книги / Статистика и анализ геологических данных

В итоге результат умножения будет иметь следующий вид:

Если порядок перемножаемых матриц изменить на обратный [В]. [А ]= [С], то получим другой результат:

Если перемножаются две квадратные матрицы, то их произ­ ведение также будет квадратной матрицей того же порядка. Од­ нако если перемножить матрицы порядков m xn и п хг, то в ре­ зультате получим матрицу порядка гпХг, т. е. произведение мат­ риц имеет число строк, равное числу строк первой матрицы, и число столбцов, равное числу столбцов второй матрицы. На­ пример, умножая матрицу порядка 5X3 на матрицу порядка 3X2, получим матрицу порядка 5X2:

Таким образом, задача, обратная умножению матриц, сво­ дится к нахождению матрицы [X], определенной вышеуказан­ ным соотношением. В некоторых случаях обратную матрицу найти нельзя, так как в процессе обращения иногда приходится выполнять деление на нуль. Необратимая матрица называется вырожденной, но такие матрицы в этой главе мы рассматри­ вать не будем.

Процедуру обращения матриц можно проиллюстрировать, решая систему уравнений в матричной форме. Значения неизве­ стных в этом случае Xi = 2 и Х2 = 3. Попытаемся найти их, ис­ пользуя умножение и обращение матриц:

4Х1+ 10Х2= 38, 10XI + 3 0 X 2=110.

Эту систему уравнений можно записать в матричной форме

[А][Х] = [В],

Возможно, читателю не понятно, почему систему уравнений можно представить в указанной матричной форме. Чтобы убе­ диться в этом, порекомендуем перемножить матрицу [А] и век­ тор-столбец [X]. В результате должен получиться вектор-стол­ бец левых частей уравнений:

' 4 10 10 30

Выполнив это умножение, вы убедитесь, что система запи­ сана правильно. Действительно, по правилам умножения мат­ риц получаем

Затем, умножая нижнюю строку, получаем

.ЮХт + ЗОХг.

Теперь решим систему уравнений с помощью обращения мат­ рицы [А]. Поместим матрицу [А] слева от единичной матрицы и выполним все необходимые операции одновременно на них обеих. Цель этих операций — свести диагональные элементы матрицы [А] к единицам, а все остальные — к нулям. Это выпол­ няется с помощью деления строк матрицы [А] на константы и их сложения или вычитания. Последовательность операций сле­ дующая:

Мы получили обратную матрицу. Для проверки правильно­ сти обращения достаточно умножить исходную матрицу [А] на полученную матрицу [А]-1, и в результате должна получиться единичная матрица

венства:

[А Г 1 X [А] X IX ] = [А Г 1 X [В], [I]X {X 1 = [AJ- 1 X [B I, [Х] = [А Г 1 Х [В ].

Умножив матрицу [А]- 1 на матрицу [В], найдем неизвест­ ную матрицу [X]:

[А-Ч X [BI = [X],

обращения матрицы, которая выполняет те же операции, какие приходится выполнять при обращении матриц вручную. Эта про­ грамма сначала строит единичную матрицу того же порядка, что и матрица [А]. В первом действии осуществляется деление первых строк матриц [А] и [I] на Ац, в результате чего Ац сводится к 1 . Затем элемент Ац принимается ведущим элемен­ том и используется для приведения к нулю всех элементов

A( J , K ) = A ( J , K ) - R A T I O * A ( I , K )

B( J , K ) = B ( J , K ) - R A T I O * B ( I , K )

1 0 5 C O N T IN U E 1 0 4 C O N T IN U E 1 0 2 C O N T IN U E

R ETURN END

Программа 4.8. Подпрограмма MINV

первого столбца. В нашей упрощенной программе ведущими бу­ дут диагональные элементы. После этого ведущая строка (т. е. строка, содержащая ведущий элемент) умножается на элемент

лывается со второй строкой, что дает нуль на месте Аз1, и т. д. для всех строк матрицы.

После приведения всех элементов первого столбца, за ис­ ключением Ан, к нулю ведущим становится элемент А22. Все стоящие под ним элементы второго столбца тем же способом, что и элементы первого столбца, приводятся к нулю. Процедура повторяется для каждого столбца,'вплоть до последнего. По­ следний элемент делится на себя, и на его место записывается

а все элементы, стоящие под диагональю,— нули. Половина дреобразований единичной матрицы в матрицу, обратную матрице [А], уже выполнена.

