книги / Физика для бакалавра. Ч. 1-1

сти. В этом направлении при смещении из данной точки потенциал изменяется с наибольшей скоростью.

Связь между напряженностью и потенциалом имеет наибо-

лее простой вид для однородного поля (Е = const), например, для поля плоского конденсатора. В этом случае из выражения

(13.24) следует

Формулы (13.25) и (13.26) позволяют по известным значениям найти напряженность поля в данной точке. Можно решать и обратную задачу, т.е. по заданным значениям Е в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля.

Соотношения (13.19) и (13.24) можно использовать для установления единиц измерения потенциала и напряженности.

13.3. Теорема Гаусса

Основной задачей электростатики является нахождение

напряженности Е и потенциала в любой точке поля, если известно распределение зарядов, создавших это поле. Такая задача решается двумя путями. Первый путь – применение принципа суперпозиции, в соответствии с которым напряженность поля в каждой точке находится как векторная сумма напряженностей полей, создаваемых точечными зарядами, а потенциал – как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых точечными зарядами.

241

В случае заряженных тел применение принципа суперпозиции сводится к разбиению тела на бесконечно малые кусочки, играющие роль точечных зарядов. Такой подход связан с большими математическими трудностями. Поэтому часто используется второй путь расчета электростатических полей, базирующийся на теореме Гаусса.

13.3.1. Поток вектора напряженности электростатического поля

Как уже говорилось ранее, зная вектор Е в каждой точке, можно представить электрическое поле очень наглядно с помо-

щью линий напряженности, или линий вектора Е . Поскольку

густота линий Е выбирается равной численному значению Е, количество линий, пронизывающих площадку dS, перпендику-

лярную к вектору Е , будет численно равно EdS (рис. 13.7).

Рис. 13.7

Если площадка ds ориентирована так, что нормаль к ней

образует с вектором Е угол α, то количество линий, пронизывающих эту площадку, будет численно равно

вольную поверхность, получаем выражение

242

Величина dФЕ в формуле (13.27) называется потоком вектора Е через элементарную площадку ds. Таким образом, по-

током вектора Е называется скалярная физическая величина, характеризующая интенсивность поля в данном месте пространства и численно равная количеству силовых линий, пронизывающих данную площадку в направлении нормали к ней.

Поток вектора Е (13.28) – величина алгебраическая, причем знак его зависит от выбора нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность s при вычислении ФЕ. Изменение направления нормали на противоположное изменяет знак у En, а следовательно, и знак у потока ФЕ.

В случае замкнутых поверхностей принято вычислять поток, выходящий из охватываемой поверхности наружу. Соответственно под нормалью к ds подразумевается нормаль, обращенная наружу, т.е. внешняя нормаль. Поэтому в тех местах, где

вектор Е направлен наружу (т.е. линия Е выходит из объема, охватываемого поверхностью, и угол α острый), En и соответ-

ственно dФE положительны, в тех же местах, где вектор Е

направлен внутрь (т.е. линия Е входит в объем, охватываемый поверхностью, и угол α тупой) Еn и dФE отрицательны

(рис. 13.8).

Рис. 13.8

243

Понятие потока чрезвычайно важно в физике. Так, пользуясь только двумя понятиями – потока вектора и циркуляции вектора, можно описать все законы не только электричества, но и магнетизма.

13.3.2. Теорема Гаусса в интегральной форме

Вычисление электрического поля сильно упрощается, если применить теорему Гаусса, которая гласит: поток вектора

напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на 0 . Если

замкнутая поверхность не охватывает заряды, то поток вектора напряженности электрического поля равен нулю.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим поле, создаваемое точечным положительным зарядом q0, и вычислим поток

вектора Е через замкнутую сферическую поверхность S (рис. 13.9), окружающую этот заряд и имеющую центр в точке

нахождения заряда. В этом случае вектор напряженности Е во всех точках сферы одинаков и, кроме того, везде cos = 1. Поэтому

ФЕ ЕndS ЕdS cosα E dS ES,

где означает интегрирование по замкнутой поверхности,

а S = 4 r2 – площадь сферической радиусом r поверхности, окружающей заряд q. Учитывая формулу (13.8) для E, находим

ФE ES 4 1 0 rq2 4 r2.

Следовательно,

244

Легко видеть, что этот результат справедлив не только для сферической поверхности любого произвольно выбранного радиуса r, но для любой замкнутой поверхности несферической формы, а также для любого произвольного расположения заряда внутри этой поверхности.

