книги / Управление качеством
..pdf
Рис. 3.2. Плотность распределения случайной величины
Случайная величина x, для которой существует плотность распределения f (x), называется непрерывной.
Если под случайной величиной X понимать продолжительность безотказной работы объекта, то произведение f (х) dх есть вероятность отказа объекта в интервале времени (х1, х2). Значение функции распределения F(х) равно вероятности отказа объекта до момента х. В теории надежности часто употребляют такое понятие, как вероятность безотказной работы Р(х), которое является дополнительным понятием к функции распределения F(x).
Значение вероятности безотказной работы в точке х равно вероятности того, что случайная величина X превысит х, т.е. изделие будет работать безотказно в течение времени x:
Р(х) = 1 – F(х) = P{X > х}.
Функция Р(х) называется также функцией надежности. Примерные графики функции распределения F(х) и функции надежности Р(х) изображены на рис. 3.3.
На практике часто располагают дополнительной информацией о том, что случайная величина превысила некоторое значение х (в частности, это изделие проработало время x и не отказало).
171
Рис. 3.3. Графики функции распределения F(x) и функции надежности P(x)
Разумеется, эта информация изменяет возможность принятия случайной величиной тех или иных значений. В связи с этим вводят специальную функцию − интенсивность отказов λ(x). Значение интенсивности отказов в точке х, умноженное на dх, равно вероятности принятия случайной величиной значения из элементарного интервала (х1, х2) при условии, что эта случайная величина X больше х:
λ(x)dx = P{x < X ≤ x + dx|X > x},
где символ «|» означает «при условии, что…».
В нашем контексте λ(x)dx есть вероятность отказа изделия сразу после момента времени х, если оно до этого не отказало.
3.2.МЕРЫ ПОЛОЖЕНИЯ
ИРАССЕЯНИЯ КРИВОЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Кривая распределения плотностей вероятностей случайной величины характеризуется своим положением на оси абсцисс и рассеиванием случайной величины. Для оценки положения и рассеяния кривой распределения вводятся соответствующие критерииили меры.
К мерам положения относятся: мода, математическое ожи-
дание и медиана случайной величины.
172
К мерам рассеяния относятся: стандартное отклонение, дисперсия и размах.
Функция распределения плотности вероятностей может иметь одно или несколько максимальных значений в разных местах области (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Кривые распределения случайной величины X: а – одномодальная; б – двухмодальная; в – антимодальная
Значение случайной величины X, при котором f (x) принимает максимальное (наиболее вероятное) значение в окрестности какоголибо значения случайной величины х, называется модой распределения (Mо).
Математическим ожиданием случайной величины называ-
ется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:
n |
|
M x = ∑ xi Pi . |
(3.5) |
i =1
Это определение справедливо для дискретных случайных величин. Для непрерывных математическое ожидание случайной величины X, имеющей плотность распределения f (х), вычисляется по формуле
+∞ |
|
M x = ∫ x f (x ) dx. |
(3.6) |
−∞
173
Статистической оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значение случайной величины:
|
|
1 |
n |
|
|
|
= |
∑ xi mi . |
(3.7) |
||
x |
|||||
|
|||||
|
|
N i=1 |
|
||
Математическое ожидание (среднее арифметическое значение) случайной величины называют часто центром рассеяния, или центром группирования случайной величины. Математическое ожидание является оценкой истинного значения измеряемой величины.
Медианой (Ме) случайной величины называется значение, для которого
Р(х < Ме) = Р(х > Ме),
т.е. вероятность появления случайной величины меньшей, чем медиана, или большей, чем медиана, одинакова (рис. 3.5).
Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам
Ме |
∞ |
∫ |
f (x ) dx = ∫ f (x ) dx . |
−∞ |
Ме |
В случае симметричного одномодульного распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой, т.е.
Ме = Мх = Мо.
Рис. 3.5. Геометрическая медиана
Поскольку величина Х является случайной, то фактические значения ее будут лежать как правее, так и левее среднего значения.
