книги / Численные методы. Ч. 3

где 0 = (е + ew + e2j) ~ объемная деформация; X и С - коэффициенты Ляме,

Для рассматриваемого случая выражения (4.15) принимают вид

GXX = (X+2G)EXX+ Хе^ + Хга = ^ + +V8yv +

<,^ ( „ V» - 2 V)<V£^ VS^ (' - v)E- )-

Для учета возможных температурных деформаций за счет теплового расширения следует иметь в виду, что компоненты тензора полной деформации определяются суммой

Ц = е,у + 8,уег е7 = а Т, i,j = х, у, z,

где а - коэффициент температурного расширения материала, Т - температура, отсчитываемая от некоторого начального значения. Объемная деформация 8 определяется выражением:

8 = eXJC+ 6xv + e2Z= £^ + б^ + в^ + 38Г = 8в + 3ег

Юнг Томас [1773 - 1829] - английский ученый, один из основоположников волновой теории света. Сформулировал принцип интерференции, высказал идею о поперечности световых волн. Объяснил аккомодацию глаза, разработал теорию цветового зрения. Ввел модуль упругости, названный его именем. Наибольший вклад внес в акустику, астрономию, расшифровку египетских иероглифов.

В этом случае связь (4.15) между упругими напряжениями и деформациями представляется в виде

Ъ = Яв'8, + 2Gz\ - Х(в- Зег )бу + 2G(sff - 8 , / ) =

= Ш , + 2<3е„ - 8ДЗХ + 2G)er

Вводя обозначение

1)

1

{Л}Г = - ^ - l - 2 v

О

соотношения (4.2) можно записать в матричном виде,

Геометрические уравнения

Вектор перемещений точек сплошной среды раскладывается по системе пробных функций,

/=1

т

При объединении двух конечных элементов (рис. 4.1, б) в единую композицию учитывается условие их механического взаимодействия1 Это означает, что интегралы по поверхности Г> в уравнениях (4.19) для двух соседних элементов будут различаться лишь знаками. Поэтому при почленном сложении уравнений неизвестные усилия взаимодействия Fx,Fy,Fz и Fx, Fy, F*

(силы, являющиеся внутренними для системы этих элементов) будут исключены из уравнений. Коэффициенты, находящиеся при одинаковых узловых перемещениях (в рассматриваемом случае - uh v, и w,), будут складываться.

Для всего ансамбля конечных элементов, покрывающего исследуемую область, в результате ансамблирования все внутренние усилия будут исключены из результирующей системы линейных алгебраических уравнений. В конечном итоге в нее войдут лишь самые внешние поверхностные нагрузки, задаваемые граничными условиями вида (4.4).

Плоско-деформированное состояние

В плоско-деформированном состоянии находятся тела, форма и размеры поперечного сечения которых, а также условия нагружения не зависят от одного из направлений. Размер тела в этом направлении велик, и продольной деформацией можно пренебречь. В качестве примера рассматривается длинный брус (рис. 4.2, а), находящийся на твердой горизонтальной площадке под действием вертикальной нагрузки, не изменяющейся вдоль оси z. Форма и размеры его поперечного сечения вдоль этой же оси не изменяются.

Для рассматриваемого случая, как показывают экспериментальные наблюдения, продольная деформация пренебрежимо мала, и можно считать, что еа = 0. Кроме того, из анализа геометрических условий следует, что

У™= 0, = 0. С учетом этих допущений из соотношений закона Гука (4.15)

для упругого деформирования получаются выражения

С другой стороны, из того же закона Гука следует

1Согласно аксиоме статики, два тела взаимодействуют с силами, равными по величине и направленными в противоположные стороны.

2 а б Рис. 4.2. Схема плоско-деформированного состояния (а) и форма

поперечного сечения тела (б)

В силу условия га =0,

<*в = Ч ст**+ о >Д

то есть компонент оа тензора напряжений не является независимой величиной. В этом случае матричное соотношение (4.16) представляется в виде

z, в системе разрешающих соотношений (4.12) остаются лишь два уравнения

= f Fx<p^+ J p£>*dQ,

В матричной форме эти уравнения записываются в виде, аналогичном выражению (4.14). Вид матрицы {am} определен выражением (4.20), а также используются обозначения

Рис. 4.4. Треугольные конечные элементы, аппроксимирующие поперечное сечение полосы (плоско-деформированное состояние)

С помощью этих функций формируется матрица жесткости первого