Действительно, поток вектора определяется лишь количеством силовых линий, пронизывающих данную поверхность, а их число не меняется, если между поверхностями S1, S2, S3 (см. рис. 13.9, а) нет других зарядов. С другой стороны, если внутри замкнутой поверхности нет зарядов (например, поверхность S4 на рис. 13.9), то поток ФE через эту поверхность равен нулю, так как число входящих линий равно числу выходящих.

Рис. 13.9

Таким образом, источником (началом) и стоком (концом) силовых линий электрического поля является электрический заряд.

Формула (13.29) справедлива также для любого числа электрических зарядов произвольных знаков. Это вытекает из принципа суперпозиции электрических полей. Действительно, рассмотрим несколько точечных зарядов разных знаков q1, q2, …, qn расположенных внутри одной и той же замкнутой поверхности. Тогда каждый заряд создает поток

245

ФE EnidS,

асогласно формуле (13.29)

Применяя принцип суперпозиции, складываем потоки, создаваемые всеми зарядами:

n

где ФE i ФE – полный поток через данную замкнутую по-

i 1

n

верхность, создаваемый всеми зарядами; qi – алгебраическая

i 1

сумма зарядов, находящихся внутри данной замкнутой поверх-

n

ности, где En i En1 En1 ... согласно принципу суперпо-

i 1

зиций электрических полей. В итоге,

ФE EndS εε10 in1 qi .

Если замкнутая поверхность S не охватывает заряда q или

n

сумму зарядов qi (см. рис. 13.9, б), то касательная к ней ко-

i=1

ническая поверхность с вершиной в точке О, где находится заряд q, разбивает поверхность S на две части: S1 и S2. Поток вектора напряженности сквозь поверхность s равен алгебраической сумме потоков ФЕ1 и ФЕ2 соответственно сквозь поверхности S1 и S2:

ФЕ = ФЕ1 + ФЕ2.

246

Согласно правилу знаков ФЕ = 0.

Таким образом, создаваемый точечным зарядом q или сум-

n

мой зарядов qi поток вектора напряженности сквозь замкну-

i=1

тую поверхность, не охватывающую этот заряд или сумму зарядов, равен нулю.

С учетом вышеизложенного математическое выражение теоремы Гаусса в общем виде можем записать:

Выражение (13.31) является математической записью теоремы Гаусса в интегральной форме.

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью (см. формулу (13.13)), то теорема Гаусса записывается следующим образом:

ФE EndS εε10 V ρdV ,

где интеграл справа берется по объему V.

13.3.3. Применение теоремы Гаусса

Рассмотрим некоторые примеры вычисления электрического поля с помощью теоремы Гаусса.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости.

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной плоскостью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью > 0. Из соображений симметрии вытекает, что силовые линии параллельны друг другу и перпендикулярны заряженной плоскости. Кроме того, очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

247

В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями, параллельными ей (рис. 13.10). Поток напряженности сквозь боковую поверхность этого цилиндра равен нулю. Следовательно, полный поток через всю поверхность цилиндра

ФE 2E S,

где S – площадь основания цилиндра. Так как внутри цилиндра заключен заряд S, согласно теореме Гаусса

2E S S 10 ,

откуда

E 2 0 . (13.32)

Рис. 13.10

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Таким образом, на любых расстояниях от плоскости напряжен-

ность поля одинакова, т.е. поле, создаваемое бесконечной однородно заряженной плоскостью, однородное.

248

Найдем разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от плоскости. Из (13.24) имеем

Поле между двумя параллельными заряженными плос-

костями. Рассмотрим две параллельные бесконечные плоскости, однородно заряженные разноименными зарядами с одинаковой по величине поверхностной плотностью ±σ (рис. 13.11). Поле системы двух плоскостей можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Как видно на рис. 13.11, в области между плоскостями складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность E = E1 + E2, т.е.

вне объема, ограниченного плоскостями, суммарная напряженность равна нулю, так как складываемые поля имеют противоположное направление.

Рис. 13.11

Таким образом, поле в этом случае оказывается сосредоточенным между плоскостями, и поле это однородное.

249

Разность потенциалов между рассматриваемыми плоскостями найдем, проинтегрировав (13.24):

где d = r2 – r1 (см. рис. 13.11).

250