Мерой рассеяния случайной величины Х около ее среднего значения x служит стандартное (или среднее квадратическое) отклонение σ ,
|
1 |
n |
|
|
σ = |
∑( xi − M x )2 . |
(3.8) |
||
|
||||
|
N i =1 |
|
||
174
Для непрерывной случайной величины σ определяется по формуле
|
1 |
n |
|
|
σ = |
∑( xi − M x )2 f (x )dx . |
(3.9) |
||
|
||||
|
N i =1 |
|
||
Когда оценка стандартного отклонения осуществляется на основе статистических данных, ее называют выборочным средним квадратическим отклонением, обозначают буквой S и определяют по формуле
n
∑( xi − x )2
S = |
i =1 |
|
. |
(3.10) |
|
|
|||
|
|
N −1 |
|
|
С целью экономии времени и уменьшения ошибок при подсчетах S, когда n велико, а хi – большие или нецелые числа, следует использовать тождество
n |
n |
1 |
n |
|
|||
∑( xi − |
|
)2 |
= ∑ xi2 − |
∑ xi2 . |
(3.10а) |
||
x |
|||||||
|
|||||||
i=1 |
i =1 |
N i=1 |
|
||||
Другая мера рассеяния – дисперсия (дисперсия и означает рассеивание) характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия увеличивается с увеличением рассеяния результатов наблюдения.
Дисперсия определяется по формуле
n |
|
Дx = σ2 = ∑( xi − M x )2 Pi , |
(3.11) |
i =1 |
|
где хi − дискретная случайная величина и по формуле |
|
+∞ |
|
Дx = М (x − M x )2 = ∫ (xi − M x )2 f (x)dx, |
(3.11а) |
−∞
где хi – непрерывная случайная величина.
175
Дисперсия эмпирических данных вычисляется по формуле
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
( xi − x ) |
|
|
|||||
Дx = ∑ |
. |
(3.12) |
|||||
|
|||||||
i =1 |
N −1 |
|
|
|
|||
Дисперсия обладает следующими свойствами:
♦Дх ≥ 0;
♦Д·С = 0 для С = const (дисперсия неслучайной величины
равна нулю);
♦Д(СХ) = С2·Дх – неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат;
♦Дх = Мx(X2) – ( Мх)2 – дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания;
♦Д(Х+Y) = Дх + Дy, если Х и Y – независимые случайные ве-
личины.
Последнее свойство рассмотрим более подробно на примере двух случайных величин X и Y. По определению
Д( X + Y ) = M ( X + Y ) − M ( X + Y ) 2 . |
|
|
|
После раскрытия квадратных скобок и объединения каждой случайной величины со своим математическим ожиданием получим:
Д( Х + Y ) = M ( X − M x )2 + M (Y − M y )2 + 2M ( X − M x )(Y − M y ) |
|||
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
Д( Х + Y ) = Дx + Дy + 2 cov( XY ), |
|
|
где |
cov ( XY ) = M ( X − M x ) |
(Y − M y ) . |
(3.13) |
|
|
|
|
Величину, определяемую формулой (3.13), называют ковариацией. Она характеризует связь между случайными величинами X и Y. Для независимых случайных величин ковариация равна нулю. Ковариация является неудобной характеристикой, так как по ее величине трудно судить о степени (тесноте) связи. Поэтому была
176
введена другая величина – коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле
ρ( XY ) = cov( XY ) .
Дx Дy
Коэффициент корреляции меняется в пределах от –1 до +1 и является характеристикой тесноты линейной связи.
Размах случайной величины R определяется как разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины
R = xmax − xmin . |
(3.14) |
3.3. НАЧАЛЬНЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ
Чтобы характеризовать случайные погрешности, часто пользуются некоторыми числовыми вероятностными характеристиками случайных погрешностей, которые называют начальным и центральными моментами. Моменты представляют собой некоторые средние значения и называются начальными, если усредняются величины, отчитываемые от начала координаты, и центральными – от центра функции плотности вероятности.
Первый начальный момент функции распределения плотности вероятностей совпадает с математическим ожиданием результатов наблюдений:
n |
|
M1 = M x = ∑ xi Pi . |
(3.15) |
i =1
Первый центральный момент результатов наблюдений равен
нулю.
