с

(19.19)

зако­

ном

текучести, J I

оно

есть частны й

сл уч а й

общ его

в ы р а ж е н и я

за ­

кона

связи о ~ э

(1 8 .1 6 ),

но

со д е р ж и т

не

пять,

а

то л ь ко

два с к а ­

л я р н ы х ф ун кц и о н а л а : Ф~ и D.

н а п р я ж е н и е м о

П о с к о л ь к у

деф орм ация

э

связана

с

ф изичес­

ким

законом

э = э [о ] , то

при

та ко й замене

поверхность

(19 .19)

преобразуется

к виду

5 Н э )

=

< Г (э [о] ) = = / ( « ) = 0

и назы вается

поверхностью

н а гр у ж е н и я .

от начала отсчета времени

(/0 = 0, /0# 0 ).

Материалы, для которых

в (9.19) K \(t, x)¥=R\ (t—т), называются

стареющими. Рассматри­

вая (20.1) как интегральные уравнения

Вольтерра

относительно

деформаций eu(t) и 0(0

и учитывая их разрешимость

(ядра Г,

Т\ таковы, что они должны быть разрешимы, так

как

задание

процесса нагружения Oi/(t) в «^-опытах

(§ 10) вполне

определя­

ет деформацию), получим

f(0 = 2G6 (0 —Г(0,

(20.4)

/С1(0 = ^ г б (0 + К1 (0,

А

А (0= К 6 (0 -Г А 0 .

(20.5)

где К, G — постоянные, называемые мгновенными

модулями

е,7=1дГ + оJ ^

а,/ ^ dx'

t

(20.7)

р^dT'

- Q=Jk+isK'

о

t

2GK

+ $ * (т) Г (/—т) dx,

(20.8)

О

t

риалы

малосжимаемы.

При условии

несжимаемости

(/( = оо,

divu = 0,

следовательно,

е,/ = е//),

пренебрегая

объемной

ползу­

честью

(К\ = Г1= 0),

будем иметь первые

из

соотношений

(20.6),

(20.7), (20.8).

случай

простого

растяжения

образца

вдоль оси

Рассмотрим

хь когда Oij= 0

при

всех i, j

кроме

£ = / = 1,

причем В22 = езз=

= —1/2ец,

остальные

е// = 0.

Обозначая oi=On

— растягивающее

напряжение, en = ei — удлинение, из

(20.6), (20.7)

найдем

t

стх (/) =

3Gex (/)---- J Г (t —т) ех (т) dx,

о

(20.9)

t

6l

=

~з!Р~+ Т

f К ^ ~ т) CTl ^т) йт'

о

В опыте на ползучесть, быстро прикладывается и поддержива­

ется постоянное напряжение

о\ = const и наблюдается

рост дефор­

мации 8i (0- Из второго соотношения

(20.9) находим

d E 1 (О

т. е. ядро

К (0

пропорционально

скорости

ползучести,

причем оно

не должно

зависеть

от

величины приложенного

напряжения oi

В

модели Максвелла

принимается

2/3/( (^) = 1/(3<3/r) =const,

причем постоянная tr называется

временем релаксации.

В этом

случае второе уравнение (20.9)

имеет вид

3G6J—Oi= — ах;

решая его относительно oi, найдем

t

ч~х

^ = 3 6 8 !— — Се

‘г

8j (т)dr.

tr

t

Следовательно,

ядро

релаксации

в

модели

Максвелла

Г=

= 2G/trexp(—t/tr). Ползучесть

(01= const) этой

модели идет с по­

стоянной

скоростью ei = const,

а

релаксация

напряжения

(при

ei = const)

— экспоненциально. За

время релаксации

tr

напряже­

ние oi убывает в е = 2,71828 раза.

Соотношения (20.6), (20.7) чаще используются в виде, предло­

женном еще Больцманом,

t

°*/(0 =

S R (t— r)deu (r),

—P = \ R i ( t — *)<*е (т),

О

(20. 10)

eit (t) = $ n ( t — r)doij(r),

П, (t— r)dp(r),

о

к которому они на основании начальных условий

t = 0_,

oij= p = B ij=Q = 0,

R (0) = 2G,

^ ( 0 ) = * ,

(20.11)

R (0) П ( 0 ) = ( 0 ) Пх (0) =

1

приводятся заменой

Г ( 0 = — ^ - = - Я ' ( 0 .

Г1== —/?'i(0,

a t

( 20. 12)

K (t)= U '(t)t

K A t)= ni(f),

R и П называются соответственно приведенными

функциями

релаксации и ползучести. Относя

ординаты

каждой

из кривых

ei, г\

(рис. 20.1), к

2aj/3,

2OI/3,

убедимся,

что они

сольются

в одну кривую, которая и есть функция ползучести П(/).

функции

При небольших изменениях температуры

Т = T0+ #(t)

соотношения

(20.10) сохранятся, если

только

объемную

деформацию 0 заме­

нить на

07= 0 — Зад.

(20.13)

Для

простоты,

пренебрегая

объемной

ползучестью,

т.

е. полагая

R \(t)= K =

= const, Z?iIIi= l,

получим

t

Р— —KQT> °ij = ^ R { t— x)dEil{r).

(20.14)

В линейной теории свободную энер­

рис \

гию ф

следует

считать

квадратичным

функционалом деформаций и температу­

ры д = Г —Г0

(§

10). Но д

и 0Г=0—Зад

я(т)= (й ,

ег, еи).

(20.16)

Полный дифференциал ф по t

равен

t

— (— + З а К 9 т) d& + К&т М + den (/) Г (t— т,) dzt / (т,) +

+ dt |

jcP ' (2i—Ti—т2) def/ (тх) dei;(т2).

(20.17)

о

о

t

-J[/C 0 r(O 60 (т)— (

+ ЗаКвт (0 ) 64 (т) +

(20.17')

t

t ~

+ § & ( t - т, t - l ) %, © d£6e~- (т)] dx a J - g - бл (r) dT.

1=0

о

Следовательно,

_

t

=- тИ1 5а(/- Т1’ {~ч

) (2019')

о