Элементы, стоящие выше диагонали, можно свести к нулю, выполняя операции в обратном порядке. Нижний диагональный элемент умножается на стоящий над ним элемент, и результат вычитается из вышестоящего элемента, в результате чего на его месте получается нуль. Нижнюю строку матрицы [I] также ум­ ножаем на то же число и вычитаем из вышестоящей строки. Эту операцию повторяем, превращая в нуль все элементы стол­ бца, содержащего ведущий элемент. Затем то же самое проде­ лываем для следующего диагонального элемента и так далее, вверх по диагонали. Когда процесс доходит до элемента А22, преобразование матрицы [А] в единичную матрицу и единичной матрицы [I] в матрицу, обратную матрице [А], уже завершено.

Следует заметить, что такая простая программа не позво­ ляет обращать некоторые матрицы; на этом мы остановимся ниже. Отметим, что мы намеренно изложили операцию обра­ щения матрицы в упрощенном виде, чтобы она была как можно более понятной. Однако не всегда самый простой подход наи­ более эффективен. В некоторых случаях не обязательно обра­ щать матрицу, если требуется только решить систему уравне­ ний. В рассмотренном примере мы искали значения элементов матрицы [X], удовлетворяющей уравнению

С этой целью мы обратили матрицу [А] и нашли матрицу [X], умножив [А]-1 на [В]. Вместо этого мы могли бы прямо использовать матрицу [В], по мере того как матрица [А] пре­ образовывалась бы в единичную матрицу. С этой целью удобно использовать так называемую расширенную матрицу, состоя­ щую из п строк и п +1 столбцов. Вектор-столбец [В] занимает n + 1 -й столбец расширенной матрицы, остальная часть ее —

близка к программе 4.8, но содержит одно важное дополнение. Если в процессе обращения матрицы ведущий элемент стано­ вится нулем, то его, конечно, нельзя использовать обычным об­ разом для приведения ведущего столбца к нулю. В большинстве матричных преобразований на вычислительных машинах точный нуль практически не появляется в силу накопления ошибок ок­ ругления в предыдущих операциях. Обычно в ЭВМ роль нуля играет величина порядка 1 • 10-6. Если программа использует это число для устранения элемента, то в других столбцах могут возникнуть большие ошибки. Чтобы избежать этого, в про­ грамму вводится величина, называемая ZERO. Прежде нем производить операции, каждый ведущий элемент проверяется на равенство его нулю. Если элемент меньше или равен нулю, выполнение программы прекращается. Если элементы исходной матрицы близки к 1 , то ведущие элементы, меньшие 1 • 10-5, ве­ роятно, уже можно считать нулевыми.

При появлении нулевого ведущего элемента программу мо­ жно изменить с целью отыскания в ведущем столбце ненулевого элемента. Затем строку, содержащую ненулевой элемент, мо­ жно поменять местами с ведущей и лишь после этого продол­ жать процедуру исключения. Соответствующие строки единичной матрицы (или элементы п + 1 -го столбца расширенной матрицы) нужно переставлять одновременно. Дальнейшие операции с мат­ рицей— отыскание ведущего столбца с максимальным элемен­ том: строку, содержащую этот элемент, можно поменять ме­ стами с ведущей строкой. Максимальный элемент можно теперь

Обращение матриц используется во многих математических процедурах. Созданы десятки методов решения систем урав­ нений, существуют сотни программ, реализующих эти методы. В некоторых областях исследования зачастую приходится опе­ рировать с так называемыми разреженными матрицами (т. е. матрицами, содержащими много нулей), а также с матрицами, обладающими различного рода симметрией. Подробное изло­ жение различных методов решения систем уравнений содер­ жится в гл. 4, 5 и 8 монографии Уэстлэйка [9]. Большинство вычислительных центров имеет в своих библиотеках много под­ программ, реализующих всевозможные алгоритмы матричных преобразований, возможно, даже подпрограмму OMNITAB, при­ веденную в приложении. Прежде чем создавать эффективные программы матричных преобразований для матриц высоких по­ рядков, необходимо проанализировать уже реализованные про­ граммы и выявить их достоинства и недостатки.