Значение стандартного отклонения σ носит название второго центрального момента распределения относительно математического ожидания (среднего арифметического значения) случайной величины. Второй центральный момент (дисперсия результатов наблюдений) определяется как
177
n |
2 |
|
M2 = ∑( xi − M x ) Pi . |
(3.16) |
|
i=1
Вобщем случае момент дискретной случайной величины r-го порядка можно представить в виде
n |
|
Mr = ∑( xi − a)r Pi , |
(3.17) |
i =1 |
|
где а – постоянная величина.
Если а = 0, то момент называют начальным, если а = Мх или а = x r – центральным. Нечетные центральные моменты указывают на симметрию распределения относительно математического ожидания. У всех симметричных распределений нечетные моменты относительно среднего значения равны нулю.
Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.
Третий центральный момент (М3) характеризует асиммет-
рию распределения случайных |
погрешностей, т.е. скошенность |
|||||||
(рис. 3.6). Коэффициент асимметрии: |
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
∑mi (xi − |
|
)3 |
|
|
|
|
M3 |
x |
|
|
||||
Sk = |
= |
|
i =1 |
. |
(3.18) |
|||
|
|
σ3 |
||||||
|
σ3 |
|
|
|||||
Рис. 3.6. Асимметричные |
Рис.3.7. Плосковершинность |
распределения случайных |
и островершинность распределения |
погрешностей |
случайных погрешностей |
178
Четвертый центральный момент (М4) характеризуют фор-
му (крутизну кривой), плосковершинность или островершинность распределения случайных погрешностей (рис. 3.7) и описывается с помощью эксцесса:
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
∑mi ( xi − |
|
)4 |
|
|
|
|
M4 |
x |
|
|
||||
Ek = |
− 3 = |
i=1 |
− 3 . |
(3.19) |
||||
σ4 |
σ4 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
Число 3 вычитают потому, что для нормального распределения погрешностей M4 = 3, следовательно, Ek = 0, т.е. в качестве кривой с нулевым эксцессом принята кривая нормального распределения.
Выражение 1 / Ek называется контрэксцессом. Если Ek > 0,
то говорят, что имеется положительный эксцесс, т.е. вершина кривой находится выше кривой нормального распределения. Если Ek < 0, имеется отрицательный эксцесс, и вершина кривой находится ниже вершины кривой нормального распределения.
Рассмотренные числовые характеристики являются основными. Конечная цель при исследовании распределения случайной величины – установление уравнения кривой распределения.
3.4.КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ
ИОТНОСИТЕЛЬНОЙ АСИММЕТРИИ
Во многих технических приложениях функции распределения характеризуются коэффициентом относительного рассеяния, коэффициентом относительной асимметрии и величиной практически предельного поля рассеяния.
Положим, что погрешности отклонений размеров изделий от их номинального значения заданы функцией плотности f (х) и величинами параметров Mх, Дх (рис. 3.8). Примем номинальное значение за начало координат.
179
Рис. 3.8. Функция распределения
Практически предельным полем рассеяния называется рас-
стояние между такими двумя значениями х1 |
и х2 случайной величи- |
|
ны, при которых площадь, |
ограниченная |
кривой, осью абсцисс |
и отрезком [х1, х2], равна 1 – |
β , где β – вероятность риска (брака). |
|
Обычно принимают β = 0,0027. По определению можно написать:
x2
∫ f (x ) dx =1 – β.
x1
На практике обычно х1 и х2 выбирают так, что:
x1 |
+∞ |
∫ |
f (x )dx = ∫ f (x )dx = β/ 2 = 0,00135 . |
−∞ |
x2 |
Определенное таким образом практически предельное поле рассеяния принимают за поле допуска, т.е. 2δ т = х2 – х1.
Ведем обозначения: δт = ( x2 − x1 ) 2 – половина поля допус-
ка; |
∆ т= ( x1+ |
x2 ) |
2 |
– координата середины поля допуска; |
αT |
= (M x − ∆ T ) |
δT |
– |
коэффициент относительной асимметрии; |
Kт = 3σ
δт – коэффициент относительного рассеяния.
180