книги / Теоретическая механика.-1

плоскости и начинает движение без начальной угловой скорости из положения, показанного на рисунке. Трением пренебречь.

Найти максимальную угловую скорость max

взаимно перпендикулярными шероховатыми плоскостями, – горизонтальной и вертикальной. Коэффициент трения для каждой плоскости равен f.

Найти число n оборотов, котороецилиндр сделаетдоостановки. Д23 (1990). Треугольная рамка, составленная из одинаковых тонких однородных стержней массой m каждый, может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси O. Рамка начинает движение с угловой скоростью, равной нулю, из положения, в котором

сторона OA горизонтальна.

Найти модуль N реакции в шарнире O в момент времени, когда сторона AB станет горизонтальной.

41

Д24 (2008). Однородный тонкий тяжелый стержень падает из вертикального положения с пренебрежимо малой начальной угловой скоростью, опираясь в точке A на горизонтальную и вертикальную плоскости. Влиянием трения пренебречь.

Найти значение 1 угла , при котором стержень оторвется от вертикальной плоскости в точке A.

К задаче Д22 К задаче Д23 К задаче Д24

Д25 (1998). Однородный диск радиусом R раскручен до угловой скорости 0 и поставлен на неподвижную шероховатую плос-

кость, образующую угол 0 2 с горизонтом. Начальная

скорость центра масс C диска равна нулю. Коэффициент трения скольжения между диском и плоскостью равен f. Трением качения пренебречь.

Найти промежуток времени T, через который прекратится проскальзывание диска по плоскости.

Д26 (2008). Однородный диск массой m и радиусом R вращается вокруг неподвижной оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. Угловая скорость и угловое ускорение диска связаны соотно-

шением k ( k const ). Начальная угловая скорость диска рав-

на нулю. На диск действует пара сил. Влиянием трения пренебречь. Найти зависимость M (t) момента пары сил от времени.

Д27 (2003). Горизонтальный диск радиусом r вращается вокруг неподвижной вертикальной оси Oz . На диске с помощью шарнира A и пружины OB укреплен однородный стержень AB. Длина стержня

42

L r 2 , масса стержня равна m, жесткость пружины равна c, длина недеформированной пружины 0 r2 . Шарнир B может скользить

по диску. При некоторойпостояннойугловой скоростидиска стержень относительно диска недвижется и длина пружины r .

Найти угловую скорость диска.

Д28 (2008). На однородный цилиндр 1 массой m намотана нить, перекинутая через блок 2, массой которого пренебрегаем. К концу нити в точке A приложена направленная вниз постоянная

сила F . Система расположена в вертикальной плоскости и начинает движение из состояния покоя.

При каких значениях модуля силы F точка A будет двигаться вниз?

Д29 (2004). На однородный диск намотана невесомая нить. Свободный конец нити тянут вдоль гладкой неподвижной наклонной плоскости с постоянным абсолютным ускорением a . Угол наклона плоскости к горизонту равен . Проскальзывание между

диском и нитью отсутствует.

Найти модуль aC ускорения центра диска.

Д30 (1988). Вал 1 вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью. К валу под углом жестко прикреплен

43

стержень 2. Между валом и стержнем находится однородный диск радиусом r. Трением пренебречь.

Найти угловую скорость вала, при которой действующая на диск реакция вала будет равна нулю.

Д31 (2007). Однородный стержень OA длиной 2 и массой m расположен в горизонтальной плоскости и вращается вокруг неподвижной вертикальной оси Oz . На стержень действует пара сил, момент которой M зависит от угла поворота стержня ( 0 3 ).

Известно, что точка B пересечения стержня с неподвижной прямой DС движется с постоянной абсолютной скоростью u . Расстояние

OC .

Найти зависимость M ( ) .

Д32 (2013). На однородный диск массой m и радиусом R намотана нить. На нить действует горизонтальная сила F , модуль которой F F0 cos , где – угол поворота диска. Система начинает движение из состояния покоя при угле 0 .

Найти угловую скорость диска в момент времени, когда угол 6 .

Динамика системы

Д33 (1979). Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Колёса 1 и 2 – однородные диски одинаковой толщины, изго-

44

товленные из одинакового материала. Массой стержня 3 пренебречь. Колесо 1 и стержень 2 могут вращаться вокруг неподвижной оси О. Колесо 2 соприкасается без проскальзывания с колесом 1 и неподвижным колесом. К колесу 1 и стержню 3 приложены пары сил с заданными постоянными моментами M1 и M 3 соответствен-

но. Момент инерции колеса 1 равен J1 . Известно, что в любой момент времени отношение угловых скоростей 1 3 k , где k –

заданный коэффициент.

Найти угловое ускорение 3 стержня 3.

Д34 (2007). Эллиптический маятник состоит из ползуна 1 массой m, который может перемещаться вдоль гладких горизонтальных направляющих, точки 2 массой m и невесомого стержня длиной . Стержень шарнирно соединен с ползуном. В начальный момент времени система неподвижна, ползун находится в начале координат, стержень занимает правое горизонтальное положение. Система расположена в вертикальной плоскости. Размерами ползуна пренебречь.

Найти траекторию центра масс системы.

Д35 (1983). Однородный диск массой m и радиусом R лежит всей своей плоскостью на гладкой горизонтальной плоскости. По ободу диска движется (за счет сил взаимодействия с диском) точ-

45

ка B массой m c заданной относительной скоростью Vr (t) . При t 0 система была неподвижна.

Найти зависимость VA (t) модуля скорости центра A диска от времени.

Д36 (2007). Груз 1 массой m1 4m связан с грузом 2 массой m2 m невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через невесомый блок 4. Призма 3 массой m3 2m может перемещаться по

горизонтальной шероховатой плоскости. Наклонная гладкая грань призмы образует угол 6 с горизонтом. Система начинает

движение из состояния покоя.

Найти, при каких значениях f коэффициента трения между призмой и горизонтальной плоскостью призма остается неподвижной.

Д37 (1984). Кольцо радиусом R вращается вокруг неподвижной вертикальной оси с постоянной угловой скоростью (постоянствоподдерживается приложенным к кольцу внешним переменным моментом М). Расстояния AE DB R2 . В кольце движется точка K

(за счет сил взаимодействия с кольцом) с постоянной по модулю относительной скоростью u . Масса точки равна m, массой кольца пренебречь.

Найти компоненты X B , YB реакции в подшипнике B для показанного на рисунке положения системы.

46

Найти зависимость Vr (x) модуля Vr скорости колечка относительно стержня от расстояния x между колечком и точкой O.

Д40 (2010). Куб может без трения вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси z. Длина ребра куба равна , момент инерции куба относительно оси z равен J. При t 0 куб неподвижен. Вдоль диагонали OA расположена невесомая трубка, в которой движется

47

точка K массой m (самоходный механизм) по закону OK s(t) 3 tT 2 , где T – заданная величина.

Найти модуль угловой скорости куба в момент времени t T .

Д41 (1993). Система расположена в вертикальной плоскости. Масса груза 1 равна m1 , масса однородного диска 2 радиусом R

равна m2 . К диску приложена пара сил, момент которой M kt ,

где k 0 – заданная постоянная. Система начинает движение из состояния покоя.

Найти путь s, который груз пройдет до остановки (при t 0 ).

Д42 (2010). Неоднородное колесо 1 массой m и груз 2 массой m расположены в вертикальной плоскости. Верхняя нить намотана на больший обод колеса, нижняя – на меньший. Радиусы этих ободов равны R и r соответственно. Центр масс C колеса находится в его геометрическом центре. Момент инерции колеса относительно пер-

пендикулярной рисунку оси Cz равен JC z m 2 , где – заданная

величина.

Найти, при каком соотношении между R, r, нижняя нить не будет провисать при движении системы.

48

Д43 (1994). На гладкой призме 1, которая может скользить по гладкой неподвижной горизонтальной плоскости, находится точка 2. Масса призмы равна m1 , масса точки равна m2 . Величины H

и заданы. Система начинает движение из состояния покоя в показанном на рисунке положении.

Найти модуль V1 скорости призмы в момент времени, когда точка достигнет неподвижной плоскости.

Д44 (2010). На катках 1 и 2 (однородные цилиндры) массами m1 , m2 и радиусами R1 , R2 соответственно лежит доска 3 мас-

сой m3 . Угол между доской и горизонтом равен . Проскальзыва-

ние между катками и горизонтальной плоскостью и между катками и доской отсутствует. Доска не отрывается от катков.

Найти ускорение a3 доски.

и радиусом R может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси Oz . Расстояние OD R2 . По диаметру диска движется

(за счет сил взаимодействия с диском) точка B массой m2 по закону s OB at 2 2 ,

где a 0 – заданная постоянная. При t 0 угловая скорость диска равнялась 0 .

Найти работу A сил взаимодействия точки и диска за промежуток времени 0 t 2Ra .

49

Д46 (2010). Стержень 1 массы m1 скользит без трения в верти-

кальных направляющих и приводит в движение треугольную призму 2 массы m2 , скользящую с трением по шероховатой горизон-

тальной плоскости. Ускорение a 2 призмы и угол известны.

Найти действующую на призму нормальную реакцию N горизонтальной плоскости.

Д47 (1996). Механизм расположен в горизонтальной плоскости. К однородному стержню 1 длины и массы m1 приложена

пара сил с заданным постоянным моментом M. Масса кулисы 2 равна m2 ; массой ползуна A пренебречь. В направляющих D на ку-

лису действует заданная постоянная, параллельная направляющим,

сила сопротивления F . Система начинает движение из состояния покоя из положения, в котором 0 .

Найти модуль V2 скорости кулисы в тот момент времени, когда 3 .

К задаче Д45 К задаче Д46 К задаче Д47

Д48 (2011). Трубка может свободно вращаться вокруг вертикальной оси z. Момент инерции трубки относительно этой оси равен Jz .

В момент времени t 0 угол поворота трубки 0 , а угловая скорость трубки 0 . Материальная точка K (самоходный механизм) массы m движется в трубкепо закону x u t , где u const .

Найти зависимость (t) угла поворота трубки от времени.

50